В.Ф. Бутузов и др. - Математический анализ в вопросах и задачах, страница 6

е, ЗЛ1 > О такое, что 'Фп выполняется неравенство [х„[ < Ы. (З) Гл. П. Предел последовательности 24 Зададим теперь произвольное А > О. 11оскольку !у„) бесконечно боль- шая, для числа А+ М Л)з' такое, что Чи > Х имеем (4) )у„~ > А+М. Из (3) и !4) получаем, что чи > Х выполннется неравенство )х„+у„! > (у„! — (х„! > А+ М вЂ” М = А, что и требовалось доказать.

а Задачи н упражнения для самостоятельной работы 7. Известно, что в некоторой окрестности нуля находится: а) конечное число членов последовательности; б) бесконечное число членов посяедовательности. Следует ли отсюда, что в каждом из этих случаев последовательность яваяется: ограниченной; бесконечно малой., бесконечно большой? 8. Известно, что последовательвость 1х„) сходится, а 1у„) бесконечно большая. Может ли послеловательность 1х„у„): а) сходиться; б) расходиться, но быть ограниченной; в) быть бесконечно большой; г) быть бесконечно малой? Ответьте на эти вопросы, используя в качестве примеров последовательности 1и), ( " ), ( — ), ( 9.

Приведите примеры последовательностей 1х„) и 1у„), для которых !пп х, = О, !пп у„ = сс,а произведениеих 1х„у„) является последовательностью: а) сходящейся; б) расходящейся, но ограниченной; в) бесконечно малой; г) бесконечно большой. 10. Докажите, что заданные последовательности бесконечно малые: а) х = иь (й ( О); б) х„= ( — 1)" 0,999"; в) х„= —,; г) х 11. Докажите, что заданные последовательности бесконечно большие: а) х = и" !й > О); б) х = и1 — 1)"; в) т = 2~', г) х, = !обй!!обэп) !и 3 2). 12. Докажите, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. 13.

Докажите, что воследовательность 1(! + (-1)")и) неограниченная, однако не явлнется бесконечно большой. 14. Докажите, что если !!щ х„ = +со ! †), то последовательность 1х„) достигает своей точной ви'кней !верхней) грани. 1б. Найдите наименьший член последовательности 1х ), если: а) х = и — 9и — 100; б)х„ = и + 100/и. '9 3. Свойства сходящихся последовательностей Основные понятия н теоремы Теорема 6.

Пусть 1ьиз хи = а, 1пп уа = б. Тогда: о-зсл и-зм, а) 1пп !х„+ уи) = а + б; хд. Свойства сходящихся последовательностей б) 1пп (х„у„) = аЬ; и-оос в) если Ь д': О, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность (х„?уп) (т. е. 3Х такое, что Уп ) Х у„ф О) и 1пп (хо,?дп) = а?Ь и-оос Если 1)ш х„= 1нп до ос О, то 1нп (хп,?уп) называют неопредеи — Еос п — >ос п-ож лекностью типа О,?О. Аналогично определяются неопределенности типа оо?'оо, О оо, оо — сс. Ясно, что для таких пределов теорема 6 неприменима. Теорема 7.

Если 1ш| х„= а и, начиная с некоторого номера, о-осе х„> Ь (х„< Ь), то а > Ь (а < Ь). Теорема 8 (теорема о трех последовательностях). Если 1пп хя оо = а, 1(ш у„= а, и, начиная с некоторого номера, вьтолняются неравенства хп < г„< уп, то 1пп гв = а. и — «оо Контрольные вопросы и задания 1. Дайте определение сходящейся последовательности. 2.

Сформулируйте на языке "е — ?Уо определение расходящейсн последовательности и дайте геометрическую интерпретацию этого определения. 3. Сформулируйте теоремы 6 †. 4. Пусть последовательность (х ) сходится, а (у ) расходится. Докажите, что (х + уо) расходится, (сх„) сходитсн, (су„) расходится при с ~ О. Покажите нв примерах, что последовательность (хоу„) может: а) сходиться; б) расходиться. б. Пусть последовательность (х„ -1- у„) сходится. Следует линз этого, что (х„) и (у„) сходятсяд б. Пусть 1нн хо оо а.

(е) Докажите, что (х„) молено представить в виде :е„= а -~- а „, где (и„) бесконечно малая последовательность. Докажите обратное: из (**) следует (*). 7. Докажите теорему б. 8. Пусть 1пп х„= а, причемМп, х > Ь. Следует ли отсюда, что: а) о, > Ь: о-о б) о,)Ь7 Примеры решения задач 1. Пусть !пп у„ = Ь ф О, а последовательность (г„) расходится. Доказать, что (гпдя) расходится. ?1 Обозначим х„ = гпу„.

Докажем расходимость последовательности (хо) методом от противного. Предположим, что (хо) сходится. Так как по условию 1ш1 у„ = Ь ~ О, то по теореме 6 последовательность Гл. П. Предел последоеотелънооти 2б )и„,/Ри) = 1г„) опРеделена, начинаЯ с некотоРого номеРа, и сходитсн. Но это противоречит условию. Следователыю, (т„) расходится. л 2. Доказать, что последовательность 13!п и) расходитсн. Доказательство проведем методом от противного. Пусть 1пп а!пи = а. Тогда 11ш е!п(и+ 2) = а, откуда и — г~ и-исс !пп (а!п(п+ 2) — а!пп) = О. Из равенства соа(п+ 1) = соя п,соя 1 — гйппсйп1 находим гйп и = 1 (соепсоа1 — соб(гг+ 1)). Отсюда в силу (2) следует, что сйп 1 1пп ашп = О.

Таким образом, получаем 1!пг соби = 1пп эшп = О, иисс игт и-исс что противоречит равенству соаг п+ еш п = 1. Следовательно, 2 1а!пп) расходится. А 3. Найти пределы: а) 1пп г; б) 1пп; в) 1пп 10и . иг — п . 5 Зи и-исс по+ 1' и — сс п — чги' и сс 3" — 2 лг Отметим, что каждый из этих пределов являетсн неопределенностью типа со/оо. Имеем: а) 1пп, = 1пп — 1- — — О,.

10 и . 10 и-и со гг —; 1 и исс гг ж так как (и + — ь бесконечно большая; 11 и! г б) !пп -"-' — ~~-'. = 1пп = !пп (и+ чгй) =+со; и — >со и — тГи ииж и — ~/и и-исс в) 1пп „, = 1пп — 2- — — 5 сс 5, а и ~сс3и 2 и-,ест . 2 3" и дойсс зи 4. Найти предел 1пп (~/о~ + п — п). и 'сс гл Отметим, что этот предел явлнется неопределенностью типа оо — оо. Имеем 1!пг (~/л~ + п — п) = 1пп и — гсо и-исс Ьгиг + и,-~- и 5.

Вычислить 1пп ' ,%сопи и — гси и -~- 1 Последовательность )соби) ограничена, а с! -Х-"— 1 !и+13 бесконечно Так как а!п(п + 2) — сйпп = 2 сйп1соб(п+ 1), то, учитывая равенство (1), получаем 1пп соа(п+ Ц = О. (2) иисс 4о. Свойства сходящихся последовательностей 27 малая, так как ! ./пь 1пп ' = !нп и- ы> п+ 1 и ' сс 1, !нп 1 о.— ьсс ь7П 1 [1+ -1) Отскзда по теореме 4 следует, что произведение этих последовательностей является бесконечно малой, т. е.

11ш ' = О. Л .Гпсояи п ьс с сь -Ь 1 1 -ь2 +3 -Ь...-вп б. Найти предел !цп и — ьос пв Ь Обозначим Я„= 1в + 2» + За + ... + па. Будем искать Яя в виде Я, =Аи +Вп +Сп +Вгьз+Еп+Е. Тогда Отсюда длн любого натурального п имеем (и + 1) = 5Ап~ + (10А+ 4В)п + (10А+ 6В+ ЗС)п + + (5А+4В+ ЗС+ 2В)п + А+ В+ С+.О+ Е. Приравнивая коэффициенты при равных степенях п в левой н правой частях равенства, получим 5А =1, 10А + 4В =4, 10А+ 6В+ ЗС =6, 5А+4В+ЗС+2В =4, А+ В+ С+ О+Е=1. Отсюда А = 17'5, В = 17'2, С = 1/3, В = О, Е = — 17'30. Таким образом, для любого п имеем Я = —.

пв + — пь~ + — пз — — п + Е. Полагая п = 5 2 3 30 1 1 1 1 = 1., получим 1 = — + — + — — — + Е, откуда Е = О. Следовательно, 5 2 3 30 1е + 2а+ Зл + + л бп ч-15п'+10п — и 30 Итак, 1 -Ь2 +3 -Ь,.,-~-п . /1 1 1 1 т 1 !нп в = 1цп ! — + — + — — — 7! = —. Л и — ьсо ив пьес (,5 2п Зпс 30пс,) 5 Вп~.ь — Яп = А[(и, + 1)в — пв] + В[(п + 1) — гь'] + + С[(п + 1)з — пз] + В[(п + 1)з — п ] + Е[(п + 1) — п]. Гл. П. Предел последоеителъности 23 Задачи н упражнения для самостоятельной работы 24.

Найди ге пределы: а) 1 1п1 1сг~Р я!п ! и П п -1-2 б) !!п1 (~а+ 1 — х?п)! в) !ш ( — 2) -1- 3 -э ( — 2)"ЧС ж Зпл' 25. Пусть х, = лэл, . Требуется вычислить 1 — 2,г„.т„-т ь=и Оценим х„сверху и снизу: Е,-„'л,.„Е,„'-,—, Е Таким образом, имеем 1пп х. <х„<1.

16. а) Известно, что последовательность (х„) сходится, а (у„] расходится. Может ли последовательность (х у ) быть: сходящейся; расходящейся? б) Известно, что последовательности (х„) и (у„) расходятся. Могут ли последовательности (х„н- у„], (х„у„) быть: сходящимися; расходящимися? Ответьте на эти вопросы, используя в качестве примеров последовательности ( ~' + ), (( — 1)"), ! — ), (п), ( — п), (( — 1)"Ы ).

и 1 и 17. Даны последовательности ( — ], ( —, 1, ( 1, (, ) . Выберите из этих бесконечно малых последовательностей такие, что: а) !пп (х„/у„) = 0: б) !пп (х су„) = 1; в) 1пп (х„/у„) = сю; г) (х„,су„) расходится, но ограничена.

18. Дано: 1пп х, = Ь ~ сю, 1пп у„ = сю. Докажите, что: а) !)ш (х„х у„) = оо; б) !!ш (х„/у„) = О; в) 1!ш (у /х,) = оо (хп Ф О)! г) !)ш (х у ) = оо, если Ь ф О. и-~. ) 19. Докажите, что 1ш1 (х„ссу„) = сю, если 1ш1 х„= Ь ф О, 1ш1 у„= О (у ф О). 20. Известно, что 1пп х„= а ~ оо. Нейдите предел последовательности (у„), если: а) у„= 2х„— х„, О б) у„= х„х„+е! в) у„= (х лс — х„); г) у„= пшел(х,х„л~). 21. Известно, что !пп х„= а ф сю.

Приведите пример, когда последовательность (у„) сходится (расходится), если: а) у = ]х,]! б) уп = зяп х„. 22. Известно, что х„> О. Докажите, что: а) !пп х„= 3, если 1пп (хз — х„) = 6; б) !пп х„= 1, если 1пп (х„н- — ) = 2. х„,) 23.

Исследуйте на сходимость последовательности (в зависимости от оАФ а) х„=; б) х = пт Ч- ! Ъ'„з .Д пл -Ьз' ~lпЧ-1 — нсй' ЯЗ. Зал/ечателъные пределы Так как и . ! 1ио = 1нп = 1, ((! -!в и то по теореме о трех последовательностнх 1пп хи = 1. С другой стороны> произвольный член в выражении для т„ равен (й = 1, 2, ..., и). Так как )ои = О, то 1 ъ' '+Ь ' '"' ' и ~~+в 1 1 1 ( + + + 1 и/и +2 ъиз+зз/ 1 1пп + 11ш ч-...+ Вп! = О Ч- О -1- ... + О = О. и--,/из-!-1 ы-,/з+2 *-~- ъ~изии Итак, мы получили, что 1 = О. Найдите ошибку в проведенных рассуждеаиях.