Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Значит, спектром комплексной экспоненты должна являться одиночная дельта-функция; 5(в) = ) Ае'"ме "'Й =2Акб(го — в,). (1,21) Результат, как видите, не обманул наших ожиданий. Обратите внимание на то, что поскольку сигнал не является вещественным, его спектр теряет свойство симметрии. На первый взгляд, польза от рассмотрения комплексных сигналов невелика. Однако они оказываются очень удобным средством для анализа модулированных сигналов, особенно когда у них одновременно меняются и амплитуда, н начальная фаза. С такими сигналами нам предстоит встретиться в разделе «Коьгплексная огибающая» далее в этой главе.
Произвольный периодический сигнал Как мы уже знаем, периодический сигнал с периодом Т может быть представлен в виде ряда Фурье (1.8): .зм, з(Г) = ,к- С, е' г ', После вычисления спектров гармонического сигнала (1.20) и комплексной экспоненты (1.21) читателю уже должно быть ясно, что спектральная функция такого сигнала представляет собой набор дельта-функций, расположенных на частотах гармоник ряда Фурье: 5(в) = ч~„2пСьб~в- — ~. т,)' Множители при дельта-функциях равны соответствующим коэффициентам ряда Фурье С», умноженным на 2н. 50 Глава 1.
Основы анализа сигналов Корреляционный анализ Корреляционный анализ наряду со спектральным играет большу1о роль в теории сигналов. Говоря кратко, его смысл состоит в количественном измерении стетгш сходства различных сигналов. Для этого служат корреляционные функции, с рассмотрения которых мы и начнем этот раздел. Корреляционная функция Корреляционная функция (КФ; английский термин — согге1атюп (пист(оп, СР) детерминированного сигнала с конечной энергией представляет собой интеграл (в бесконечных пределах) от произведения двух копий сигнала, сдвинутых друг относительно друга на время т: В,, (т) = ) з(г)з(г — т) ттг.
Корреляционная функция показывает степень сходства между сигналом и его сдвинутой копией — чем больше значение корреляционной функции, тем это сходство сильнее. Кроме того, корреляционная функция обладает следуюшимн свойствами: 1. Значение КФ при т - 0 равно энергии сигнала, то есть интегралу от его квадрата: В,(0) = ~з'(т)г(т = Е. 2.
КФ является четной функцией своего аргумента т: В,(т) - В,(-т). 3. Значение КФ при т - 0 является максимально возможным значением: В,(т) < В,(0). 4, С ростом абсолютного значения т КФ сигнала с конечной энергией затухает: 1пп В„(т) =О. ю-> 5. Если сигнал з(г) не содержит особенностей в виде дельта-функций, его КФ не может иметь разрывов (то есть обязана быть непрерывной функцией). б. Если сигнал — напряжение, то размерность его КФ равна В~.с. В качестве примера вычислим КФ прямоугольного импульса (1.13), показанного ранее на рис.
1.12: О при Оь та Т т В,(т) = ) А'г(г = А'(Т-т); ьз при -Т < т < 0 т+. В,(т)= ~А'юг= А (Т+ т); о 51 Коррвляционный анализ ~> приЦ>Т В,(т) О. Объединяя результаты, можно записать )'Аз(Т-~ !), ~ ! Т, 10, ~т !> Т. График КФ прямоугольного импульса показан на рис. 1.26. -т о т Рис. 1.26.
Корреляционная функция прямоугольного импульса В случае периодического сигнала (и вообгде любого сигнала с бесконечной энергией) воспользоваться приведенным определением пе удастся. Поэтому КФ периодического сигнала с периодом Т вычисляют, усредняя произведение сдвинутых копий в пределах одного периода: 1 тп В„(т) = — ) з(г)з(г — т)й. Т „., Набор свойств такой КФ несколько меняется. 1.
Значение при т-0 равно не энергии, а средлей мощностли анализируемого сигнала: 1 з ,() 1 () Т 2. Свойство четности сохраняется: Вк(-т) - В,(т). 3. Значение 1<Ф прн т - 0 по-прежнему является максимально возможным: В,,(т) ~ В,(О). 4. КФ периодического сигнала является периодической функцией с тем же пе- риодом, что и сам сигнал: В,(т + Т) = В,(т). 5. Если сигнал пе содержит дельта-функций, его КФ будет непрерывной функ- цией. 6.
Размерность КФ периодического сигнала — квадрат размерности сигнала (В~, если сигнал — напряжение). В качестве примера вычислим КФ гармонического сигнала с частотой гос. з(г) - А соз(гоог + фо) 52 Глава 1. Основы анализа сигналов Вычисляем корреляционный интеграл, учитывая, что период такого сигнала ра- вен 2Я/озл: '4 о Аг В,(т) = — ' )Асов(о2,5+ 2р,)Асов(оз„(г-т)+ 2р«)й = — соз(о2,т). 2я,,„ 2 Как видите, КФ гармонического сигнала тоже являет~я гармонической функцией.
Еще очень важен тот факт, что полученный результат не зависит от начальной фазы гармонического сигнала (параметр 2р в полученное выражение не вошел). Это проявление общего свойства всех КФ, о котором пойдет речь далее в разделе «Связь между корреляционными функциями и спектрами сигналов».
Взаимная корреляционная функция Если КФ показывает степень сходства между сдвинутыми копиями одного и того лсе сигнала, то взаимная корреляционная функция (ВКФ; английский термин — сгозз-согге1аНоп (впсс2оп, ССЕ) позволяет измерить аналогичну2о величину для сдвинутых экземпляров двух раз22ых сигналов. Общий вид формулы КФ сохраняется, но под интегралом стоит произведение двух разных сигналов, один из которых задержан на время т: В„(т) = ()5,(г)52(г — т)Й. ЗАМЕЧАНИЕ Очевидно, что КФ является частным случаем ВК212, когда абв сигнала одинаков»с 5~(г) 52(г) 5(г).
В качестве примера вычислим ВКФ прямоугольного и треугольного импульсов (см. рис. 1.12 и 1.14): А 0<г<т, А —, 0<г<т, ,(г) = ' ' 52(г) =~ т' О, г<О,г>Т; <О г<0 г>т. о приОьт<Т В,г(,) = ~А2 — '' гг = — (т-.)', Т 2Т сз при — Т<т<0 г~ 2 В,г(т) = < А — г(Г= — (Т' — ) , г — т А Т 2Т П при<с<>Т Вм(г) - О. Корреляционный анализ Объединяя результаты, можно записать — (Т вЂ” т), 0<т<Т, А т 2Т А' В (т)= — (Т вЂ” т~), 2Т -Тат<0, (т) > Т.
О, График полученной ВКФ представлен на рис. Е27. -т о т Рис. 1Я7. ВКФ прямоугольного н треугольного импульсов Свойства ВКФ несколько отличаются от свойств КФ: Е (Во(т)) < ~Е,Е,, где Е1 и Ег — энергии сигналов з1(г) и зз(г). 2. Вм(-т) - Вм(т), то есть изменение знака т равносильно взаимной перестановке сигналов. 3. Значение ВКФ при т - О ничем не выделяется; максимум может быть расположен в любом месте оси т. 4. С ростом абсолютного значения т ВКФ сигналов с конечной энергией затухает: ВМ В„(.) =О. 5.
Если сигналы з~(г) и зз(г) не содержат особенностей в виде дельта-функций, их ВКФ не может иметь разрывов (то есть обязана быть непрерывной функцией). 6. Если сигналы — напряжение, то размерность их ВКФ равна В' с. Для периодических сигналов понятие ВКФ обычно не прииеняется, хотя оно мо- жет быть введено в случае, если сигналы з,(г) и зз(г) имеют одинаковый период.
Связь между корреляционными функциями и спектрами сигналов Поскольку как корреляционные функции, так и спектры являются интегральными преобразованиями анализируемых сигналов, логично предположить, что эти характеристики как-то связаны друг с другом. Для выявления этой связи под- Глаза !. Оонозы анализа сигналов вергнем взаимную корреляционную функцию преобразованию Фурье, считая, что сигналы в,(г) и вг(г) имеют спектральные функции 5,(го) и 5',(го): ~В1г(т)е ' 'й= ~ ~в,(г)в,(г — т)е ' г1гг(т= = ~ л,(Г)е ян ~з,(г — т) емо 'Й(г — т)г(Г = 5 (го)5,(го).
Полученный результат очень прост: ВКФ связана преобразованием Фурье с так называемым взаимным спектром сигналов. Взаимный спектр 5„(о!) для сигналов в,(г) и зг(г) представляет собой произведение их спектральных функций, одна из которых подвергнута комплексному сопряжению: 5а(го) 5~(со)5«(го) (1.22) = ') з(г) е г" ) л(г — т) е' " 'г!(г - т) й = = 5(го) 5 (го) =! 5(го)! з . (1,23) Итак, КФ сигнала связана преобразованием Фурье с квадратом модуля спектраль- ной функции, или с энергетическим спектром сигнала.
Отсюда следует еще один важный факт: КФ сигнала не зависит от его фазового спектра. Следовательно, сигналы, амплитудные спектры которых одинаковы, а фазовые различаются, будут иметь одинаковую КФ. Еще одно следствие за- ключается в том, что по КФ нельзя восстановить исходный сигнал (опять же из- за утраты информации о фазе).
Энергетические расчеты в спектральной области В разделе «Связь между корреляционными функциями и спектрами сигналов» мы показали, что ВКФ двух сигналов связана преобразованием Фурье с их взаимным спектром. Запишем эту связь в виде формулы обратного преобразования Фурье: В,,(т) = — ~5и(гв)е' йо. 2к „' Теперь подставим в эту формулу значение т " О и раскроем вьгражения для ВКФ и взаимного спектра. Получится соотношение, именуемое гпеоремой Рэлея: Отсюда можно сделать очень важный вывод; если спектры сигналов не перекрываются, то их взаимный спектр равен нулю на всех частотах, а значит, равна нулю и их ВКФ при любых временных сдвигах т. Таким образом, сигналы с иеперекрываюигимися спектрами являются пекоррелировапными.
Приняв з,(г) - зг(г) = з(г), получаем аналогичный результат для КФ: )гВ,(т)е и'г1т = ~ г) в(г)з(г — т)е г(гг1т = Комплексная огибающая 1" ~ з~ (»Мг (») и» = ~ у~ (»о) 5г (»в) ггго. 2я „ Если теперь принять сигналы олинаковымп (з,(») = з,(») - з(»)), получится соот- ношение, позволяющее вычислять энергию сигнала как во временной, так и в частотной области и называемое равенством Парсвваля: 2 1 Е= ~"(»)д»= — ~~4 )~'д, 2я „ (1.24) Последнее, на чем следует остановиться в этом разделе, — это вычисление средней мощности периодического сигнала по коэффициентам его ряда Фурье. Запишем периодический сигнал з(») в виде ряда Фурье в комплексной форме (1.8): ,гм г А теперь применим к этому выражению форм) лу для расчета средней мощности за период: 1 1, г .2 (й.на) Р =-1' (»)«»=- Х Х С„С.~в' ТО Т„„„„.
„ Промежуток О...Тсоответствует целому числу периодов стоящей под интегралом комплексной экспоненты, поэтому интеграл будет равен нулю прп всех /г я -т. При й - — т экспонента становится константой, и интеграл будет равен Т: р = Х!сГ Результат оказывается очень простым: средняя мопшость периодического сигна- ла равна сумме квадратов модулей коэффициентов его ряда Фурье. Комплексная огибающая з(») = А(») соз(гсс» + ~р(»)). (1.25) Множитель А(») называется амплитудной огибающей, а начальная фаза га(»)— фазовой функцией сигнала з(»).
Весь аргумент функции соз называют полной фазой сигнала: 'р(») = гоо» + сР(»). В различных системах передачи информации часто применяются узкополосные сигналы, спектр которых сосредоточен в окрестности некоторой частоты юе При анализе таких сигналов удобно пользоваться понятиями кожплекспой огибающей, амплитудной огибающей и фазовой фупкиии сигнала. Эти понятия и будут рассмотрены в данном разделе. Рассмотрим сигнал, представленный в виде колебаний с частотой озс, у которых меняются во времени как амплитуда, так и начальная фаза: Глава 1. Основы анализа сигналов Сигнал (1.25) можно представить как всщсственную часть комплексной функ- ции, заменив косинус комплексной экспонснтой: з(г) - Кс(А(г) схр(у(сов г + ~р(г)))). В комплексном выражении, стоящем под функцией Кс, можно выделить два множителя: схр(уговг) представляет нсмодулированпос несущее колебание и является быстро меняющимся, а А(г) схр(рр(г)) мснястся, как правило, значительно медленное и содсржит информацию об амплитудной огибающей и начальной фазе одновременна Этот медленно меняющийся множитель и называется комплексной огибающей сигнала: А.
(г) = А(г) схр() р(г)). ЗАМЕЧАНИЕ Ксжгплскснав огибающая, объединяя в себе информацию об амплитуде и фазе сигнала, является обобщением понятия комвлексной амвлнтуды, широко используемого в теоретической электротехнике. Рассмотрим теперь другую задачу — представим произвольный сигнал з(г) в форме (1.25), то есть выделим его амплитудную огибающую и фазовую функцию. Ясно, что способов сделать это бссконсчно много, поскольку мы хотим одной функции з(г) поставить в соответствие набор из двух функций А(г) ц ~р(г). Однако искомое прсдставлснис должно удовлетворять нескольким очевидным ограничениям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
