Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002), страница 11

Принедем несколько примеров моделей случайных процессов, задаваемых таким образом. 61 Случайные сигналы х,(г) хз(з) хз(з) Рис. 1.29. Реализации случайного процесса Гармонический сигнал со случайной начальной фазой Во многих практических задачах используется модель случайного процесса, реализации которого представляют собой гармонические колебания с известными (детерминироваиными) амплитудой н частотой, но случайной начальной фазой.

Таким образом, реализация рассматриваемого случайного процесса может быть записана как х(с) - А соз(озог + зр) где А — амплитуда (детерминированная), ыо — частота (детермннированная) и д — случайная начальная фаза, которая в большинстве практически интересных случаев может считаться равномерно распределенной на зпзтервале 0...2л, то есть имеющей следующузо плотность вероятности: 1 — О~д<2я, р,(ср) = 2я О, в остальных случаях. Графики нескольких реализаций данного случайного процесса, представляющие собой синусоиды, смещенные друг относительно друга по временной осп, показаны на рис. 1.30.

Как видите, конкретный вид реализации процесса в данном случае определяется значением всего лишь одной случайной величины — начальной фазы. ЗАМЕЧАНИЕ Случайные процессы, конкретный внл реализаций которых определяется значениями конечного числа параметров (случайных величии), иногда называют кеозидетер чннироеапными схучайпыми процессами. ег Глава 1. Основы анализа сигналов Рис. 1.30. Реализации гармонического сигнала со случайной начальной фазой Случайный телеграфный сигнал Таким сигналом в 151 назван случайный процесс, реализации которого принимают значения +1 и — 1, причем перепады уровня происходят в случайные моменты времени и число Аг перепадов уровня, происходящих за время т, является случайной величиной с дискретным распределением вероятности, описываемым законом Пуассона: Р(Аг,т) = — е (1'т)м к Аг! Здесь Х вЂ” неотрппательный параметр, определяющий среднюю частоту возникновения перепадов уровня.

ЗАМЕЧАНИЕ Напомним, что прописной буквой Р обозначается вероятность некоторого события, указываемого в скобках. В формуле (1 28) Р(Х т) — это вероятность того, что за время т произойдет Х перспалов уровня сигнала. Скачки уровня происходят в случайные моменты времени Гы поэтому аналитически записать формулу для отделыюй реализации данного случайного процесса оказывается весьма затруднительно, а изобразить ее график можно лишь условно (рнс. 1.31). Рис.

1.31. Реализация случайного телеграфного сигнала В данном случае конкретная реализация задается бесконечным множеством случайных величин — моментов перепадов уровня 1ы а характеристики случайного процесса определяются статистическими свойствами этих случайных величин. Итак, полное описание случайного процесса дает его аясамбльреализаций. Однако для решения практических задач часто достаточно более простых характери- Случайные сигналы стик, выражающихся в виде числовых параметров и детерминированных функ- ций.

Об этом пойдет речь далее. Вероятностные характеристики случайных процессов Пусть Х(г) — случайный процесс, заданный ансамблем реализаций (х,(г), х,(г),..., х,(г), ...1. Выбрав произвольный момент времени гь зафиксируем значения, принимаемые всеми реализациями: (х,(г,), хз(г,), ..., хл(г,), ...1 (см. рис. 1.29). Совокупность этих значений образует одномерное сечение случайного процесса и представляет собой случайную величину Х(Г,), Напомним кратко основные характеристики случайных величин, отметив при этом, что для одномерных сечений случайных процессов они в общем случае зависят от выбранного момента времени гь Функциональные характеристики Фугосция распределения вероятности (сшпц1аВче г(1зсг(Ьцаоп (цпстюп, СРЕ), обозначаемая как Е(х, г,), равна вероятности того, что в момент времени г, значение случайного процесса не превосходит х: Е(х, г1) - Р(Х(г,) < х).

Р(х, г,) является неубывающей функцией, значения которой лежат в диапазоне О < Г(х, г,) < 1. Для предельных значений х выполняются следующие соотношенияг Р(-ь>, г1) " О и Г(го, г1) - 1. Вероятность попадания значения случайного процесса в интервал (а, Ь( равна разности значений функции распределения на концах этого интервала: Р(а < Х(г,) < Ь) - Е(Ь, г~) — Г(а, г1). Одномерная плотноппь вероятности (ргоЬаЬ(1йу с(епз1гу (цпсгюп, Р1)Р) обозначается р(х, г,) и представляет собой производную от функции распределения: с1Г(х, г, ) р(х,г,) = Произведение р(х, г,) Ых равно вероятности попадания значения случайного про- цесса Х(г,) в бесконечно малый интервал шириной Их в окрестности х: р(х, г, )Ых = Р х — — < Х(г, ) < х ч- — 1, Их Ых1 2 ' 2) откуда следует, что плотность вероятности является неотрицательной функцией: р(т, г,) > О.

Чтобы рассчитать вероятность попадания значения Х(г,) в произвольный интервал (а, Ь1, необходимо вычислить следующий интеграл: ь Р(а <Х(г,) Ь) = 1р(хг,) Ь. Так как случайная величина обязательно принимает какое-нибудь значение, долж- но выполняться условие нормировки: Глава 1. Основы анализа сигналов (1.29) ! р(х, С, ) сг'х = Р (-го < Х(С, ) < со) = 1. Зная плотность вероятности, можно рассчитать и функцию распределения: ° х Р(х,с,) = ) р(х,с,)дх. (1.30) Числовые характеристики Знание одномерной плотности вероятности р(х, с,) позволяет произвести статистическое усреднение как самой величины Х(с,), так н любой функции от нее. Под статистическим усрвднвггием (епзешв!е ачегад!пя) подразумевается усреднение по множеству (по ансамблю реализаций) в каком-либо сечении процесса, то есть в фиксированный момент времени.

Для практических приложений наибольшее значение имеют следуюшпе параметры случайного процесса: С1 математическое ожидание (шеап ча!пе), которое служит теоретической оценкой среднего взвешенного значения случайного процесса в момент времени с: т„(с) = М(Х(с)) = (хр(х,с)с(х; ЗАМЕЧАНИЕ Во многих практических задачах приходится вычислять математическое ожидание некоторой функции /от случайной величины х, имеющей плотность вероятности р„(х). Такое вычисление выполняется по следующей несложной формуле; Мфх)) = ( у (х)р„(х)г!х.

(1.32) Формула для математического ожидания (1.31) является частным случаем (1З2) при /(х) - х. О дисперсия (чапапсе), характеризующая среднюю мощность отклонений случайного процесса от его среднего значения т,(С), называемых флуктуацилми (Йцсспас!оп): Р,(с) = М([Х(с) — т, (с)]а) = М(Х'(с)) — т,'(с) = ! х'р(х, с)с!х — т,'(с); (133) 1Л среднее квадратическое отклонение (зсапдагд деч!аг!оп), представляюшее собой квадратный корень нз дисперсии и служащее амплитудной мерой разброса значений случайного процесса в момент времени с относительно математического ожидания: (134) ЗАМЕЧАНИЕ Дисперсия случайной величины Х часто обозначается как а~.

Случайные сигналы Равномерное распределение Одним из часто используемых на практике законов распределения случайных величин является равномерное распределение (цп11огтп с(1зсг1Ъцс(оп). При этом плотность вероятности является константой на некотором интервале [а, Ь] (рис. 1.32, слева). Величина этой константы, согласно условию нормировки (1.29), должна быть равна 1/(Ь вЂ” а): — а<х<Ь, 1 р(х) = Ь-а О, х<а, х>Ь. р(к) 1 ь — а 0 а Ь к О а Ь к Рис. 1.3в. Плотность вероятности (слева) и функция распределения (справа) случайной величины с равномерным распределением О, х<а х-а — аьх<Ь, Ь-а Е(х) = 1, х>Ь.

Математическое ожидание, как и предсказывает интуиция, равно середине интервала возможных значений случайной величины: 1 а+Ь тк =]х — г(х = —. Ь-а 2 ЗАМЕЧАНИЕ Если функция плотности вероятности имеет симметричный вид, то значение математиче- ского ожидания всегда совпадает с центром симметрии. Для расчета дисперсии необходимо сначала определить средний квадрат: М)(Х'~ =1 ' — 'И вЂ” Ь Ь-а 3(Ь-а) 3 Теперь можно рассчитать дисперсию согласно (1.33): а'+аЬ+Ь' (а+Ь] (Ь вЂ” а)' 3 [, 2 ] 12 Функция распределения, согласно (1.30), на интервале [а, Ь] линейно возрастает от О до 1 (см.

рис. 1.32, справа): Глава 1. Основы анализа сигналов Итак, дисперсия равна одной двенадцатой квадрата ширины интервала, Среднее квадратическое значение, естественно, оказывается пропорциональным этой ширине: Ь-а о„= /Р„= —. 2 ГЗ Нормальное распределение л(х) О,З 0,2 О,! 0 -3 -2 -! 0 ! 2 х Рис.

1.33. Плотность вероятности случайной величины с нормальным распределением Функция распределения для закона Гаусса, к сожалению, не выражается через элементарные функции, В отечественной литературе принято выражать ее через так называемый интеграл вероятности: Ф(к) = ) — ехр! — Ых'. 1 ! (к) ! ,2. (!, 2 1 (1.36) Для нормального закона с математическим ожиданием т, и дисперсией а„' функция распределения выражается через интеграл вероятности следуюшим об- разом: г(х) = Ф вЂ”" В зарубежной литературе большее распространение получила так называемая фут!киия ошибок (еггог !пост(оп) ег(: Нормальный (гауссов) закон распределения случайных величин (погша1 !11зтп'- Ъпсюп, Сапзз1ап 111згг(Ъигюп) очень удобен для анализа и часто встречается на практике, особенно он характерен для помех канала связи.