В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах, страница 2

г1 При предпологкениях примера 1 рассмотрим число а = со, с1сз...сг010010001... 000...01000...01... и ич-1 Эта дробь, очевидно, непериодическая (объясните, почему), т. е. а —— иррациональное число. Это число больше а, так как сь = аь (к = 0,1,...,Д вЂ” 1), с, = а,+1 > о,„и меньше Ь, так как сь = Ьь (и = О, 1, ...,о — 1), с„= а„< Ь„. Итак, существует иррациональное число а такое, что а < а < Ь. А Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1. Докажите, что чт8 есть иррациональное число.

2. Представьте дробь 31,2 (88) в виде обыкновенной. 3. Докажите, что любую периодическую десятичную дробь, не имеющую цифры 9 в периоде, можно получить как результат деления двух натуральных чисел. 4. Докажите, что любую периодическую десятичную дробь, имеющую в периоде цифру 9, нельзя получить как результат деления двух натуральных чисел. б. Докажите, что для любых двух вещественных чисел а н Ь (а ф Ь) существует бесконечно много как рациональных, так и иррациональных чисел, заключенных между ними. 8.

Докажите транзитивность знаков =, >, т. ел а) если а = Ь и Ь = с, то а = с; б) если п > Ь и Ь > с, то а > с. т. Докажите, что для любого числа а справедливы неравенства — ~а~ ( а < < Ц. 8. Докажите, что если х ( ЬЧ то — л > — д. 3 2. Точные грани числового множества. Применение символов математической логики Основные понятия и теоремы 1.

Об использовании некоторых логических символов. Пусть Х --. непустое множество вещественных чисел. Определение. Нножсство Х называется ограиачеиныж сверху (,снизу)), если существует число ЛХ (гп) такое, что для любого числа Гл. Л Вещественные числа х из множества Х выполннется неравенство х < Л1 (х > т). Число М (т) называется верхней (нижней) гранью множества Х. В этом определении, а также в формулировках многих других определений и теорем используются слова 'существует" и кдля любого". Длн краткости записи вместо этих слов будем использовать логические символы 3 и е'. Символ 3 называетсн нвантором существованиц а символ у нвантарам всеобщности. Тот факт, что число х принадлежит (не принадлежит) множеству Х, будем обозначать так: х б Х (х ф Х).

С помощью указанных символов определение ограниченного сверху множества можно записать так; множество Х пазываетсн ограничвннылг сверху, если ЗЛХ е Л такое, что хгх е Х выполняется неравенство х < М, или (еше более кратко) ЛЛХЕЯ УхеХ: х<ЛХ. (1) Использование кванторов не только сокращает запись, но и позволяет весьма простым способом строить отрицания предложений (определений, утверждений), записанных с помощью кванторов. Проиллюстрируем этот способ на примере отрицания определения ограниченного сверху множества. Иначе говоря, сформулируем определение неограниченного сверху множества.

Неограниченность сверху множества Х означает: не существует числа ЛХ такого, что для любого х е Х выполняется неравенство х < ЛХ. Это значит, что длн любого числа М существует х е Х, для которого х > Лй. Поэтому определение неограниченного сверху множества с помощью кванторов можно записать так: множество Х называется неограниченным сверху, если 'ч'ЛТ е В 5 х е Х; х > Л1. (2) Сравнивая (1) с (2), мы видим, что для построения отрицания предложении (1) нужно квантор 3 заменить на тг, а квантор ьг на В и стоящее после двоеточия неравенство заменить ему противоположным.

Это правило можно использовать и для построения отрицаний любых других утверждений, содерлгащих кванторы В и хг. 2. Точные грани числовых множеств. Определение. т1исло х называется точной верхней гранью ограниченного сверху множества Х, если: 1') ух б Х: х < х; 2') Чх < х ЛхбХ:х>х. Условие 1') означает, что х одна из верхних граней множества Х, а условие 2'), что х наименьшая из верхних граней множества Х, т. е. никакое число х, меньшее х, уже пе является верхней гранью. Точная верхняп грань многкества Х обозначается нпрХ. Аналогична определяется точная нижняя грань *) ограниченного снизу множества Х: она обозначается Ы Х.

*) В некоторых учебниках по математическому анализу точнаи верхння Ганне инн) грань называетсн просто верхней (нижней) гранью. у2. Точные грани числового лгназгестеа Теорема. Ограниченное сверху (снизу) непустое мнохеества имеет точную верхнюю (нилснюю) грань. Если множество Х не ограничено сверху (снизу), то пишут апр Х = +ос (1пГХ = — оо). Множество Х называется ограниченным, если ано ограничено сверху и снизу, т.

е. ЛЫ, т 1?х С Х; т < х < М. (3) Контрольные вопросы н задания 1. Напишите с помощью квавторов определение ограниченного снизу множества. Постройте отрицание этого определения, пользуясь правилом построения отрицаний. 2. Дайте определение точной верхней (нижней) грани ограниченного сверху (снизу) множества. 3.

Сформулируйте теорему о существовании точных граней числового множества. 4. Докажите единственность точных граней, т, е. что ограниченное сверху (снизу) множество имеет только одну точную верхнюю (нижнюю) грань. 5. Покажите, что точные грани могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству. Приведите примеры числовых множеств Х, у которых: а) зарХ 6 Х, б) вар Х К Х; в) ш?Х 6 Х; г) ш1Х В Х. Имеет ли множество Х в случанх а) и б) наибольшее, а в случаях в) и г) наименьшее число? 6. Что означает символическан запись: а) эцрХ =+со; б) ш?Х = — сю? 7.

Какое многкество называется ограниченным? 8. Докажите, что следующее определение ограниченного множества эквивалентна (3): множество Х называетсн ограниченным, если Л.4 > 0 Чх 6 Х: ]х] (~ А. 9. Применян правило построения отрицании к приведенному в задании 8 определению, сформулируйте определение неограниченного множества. Примеры решения задач 1. Найти точную верхнюю грань интервала (О., 1). ?1 Число 1 являетсн верхней гранью интервала (О, 1), так как Чх С С (О, 1): х < 1. Более того, г'х < 1 Ба С (О, 1); а > х. Действительно, если х < О, то 1?а б (0,1): а > х. Если х > О, та, как показано в примере 1 3 1, на интервале (х,1) найдется рациональное число о такое, что х < а < 1, т.

е. Ла б (0,1): а > х. Таким образом., для числа 1 выполнены аба условия определении точной верхней грани. Следовательно, эпр(0,1) = 1. Заметим, что найденная точная грань не принадлежит интервалу (0,1), т. е. впр(0, Ц е (0,1), в то времн как для промежутка (О, Ц эпр(0, Ц = 1 С (О, Ц. д 2. Найти точные грани мпажестна всех правильных рациональных дробей пз]п (т, и С )ч, т < а) и показать, чта это множество не г л. 1. Веигественнеге числа 10 имеет наименьшего и наибольшего элементов. Ь Пусть Х вЂ” множество всех правильных рациональных дробей т(тг. Так как Чт,п е гХ: т(п > О, то число О --. нижняп грань множества Х. Более того, (4) 'тх > О за с Х: а < х.

Действительно, если х > 1, то правильная рациональная дробь и = = 1/2 удовлетворяет условию (4). Если О < х < 1, то число х можно записать в виде босконечной десятичной дроби: х = О, хатха...хы.., причем Зтг такое, что хн ~ О. Рациональное число а = О, хгхг...хн г(х„— 1)1 согласно правилу сравнении вешественпых чисел удовлетворяет неравенствам О < а < х < 1, т.

е. является правильной рациональной дробью и удовлетворяет условию (4). Таким образом, .для числа О выполнено и второе условие определенин точной нижней грани числового множества. Итак, )пГ Х = О. Так как множество Х содержит только правильные дроби, т. е. т < ги то т/и < 1. Значит, число 1 .. верхняя грань множества Х. Более того, Чзб < 1 Лпт,ггт б Х: ю~тг > х. Действительно, как было показано в примере 1 2 1, существует рациональное число хт такое, что х < хт < 1. Так как хг < 1, то хт -- правильная дробь: хт = = та(п (тв < и), т.

е.хт Е Х. Следовательно, длн числа 1 выполнены оба условия определения точной верхней грани числового множества. Итак, зпрХ = 1. Однако )АХ = О ф Х, поскольку т(п = О лишь при ьч = О, по О )с )ч. Значит, множество Х не имеет наименьшего элемента. Точно так же зцр Х = 1 ф Х, поскольку птг'и = 1 лишь при т = п, что противоречит требованию правильности дроби. Значит, множество Х не имеет наибольшего элемента, д Задачи и упражнения для самостоятельной работы 9.

Пусть Х и 1' аепустые множества вешественяых чисел, причем Х ограничено сверху, а 1' содержится а Х. Докажите, что 1' также ограничено сверху и еир У < чар Х. 10. Найдите точные грани множества ракиокалькых чисел х, удовлетворяющих неравенству х < 2. 11. Пусть А — множество чисет, противоположных по знаку числам из множества В. Докажите, что: а) ш1А = — еирВ; б) еирА = — шРВ, ЕУ.