В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах, страница 5

д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Ограничевы ли последовательности: а) хи = ( — Ц"-; б) хи = 2и; в) х„=!пи; г) х„=е!пи: д) (х„) =1,0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,..?? Ответы обоснуйте. 2. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что: а) !!пз (: — ) — = 0; б) 11пл " = 2; в) 1пп са'и = 0; и и -1- 3 и г) 1пп 1ед 2 — О, д) 1шл 1 = 0; е) 1лпл (0,8)и = 0; -л и' -)- 2и -)- 1 2" -!-5 6" 3" Еб" и -!- 1 3. Известно, что 1пп х„= а.

Докажите, что: а) 1пп (х„тл — х„) = 0; б) 1лш !х„( = )лл1; в) 1лш хл = а . » — л 4. Пусть 1пп !х„) = !лл(. Следует ли отсюда, что 1пп х„= а? 5. Докажите, что последовательность (х„) расходится, если: а) х„= и; б) х„= 1пи; в) х„= и! зУ. Бесконечно лилие 6. Пусть последовательность тх ) сходится и ЛХ = зор(х„),т = гаХтх„). Докажите, что: либо 3тг такое, что х„ = ЛХ; либо Згг такое, что хг = т; либо Згг,я такие, что х„ = ЛХ, хг = т. Приведите примеры последовательности всех трех типов. й 2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Основные понятия и теоремы О про дел он и е.

1!оследовательность 1х„,) называется бесконечно малой, если 1цп х„= О. а — гх О и р е дел е н и е. Последовательность )х„) называется бесконечно большой, если К4 > О хггг такое, что гуа > гт' ~х„> А~. С геометрической точки зрения это означает, что в любой (сколь угодно большой) окрестности нуля находится лишь конечное число членов последовательности, а вне ее -- бесконе шо много членов.

Если последовательность 1х„) бесконечно большая, то пишут 1пп х„ = оо. Если при этом начиная с некоторого номера все члены бесконечно большой последовательности положительны (отрицательны), то пишут 1гш х„=+со ( — оо). Отметим, что бесконечно большая а — ~ж последовательность не является сходящейся и символическая запись 1гпг х„ = +со (-оо) означает только, что последовательность (х„) является бесконечно большой, но вовсе не означает, что она имеет предел. Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, поскольку вне любой окрестности нуля имеется член последовательности 1дагке все члены начиная с некоторого номера).

Обратное неверно; неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Теорема 3. Алгебраическая сулла конечного числа бесконечно лгалых последовательностей является бесконечно лалогг последовательностью. Теорема 4. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно лгалай последовательностью. Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых есть бесконечно лалая. Теорема 5. Если последовательность Хх„) бесконечно большая, то, начиная с некоторого номера п,, определена последовательность 11/х„), которая лвляется бесконечна малой. Если последовательность Хх„) бесконечно малая и тХп х„у': О, то последовательность 11гх„) является бесконечно большой. Гл. П.

Предел последооотелъности 22 Контрольные вопросы и задания Примеры решения задач 1. Сформулировать на языке "е — Хе отрицание того, чта последовательность является бесконечно большой. Дать геометрическую интерпретацию этого отрицания. Е~ Согласна определению бесконечно большой последовательности 1 2 3 4 6 7 8 9 10 1! 12 Сформулируйте определения: а) бесконечно малой последовательности: б) бесконечно большой последовательности.

Дайте геометрическую ин- терпретацию этих определений. Сформулируйте на языке "е — Х' отрицание того, что послелователь- ность является: а) бесконечно малой; б) бесконечно большой. Дайте гео- метрическую интерпретацию этих отрицаний. Дайте определение, соответствующее символической записи 1ше х„= = — со. Пусть бесконечное число членов последовательности находится: а) в лю- бой окрестности нуая; б) вне любой окрестности нуля. Следует ли из условия а) (из условия б)), что последовательвасть является: бесконеч- на малой; бесконечно большой; ограниченной; неограниченной? Следует ли из условия а) (из условия б)), что последовательность не является: бесконечно малой; бесконечно боаьшой? Известно, что последовательность (х„) нвляется: а) бесконечно малой; б) бесконечно большой.

Следует ли отсюда (при условии х ~ О Чя), что последовательность (1?х ) является; а) бесконечно большой; б) беско- нечно малой? а) Является ли бесконечно малан последовательность ограниченной? б) Является ли бесконечно большая последовательность: неограничен- ной: сходящейся? в) Является ли любая неограниченная последовательность бесконечно большой? Известно, что у„ф- 0 Чп и: а) 1пв х„= !ше у„= 0; б) !нн х„= = 1ше у = оо. Мажет ли последовательность (х„?у„) быть: бесконечно большой; бесконечно малой; сходящейся; расходящейся, но не бесконеч- но большой? Приведите примеры. Докажите, что сумма двух бесконечно малых последовательностей яв- ляется бесконечно малой.

Верно ли аналогичное утверждение для бес- конечно больших последовательностей? Ответ обоснуйте. Докажите, что если 1цп х = сс, то, начинан с некоторого номера я, определена последовательность (1?'х„), причем 1цп (1?х„) = О. Пусть (х Ч- у„) бесконечно малая последовательность. Следует ли отсюда, что (т„) и (у„) бесконечно малые последовательности? От- вет обоснуйте. Пусть (х„у„) бесконечно малан последовательность. Следует ли от- сюда, что хотя бы одна из последовательностей (х„) и (у„) бесконечно малая? Ответ обоснуйте. Докажите, что если х 3 у и 1нп у„ = фас, та 11ш х„ = -)-ао. 22. Бесконечно молесе 23 1шс х„= оо, если К4 > О ЛХ такое., что сссп > счс [хо[ > А.

Пользуясь правилом построения отрицаний, получаем, что последовательность (х„) не является бесконечно большой, если ЛА > О такое, что ЧХ Лгс > Лс:[хн[ < А. С геометРической точки зРениЯ это означает, что найдется некоторая окрестность пуля (А-окрестность), в которой находится бесконечно много членов последовательности.

А 2. Доказать, что последовательность (ае) является: а) бесконечно большой при [а[ > 1; б) бесконечно малой при [а[ < 1. с'с Пусть[а[ > 1. Докажем, что последовательность (ае) удовлетворяет определенисо бесконечно большой, т. е. еА > О ЗХ такое, что сегс > сч' выполняется неравенство [а[" > А. (1) Зададим произвольное А > О. Для отыскания нохлера ссс решим неравенство (1) относительно и.

Получим п > 1оя~,~ А. (2) Положим Х = [1оя „А). Тогда Мсс > счс выполняется неравенство (2), )о! ' а значит, и (1). Таким образом, ЧА > О эссе = [1оя,,~ А) такое, что Чп > сч' [а[" > А. Это и требовалось доказать. б) Пусть [а[ < 1. Если а = О, то а" = О сея и, следовательно, (ао) бесконечно малаЯ. ПУсть а ф О. Тогда а" = ((1ссс)") с.

Так как [1сса[ > > 1, то последовательность ((1сса)") является бесконечно большой, а последовательность ((1са)") с бесконечно малой в силу теоремы 5. Таким образом, последовательность (а") бесконечно малая при [а[ < < 1. в 3. Пусть хе = п,с О, Доказать, что последовательность (х„): а) неограниченная; б) не является бесконечно большой. Ь а) Докажем, что (х„) удовлетворяет определению неограниченной последовательности. Б самом деле,СсЛХ > О член последовательности с номером я = 2([Л1] + 1) равен и и больше ЛХ. Это и означает по определению, что (хн) неограниченная последовательность.

б) Докажем, что последовательность (х„) не является бесконечно большой. Действительно, в интервале ( — 2,2) находятся, очевидно, все члены последовательности с нечетными номерами, а значит, в этом интервале находится бссконе*шо много членов последовательности (х,).

Отсюда следует, что (хе) не является бесконечно большой. 1 4. Пусть (х„) - сходящаяся, а (р„) бесконечно большая последовательность. Доказать, что последовательность (хе + д„) бесконечно большая. ес Докажем, что последовательность (хе + ре) удовлетворяет опредечению бесконечно большой, т. е, ЧА > О Лсч' такое, что Уп > Лс [х„+ у„[ > А. Так как (хн) сходится, то она ограничена, т.