В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах

УДК 517 ББК 22.16 МЗ4 Математический анализ в вопросах и задачах: Учеб. пособие/ В.Ф. Бутузов, Н. Ч. Крутицкая, Г. Н. Медведев, А.А. Шишкин; Под ред. В.Ф. Кутузова. — 5-е изд., испр. — Мл ФИЗМАТЛИТ, 2002. 480 с. 18В1Ч 5-9221-0284-2. Пособие охватывает все разделы курса математического анализа функций одной и нескольких переменных.

По каждой теме кратко излагаются основные теоретические сведения и предлагаются контрольные вопросы; приводятся решении стандартных и нестандартных задач; даются задачи и упражнения для самостоятельной работы с отнетами и указанинми. Четвертое издание 2001 г. Длн студентов высших учебных заведений. Рецензент: доктор физико-математических наук, профессор А.

П. Прилелко (Московский инженерно-физический институт) © ФИЗМАГЛИТ, 2000, 2001, 2002 Ос В.Ф, Бутузов, И.Ч, Крутицкая, Г.И. Медведев, А.А. Шишкин, 2000, 2001, 2002 1БВк1 5-9221-0284-2 ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие написано на основе многолетнего опыта чтения лекций и ведения семинаров по математическому анализу на физическом факультете МГУ. Опо предназначено как для студентов, так и для преподавателей, особенно молодых, начинаюших вести семинары. Пособие охватывает основные разцелы дифференциального и интегрального исчисления функций одной и нескольких переменных. Оно не является сборником задач в обычном смысле слова.

Как следует из его структуры, назначение пособия помочь активному и неформальному усвоению студентами изучаемого предмета. Материал каждого параграфа разбит, как правило, на четыре пункта. В пункте "Основные понятия и теоремы" приводятся без доказательства основные теоретические сведения (определения, теоремы, формулы), необходимые для решения задач. Формулировки определений и теорем соответствуют в большинстве случаев учебнику В.А.

Ильина и З.Г. Позняка "Основы математического анализа". Иногда после формулировки определения или теоремы даются поясняющие примеры или комментарии, чтобы облегчить студентам восприятие новых понятий. Там, где это возможно, авторы старались указать па физическую интерпретацию и физические приложения математических понятий.

В наибольшей мере зто относится к главе ХУ. В пункте 'Контрольные вопросы и задания" содерясатся вопросы по теории и простые задачи, решение которых не связано с большими вычислениями, но которые хорошо иллюстрируют то или иное теоретическое положение. Назначение пункта помочь студентам в самостоятельной работе над теоретическим материалом. дать возл~ожность самостоятельно проконтролировать усвоение основных понятий. Предполагается, конечно, что основная работа над теоретическим материалом с проработкой доказательств теорем ведется по учебнику или конспектам лекций. Однако для решения задач часто достаточно понимания сути теоремы (или формулы).

Многие контрольные вопросы направлены на раскрытие атой сути. Из етого пункта преподаватель может черпать вопросы для проверки готовности студентов к семинару по той или иной теме. В пункте "Примеры решения задач" разобраны типичные примеры, демонстрируюшие применение на практике результатов теории. При этом большое внимание уделяется обсуждению не только "техни- Предисловие ческих приемов", но и различным "тонким местам", например условиям применимости той или иной теоремы или формулы. Количество разобранных примеров варьируется в зависимости от объема и важности темы. Иногда здесь дается ответ на вопрос, поставленный в предыду щем пункте.

Назначение последнего пункта — — "Задачи и упражнения для самостоятельной работы" определено его названием. Авторы ограничились определенным минимумом упражнений, достаточным для усвоения основных приемов решения задач по каждой теме. При подборе упражнений были использованы различные исто шики, в том числе широко известные задачники, например "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" Б.П.

Демидовича. Поэтому многие задачи данного пособия не претендуют на оригинальность, хотя среди них есть целый ряд новых. В конце книги даны ответы и указания к задачам и упражнениям. При подготовке данной книги были устранены замеченные в предыдущем издании опечатки и неточности. Начало и конец решений задач отмечаются соответственно знаками лл и Я, а вместо слова "Указаниее употребляется знак *.

Авторы надеются, что пособие поможет студентам в овладении методами математического анализа при их самостоятельной работе над предметом. Они также выражают надежду, что пособие будет полезным для преподавателей в работе со студентами, и с благодарностью воспримут все критические замечания и пожелания, направленные на улучшение его содержания. Автори ГЛАВА 1 ВЕ1ЦЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА з 1. Сравнение вещественных чисел Основные понятия 1. Представление вещественных чисел в виде бесконечных десятичных дробей. Любое вещественное число а представимо в виде бесконечной деситичной дроби: а = ~ао, алас...а„..., где из двух знаков + берется какой-то один: плюс -- для положительных чисел, минус —. для отрицательных чисел (знак плюс обычно не пишется).

Рациональные числа представимы в виде периодических, а иррациональные числа -.— в виде непериодических бесконечных десятичных дробей. 11екоторые рациональные числа представимы в виде конечной дроби или, что то же самое, в виде бесконечной дроби с нулем в периоде. Такие числа допускают второе представление в виде бесконечной десятичной дроби с цифрой 9 в периоде. Например, 1/2 = 0,500...0... = 0,5(0), 1/2 = 0,4999...9...

= 0,4(9). При сравнении вещественных чисел будем пользоватьсн для таких рациональных чисел лишь первой формой записи (с нулем в периоде). 2. Правило сравнения вещественных чисел. Пусть а = = ~ао, а~ аз,..а,„,.. и Ь = ~Ьо, 6|Ьз...Ь„.,. -- произвольные вещественные числа, представленные в виде бесконечных десятичных дробей. Числа а н 6 называются равными (а = 6), если они имеют одинаковые знаки и справедливы равенства аь = Ьь (6 = О, 1,'2, ...).

В противном случае считается, что а ф 6. При сравнении неравных чисел а и 6 рассмотрим три случая; 1) а и Ь неотрицательные числа. Так как а ф 6, то существует натуральное а (или п = 0) такое, что ал = Ьл (к = О, 1, ..., и — 1) и аа ф. Ьо. Будем считать, что а > Ь, если ао > Ь„, и а < Ь, если а„< Ь„; 2) а — неотрицательное, Ь вЂ” — отрицательное число. Будем считать, чтоа>6; 3) и и 6 отрицательные числа. Будем считать, что а > 6, осли (а) < )6(, и а < 6, если )а! > (6|.

Гл. Ь Вещественные числа 3. Некоторые числовые множества. Вещественные числа можно изображать точками на координатной прямой "). Поэтому множество всех вещественных чисел называют числовой прямой, а сами числа точками, и при рассмотрении числовых множеств часто пользуются их геометрической интерпретацией. Будем использовать следующие обозначении и терминологию: Х множество всех натуральных чисел:, У множество всех целых чисел; Н = [ — оо, +ос) множество всех вещественных чисел [числовая прямая); [а, Ь) "- сегмент [отрезок), т, е, множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь, [а,Ь) — интервал, т. е.

множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам а < х < Ь:, [а,Ь), [а,Ь) . полуиитера л [полусегмент), т. е. множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих соотвотственно неравенствам а < х < 6, а < х < Ь; [и,+ос), (оп+со), [ — оо,а), [ — оо,а) полупрямая, т. е. множество всех вещественных чисел х, удовлетворяющих соответственно неравенствам а < х < +со, а < х < +ос, — оо < х < а, — оо < х < а; сегмент, интервал, полуинтервал, полупрнмую и числовую прямую будем называть также промелсутиом; окрестность точки с --- любой интервал, содержащий точку с; е-окрестность точки с - —.

интервал [с — а, с+ а)., где а > О. Контрольные вопросы и задания 1. В чем состоит различие бесконечных десятичных дробей, представляющих рациональные и иррациональные числа? 2. В каком случае два числа называют равными? 3. Верны лн равенства 0,41(9) = 0,42(0) = 0,42? 4. Сформулируйте правило сравнения двух неравных чисел. Примеры решения задач 1. Доказать, что для любых вещестненных чисел а и Ь [а < Ь) найдется рациональное число с такое, что а < с < Ь.

Ь Пусть длн определенности числа а и Ь положительны, т, е. а=по;агав.,ал ">О, Ь=6п,Ь!Ь "Ьь" >О Если какое-нибудь из них является рациональным числом, выражающимся дробью с периодом 9, то запишем его в виде дроби с периодом О. По условию а < Ь. Это означает, что существует неотрицательное целое число и такое, что аь = Ьл [Ь = О, 1, ..., и — 1) и ав < Ьв. *) Напомним, что ноордпнотнол прямой пвзыввстся прямая, нв которой выбрвны тачка, являюшвнсн началам отсчета, масштабный отрезок и пололкительное направление. 98.

Точные грани числового лгиожества Поскольку цифра 9 не является периодом числа ач найдется натуральное число 1 > о такое, что а; ф 9. Рассмотрим рациональное число с = со, сгсг...сг, где сь = аь (к = 0,1, ...,1 — 1), с; = о, + 1. Число с больше а, так как сь = аь (и = 0,1,,1 — 1), с, = аг+ 1 > а„и меньше Ь, так как сь = оь = Ьь (и = О, 1, ..., и, — 1), с„= а„< Ь„. Итак, существует рациональное число стакое,чтоа<с<Ь. А 2. Доказать, что для любых вещественных чисел а и Ь (а < Ь) найдется иррациональное число а такое, что о < а < Ь.