В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах, страница 9

Число Ь называется пределом функции г"(х) в точке а (при х л а), если ллг > О Вб > О такое, что лЛх, удовлетворяющего условиям х Е Х, О < ~х — а~ < б, выполннется неравенство ~Д(х) — Ь! < в. Определение 2 (по Гейне). Число Ь называетсн лрвделолл функции л"(х) в точке а, если для любой сходящейся к а последовательности (х,„) такой, что х„е Х, хк ф а, соответствующая последователл*ллость значений функции (Г"(ха)) сходится к Ь. Обозначение: 1пя г(х) = Ь или г'(х) — ь Ь при х л а. Подчеркнем, что понятие предела функции в точке а вводится только для предельных точек а области определения функции.

Отметиьл, что при этолл функция может быть и не определена в точке а, т. е., вообще говоря, а 1с Х. Сформулируем отрицания определений 1 и 2. Отрицание определения 1. Число Ь не является пределом функции г(х) в точке а (Ь ф 1шл з(х)), если Вв > О такое, что чб > О Вх е Х, для которого О < )х — а! < б и (,((х) — Ь| > г. Отрицание определения 2. Число Ь не являетсн пределом функции г(х) в точке а (Ь ф 1шл 1(х)), если существует сходящаяся р1. Предел функции 41 к а последовательность (х„) (ха е Л, ха у= а) такая, что соответствующая последовательность (р"(хо)) не сходитсн к 6. 2. Теоремы о пределах.

Теорема 1. Определения 1 и 2 предела функции эквивалентны. Теорелча 2. Пусть Д(х) и д(х) определены в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а, и 11ш ((х) = Ь, а. а 1пп у(х) = с. Тогда: л — аа 1пп(г(х) +д(х)) = 6+ гт 1пп(г(х) — д(х)) = Ь вЂ” с; Р(х) Ь 1пп д"(х)д(х) = Ьс; 1ип ' = — при условии с у1 О. а — >а .а-аа д(х) с Теорема 3.

Пушаь функции Дх), д(т) и Ь(х) определены в некотоРой окРестности точки оа кРол1е, быть может, самой точки а, и удовлетворяют неравенствам Г"(х) < д(х) < 6(х). Пусть 1ш1 Г(х) = а — аа = 1пп 6(х) = Ь. Тогда 11п1 д(х) = 6. а — аа а -а а 3. Односторонние пределы. Определение 1 (по Коши). Число 6 называется правым (левыль) пределол1 функции Г"(х) в точке оа если 'Уг > 0 Лб > 0 такое, что 'чх, удовлетворяющего условиям х Е Л', а < х < а+ б (а — б < х < а), выполняется неравенство ~Дх) — 6| < г.

Определение 2 (по Гейне). Число 6 называетсн правым (левым) пределом функции г"(х) в точке а, если длн любой сходящейся к а последовательности (ха) такой, что ха б Х, ха > о, (ха < а), соответствующан последовательность значений функции ( 1(х„)) сходитсн к Ь. Обозначения: 1пп г'(х) = Ь или Да+ 0) = 6 (соответственно а -а а-~-О 1пп ((х) = 6 или Да — 0) = 6). а -аа-.о Определения 1 и 2 эквивалентны. Теорема 4. Если существуют Д(а+ 0) и ((а — 0), причем г(а+ + 0) = т'(а — 0) = 6, то существует 11ш т(х) = Ь. а — аа Теорема 5.

Если функция Дх) определена в некоторой окрестности точки а, за исключениелц быть может, самой точки а, и существует 1пп ((х) = 6, то существуют Д(а+ 0) и ((а — 0), причем :а — аа д'(а+ О) = Д(а — О) = 6. 4. Предел функции при х -+ оо. 11усть функция Т(х) определена на полупрямой (с, +ос). Определение 1 (по Коши). Число 6 называется пределом функции г"(х) при х — ь +со (6 = 11п1 г'(х))., если чг > 0 лА > 0 (а > с) а — а-Ьаа такое, что чх > А выполняется неравенство ~Дх) — 6~ < в. Определение 2 (по Гейне). Число 6 называется пределом функции г'(х) при х — г +ос, если длн любой бесконечно большой последо- 42 Гл. ПХ. Предел и непрернвнввть функции вательности (хп) (х„> с) соответствующая последовательность значений фушсции (Дхп)) сходится к Ь.

Определения 1 и 2 эквивалентны. Аналогично определяется 1пп Х(х). Если 1шс Х(х) = 1пп Х(х) = а-а — аа а-а — аа а-а 4 аа = Ь, то пишут 1пп Х(х) = Ь. Например, !пп (1/х) = О. л — с па Для односторонних пределов и пределов при х -ь ос справедлива теорема, аналогичная теореме 2. 5. Бесконечно большие функции. Определение 1. Функция Х(х) называется бесконечно большой в точке а справа, если сдЛ1 > 0 ЛЬ > 0 такое, что сах, удовлетворяющего условию х Е Х, а < х < а + б, выполняется неравенство ~Х(х)( > ЛХ. Обозначение: 1нв Х(х) = оо или Х(а + 0) = со. Подчеркнем, что а-сач-О эта запись означает только, что Х(х) является бесконечно большой в точке а справа, по вовсе не означает, что Х(х) имеет в точке а правый предел; очевидно, этот предел не существует.

Если в определении 1 вместо неравенства (1) выполняется неравенство Х(х) > ЛХ (Х(х) < — ЛХ), то говорят, что функция Х(х) является бесконечно большой знака плюс (минус) в точке а справа, и пишут 1пп Д(х) = +ос или Х(а+ 0) = +ос (соответственно а-сач-с 1пп Дх) = — со или Д(а+ 0) = — ос). а — 'а-~-В Аналогично определяется бесконечно большая функция в точке а слева. Если функция является бесконечно большой в точке а, справа и слева, то пишут 1шс Х(х) = со. Например, 11сп(1/х) = со. а — са а-св Определение 2. Функция Х(х) называется бесконечно большой в точке а справа (слева), если для любой сходящейся к а последовательности (х„) такой, что х„Е Х, хп > а (хп < а), соответствующая последовательность ( Х(хп)) является бесконечно большой. Определении 1 и 2 эквивалентны. Пусть фушсция Дх) определена на полупрямой (с, +ос).

Определение 3. Функция Д(х) называется бесконечно большой при х с+ос, если ЧЛХ > 0 ЧА (А > с) такое, что Чх > А ~Х(х)~ > ЛХ. Определение 4. Функция Х(х) называется бесконечно большой нри:г 4 +со, если для любой бесконечно большой последовательности (х„) (ха > с) соответствующая последовательность (Х(хп)) является бесконечно большой. Обозначение: 1пп Х(х) = со. Определения 3 и 4 эквивалентны. Аналогично вводится понятие бесконечно большой функции при х ь †: 1сш Х(х) = сс. Если функции Х(х) является бесконечно 41. Предел функции 43 большой при х э +оа и при х -э — оо, то пишут !пп 1(х) = ао. Например, 1пп х = оз. Контрольные вопросы и задания 1.

Сформулируйте два определения предела функции в тачке. Что означает эквивалентность этих определений? 2. Пользуясь определением предела функции по Гейне, докажите единственность предела функции в точке. 3. Докажите, что чха !пп х = ха, пользуясь определением предела функ-'*. а ции: а) по Коши; б) по Гейне. 4. Дана функция ф(х) = ) — (. Определена ли функции ф(х) в точке х = О? Является ли точка х = 0 предельной точкой области определения функции? Существует ли !ип ф(х)? а 5. Сформулируйте отрицание двух определений предела функции в точке. 6. Сформулируйте теоремы 2 и 3 о пределах функций.

7. Сформулируйте лва определения односторонних пределов функции и отрицанин этих определений. 8. Существуют ли ф(З 4- О) и ф(З вЂ” О), если 1(х) = -с -'— '(? Существует ли !пп 1(х)? 9. При каких условиях из существования односторонних пределов (предела функции) следует существование предела функции (односторонних пределов)? 10.

Сформулируйте два определения предела функции при х э 4-со и отрицания этих определений. 11. Докажите, что функция 1(х) = х не имеет предела при х э +со. 12. Докажите, чта 1пп х = фсо. 13. Сформулируйте определения по Гейне и по Коши, соответствующие слелуюшим символическим обозначениям: а) !пп ф(х) = -1-ао; б) ф(о 4- О) = — со:, в) !пп ф(х) = Ь; г) 1!ш ф(х) = са: д) 1!п1 ф(х) = +са. 14. Докажите, чта функция 1(х) = являетсн бесконечно большой в 1 точке х = 3.

Примеры решения задач 1. Доказать, чта !пп зш х = О. т-аа Л Воспользуемся неравенстном ~ з!пх( < !х) Чх. Зададим произвольное с > О и положим б = ш Тогда если !х! < б, то !зшх( < !х! < б = ш Эта и означает (сагласио определению предела функции по Коши), чта 1пп шп х = О. д л-аа 2.

Вычислить 1пп 1(х), где ((х) = х — 1 Л Так как 1пп(хз — Ц = О и 1ш1(х — Ц = О, та этот предел является х-а1 Гл. Пд Предел и неирерьсвнвсть функции неопределенностью типа О/О, и мы не можем воспользоваться теоремой 2 о пределе частного двух функций. Воспользуемся тем, что при рассмотрении предела функции в точке х = 1 ее аргумент не принимает значения, равного 1. Поэтому 1пп г"(х) = 1шь(х+ 1), так как с и — ь! х-и! У(х) =; = х+ 1, если х ф 1, Пусть (хи) произвольная последовательность, сходящаяся к 1 (х„ ф 1); тогда !ш! (ти + 1) = 2.