Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002), страница 7

1.16. Симметричный треугольный импульс Рассчитываем спектральную функцию: 5(Ф) = ) А 1 — ~ ~ е л" й = А Т т) ( Т/2)2 Далее строим график амплитудного спектра (рис. 1.17). Спектральная функция оказывается не только вещественной (это сразу же следует из четности сигнала), но и неотрицательной, поэтому фазовый спектр в данном случае чисто нулевой и строить его график не имеет смысла. 38 Глава 1. Основы анализа сигналов Атй АТГ10 0 -Зк -2к -к 0 к 2п иТ Рис. 1.17.

Амплитудный спектр симметричного треугольного импульоа Из графика видно, что спектр опять имеет лепестковую структуру и ширина главного лепестка составляет 2я/Т, как и в случае прямоугольного импульса. Однако длительность сигнала в данном случае вдвое больше (2Т), и база оказывается равной йя. Далее перейдем от сигналов конечной длительности к бесконечно протяженным сигналам. Односторонний экспоненциальный импульс Первым из сигналов бесконечной длительности будет рассмотрен односторонний зкспоненциальный импульс (рис. 1.18): /Ае, г >О, 10, С<0. 0 1/а с Рис.

1.18. Односторонний зкспоненциальный импульс Рассчитываем преобразование Фурье: 5(го) = ) Ае ы е "" Й =— а+ )го Далее строим графики амплитудного и фазового спектров (рис. 1.19). Првобразоввниа Фурьа (Яи)! А/а 39 Апоа -в/2 ид 0 -10 -8 -б -4 -2 0 2 4 6 0-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 и/а Рис. 1.19. Амплитудный (слава) и фазовый (справа) спвктры одностороннаго экспонанцивльного импульса 0 1/а Рис. 1.20. Двусторонний экспонанциальный импульс 5(и) 2А/а А/а А/54 0 -8 -б -4 -2 0 2 4 6 В и/а Рис. 1.21.

Амплитудный спактр двустороннаго экспонвнциального импульса Двусторонний експоненциальный импульс Теперь пусть экспоненпиальпый импульс будет двусторонним (симметричным, рис. 1.20): 5(т) - А е ")(. Глава 1. Основы внвливв сигналов Рассчитываем преобразование Фурье: о(07) = 1Ае "1'е ' г1г = —, Спектр в данном случае чисто вещественный, поэтому строиты рафик фазового спектра нет смысла (рис. 1.21). Гауссов импульс Слелующий очень важный сигнал — гауссов импульс (рис, 1,22). Как и прелыдущнй, он имеет бесконечную протяженность в обоих направлениях временной оси: 5(г) =Ае ' ' .

нг)ы О.Я 0.8 ОЛ О.б 0.5 ОЛ 0.3 Оа ол 0 -3 -2 -1 о 1 Рис. 1.22. Гауссов импульс Вычисляем спектр: А /к ( глг ~ 5(го) = ) Ае ' ' е ггт = — ехр~- —, а 1 4а',1 Поскольку сигнал является четной функцией, его спектр чисто вещественный. Поэтому строим график только для амплитудного спектра (рис. 1.23). Важным свойством гауссова импульса является то, что его спектр тоже описывается гауссовой функцией.

Гауссов импульс имеет бесконечную протяженность как во временной, так и в частотной области. Определим его эффективную длительность и пшрнну спектра по уровню 1/е от максимума: т " 2/а, агл - 2а. База сигнала, таким образом, равна четырем. Преобразование Фурье 5(е) А к/'в А/а А/5а -4 -2 О 2 4 и/а Рис. 1.23. Амплитудный спектр гауссова импульса Сигнал вида в1л(х)/х Следу/оший пример призван продемонстрировать Дг/алы/оппь преобразования Фурье. Если сравнить формулы прямого и обратного преобразования Фурье, можно замет11теь что они отличаютсЯ ДРУГ от дРУга лишь знаком в показателе комплексной экспоненты-и множителем перед интегралом.

Отсюда следует, что если четной функции времени Е(Е) соответствует спектральная функция я(в) (она будет также четной), то функции времени я(Е) будет соответствовать спектральная функция 2к/(в). Проверим это на конкретном примере. В начале этого раздела мы выяснили, что прямоугольному импульсу соответствует спектральная функция вида 51п(в)/в.

Теперь же рассмотрим временной сигнал вида яп(Е)/Е и проверим, будет ли его спектральная функция прямоугольной. Итак, задаем временной сигнал (используем параметр Т для обозначения полу- периода функции яп) (рис. 1.24): 51П (кЕ/Т) 5(Е) = А к$(Т Рассчитываем спектр н строим график (рис. 1.25): 51п(кг/Т) ли 1 5!п (кг/Т) соз вг лг/Т „кг/'Т 5!П 01+ — Е+51П ОЗ- — Е АТ~ Т Т 2к С яп в+ — Е яп в — — Е д АТг Т ( 2п 2п „С Глава 1. С)сновы анализа сигналов 0,8 0.6 0.4 02 — 0.2 -0.4 -5 -4 -3 -2 -1 0 ! 2 3 4 ИТ Рис. 1.24. Сигнал вида Мп(а1)/(а1) -я/Т 0 я/Т и Рис. 1.26.

Сигнал вида в(п[ай/(а1) имеет прямоугольный спектр Значение каждого из двух получившихся интегралов равно шх в зависимостн от знака множителей (ю + х/Т). Поэтому результат суммирования интегралов зависит от частоты следующим образом: АТ, )от(< —, 8(г) = ' Т' О, (гс(> -. Т Как видите, луалыюсть (симметрия) преобразования Фурье получила наглядное полтвержление. Сигнал данного нида имеет идеальный низкочастотный спектр — спектральная функция постоянна в некоторой полосе частот, начинающейся от нулевой частоты, и равна нулю за пределами этой полосы. Мы вцовь встретимся с этим сигналом в главе 3 прп обсуждении разложения сигналов в рял Котелышкова.

Свойства преобразования Фурье Пол свойствами преобразования Фурье подразумевается взаимное соответствие трансформаций сигналов и их спектров. Хорошее знание свойств преобразования Фурье позволяет предсказывать примерный (а иногда и точный) вил спек- 43 Првобразоввиив Фурье тра анализируемого сигнала и таким образом контролировать правдоподобность результата, выдаваемого компьютером. В этом разделе мы будем рассматривать два абстрактных сигнала, у(г) и д(г), и считать, что их спектральные функции равны Г(го) и 6(а). Линейность Преобразование Фурье является лияейиым интегральным преобразованием.

Смысл свойства линейности можно сформулировать так: спектр сугимы равен сумме спектров. Говоря математическим языком, линейная комбинация сигналов имеет спектр в виде такой же (с теми же коэффициентами) линейной комбинации их спектральных функций: если з(г) - ау(г) + Кй(г), то 5(от) = аЕ(го)+ ))С(от). Задержка А теперь посмотрим, как сказывается на спектральной функции задержка сигна- ла во времени. Итак, пусть т — время задержки: з(г)-Л»- ) тогда спектральная функция изменится следуюшим образом: 5(ю) = ) дг-т)е '"'ггг = ') яг — т)е '"" 'гг(г-т) е т = Г(а)е '"'. Результат показывает, что спектр исходного сигнала оказался умноженным на комплексную экспоненту вида е 'ют.

Таким образом, амплитудный спектр сигнала не меняется (ведь модуль такой комплексной экспоненты равен 1; к тому же здравый смысл подсказывает, что соотношение между амплитудами спектральных составляющих из-за сдвига сигнала во времени измениться не должно). Фазовый спектр приобретает дополнительное слагаемое -Фт, линейно зависящее от частоты. ЗАМЕЧАНИЕ Если в результате какого либо преобразования с и падала его спектр улпгожается из некоторую функцию, ие зависящую от преобразуемого сигнала, зто означает, что дав иое преобразование может быть выполнено лиисйиой системой с постоянными параметрами.

Речь о системах данного класса дойдет в гдзвс 2. Изменение масштаба оси времени Рассматривая конкретные примеры, мы уже познали на практике общее правило: чем короче сигнал, тем шире его спектр. Теперь взглянем ца это правило со строгих теоретических позиций. Если изменить длительность сигнала Дг), сохраняя его форму, то новый сигнал з(г) следует записать как з(г) - Дог). Глава 1. Основы анализа сигналов При (а~ > 1 сигнал сжимается, при 1а~ < 1 — растягивается. Если а < О, дополнительно происходит зеркальное отражение сигнала относительно вертикальной оси. Посмотрим, как такое преобразование сказывается на спектре: 5(в) = )гу(аг)е эый = — )гав(аг)е " й(аг) =-Г~ — ~. 1 " -э-"„и 1 Г'ой а „ а тау Итак, изменение длительности сигнала приводит к изменению ширины спектра в противоположную сторону (аргумент Г на а умножается, а в делится) в сочетании с увеличением (при растяжении, а < 1) или уменьшением (при сжатии, а > 1) уровня спектральных составляюших.

Полученная формула справедлива для а > О, При а < О использованная замена переменной г -+ аг вызовет перестановку пределов интегрирования и, как следствие, изменение знака у результата: 5(в) = — — Г~ — ~, а < О а (ау' Объединяя оба случая, можно записать 5(в)= — Г~-~, ас О. )а) эа/ В частном случае а - — 1 полученная формула дает следующее: 5(оэ) = Г(-оэ) = Г (в). Итак, зеркальное отражение сигнала относительно начала отсчета времени приводит к зеркальному отражению спектра относительно нулевой частоты.

Для вещественного сипвла это соответствует комплексному сопряжению спектра, ЗАМЕЧАНИЕ В данном случае результат не сводится к умноженшо исходного спектра на некоторую функцию. В соответствии с предыдушим замечанием ато означает, что изменение длительности сигнала не можегл быть осуществлено линейной системой с настоянными параметрами. Дифференцирование сигнала Посмотрим, как влияет на спектр дифференцирование сигнала во временной области. Для этого нам придется воспользоваться определением понятия производной: 5(г) = — = 11пэ 0(Г с-со Применим к этому выражению преобразование Фурье: у(г+ е)-Яг) „. Г(в)е' — Г(в) с ссо е с-со е ели — 1 = Г(в) 1цп — = )вГ(в). с 0 Преобразование Фурье Спектр производной получается путем умножения исходного сигнала на ссо.