Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Таким образом, при дифференцировании низкие частоты ослаблясотся, а высокие усиливаются. Фазовый спектр сигнала сдвигается на 90' для положительных частот и на — 90' для отрицательных. Множитель сы называют оператором ди4ферессс(ироеассия сиснала е чаопотной области. Интегрирование сигнала Интегрирование, как известно, является операцией, обратной дифференцированию. Поэтому, исходя из результатов, полученных в предыдущем разделе, казалось бы, можно ожидать слсдуюший результат: 5(со) =— Е(со) /со Олнако все не так просто. Детальный анализ, выполненный, например, в ~11, показывает, что зта формула справедлива лишь для сигналов, не содержащих постоянной составляющей, у которых Р(0) = ~У(г)дг = 0.
В общем же случае результат должен содержать дополнительное слагаемое в виде дельта-функции иа нулевой частоте. Множитель перед дельта-функцией пропорционален постоянной составляющей сигнала: 5(со) = — ь кГ(0)б(со). (1.15) ссо Итак, при интегрировании исходного сигнала высокие частотьс ослабляются, а низкие усиливаются. Фазовый спектр сигнала смешается на — 90' для положительных частот и на 90' для отрицательных Множитель 1/()со) называют оператором интегрирования е частотной области. Спектр свертки сигналов Свертка сигналов является очень часто используемой в радиотехнике интегральной операцией, поскольку она описывает, в частности, прохождение сигнала через линейную систему с постоянными параметрами (подробнее зто будет обсуждаться в главе 2): з(г) = 1 у (г )К(с — г )ссг'. Подвергнем такую конструкцию преобразованию Фурье: 5(со) = ~ )сХ(Г)а(с-Г)с(г'е 'с(г = = ~~(С')е ' ~й(г — Г)е '"" "с((г-г')ссг'=Г(со)С(со).
4В Глава 1. Основы анализа сигналов Полученный результат очень важен, он часто используется на практике: спектр свертки равен произведению спектров. Спектр произведения сигналов Дуальность преобразования Фурье и соотношение (1.16), полученное в преды- душем разделе, позволяют легко предугадать результат. Однако все-таки полу- чим его: в(г) - /(г) д(г), тогда -/1-.
л ~» 1лооон »=1( — 1п»н"'ы+' »= „(2л = — () р(гп')~8(г)в "" "дг доу = — 1)Р(а')С(оо-оо')йод. 2п „ 2п „ (1.17) Как и следовало ожидать, спектр произведения представляет собой свертку спектров. Единственной дополнительной тонкостью является множитель 1/(2к) перед интегралом свертки. ЗАМЕЧАНИЕ При выводе соотношения (1.17) мы представили сигнал/(г) с помошыо обратного преоб- разования Фурье (1.12) от его спектральной фупкппп. Умножение сигнале на гармоническую функцию Уояножим исходный сигнал, спектр которого нам известен, на гармоническую функцию: в(г) - Яг) соз(олог + оро).
Посмотрим, что произошло со спектром сигнала: Ю вм»с л» + в л'ы уо» 5(оо) = ) /(г) сов(ооо г» оро ) в л дг = ) /(г) в ' дг 2 (/ (Г) Ввв В-Н~-~ь Н ГГГ + [/ (Г) В-Л» В»д~» Пдт 1 ю вм»р(оо ыо)+ в-мог(во+оп ) 1 2 2 (1.18) Как вилите, спектр »раздвоился» — распался на два слагаемых вдвое меньшего уровня (множитель 1/2), смещенных на ооо вправо (оо — ооо) и влево (оо + ооо) по оси частот. Кроме того, при каждом слагаемом имеется множитель, учитывающий начальную фазу гармонического колебания. С практическим применением этого свойства мы столкнемся в главе 8 при обсуждении свойств сигналов с амплитудной модуляцией. Преобразование Фурье Связь преобразования Фурье и коэффициентов ряда Фурье Пусть з(г) — сигнал конечной длительности, а 5(ы) — его спектральная функция.
Получим на основе з(г) периодический сигнал, взяв период повторения Т не меньше длительности сигнала: з (г) = ~~э(г- ЙТ). Сравнивая формулы (1.11) для расчета преобразования Фурье сигнала з(г) и (1.9) для расчета коэффициентов ряда Фурье сигнала зг(г), можно заметить, что эти формулы предполагают вычисление одного и того же интеграла. Различие состоит в том, что для расчета коэффициентов ряда Фурье в подынтегральное выражение подставляются не произвольные, а дискретные значения частоты оь - 2тй/Т и, кроме того, результат интегрирования делится на период сигнала Т.
Таким образом, между спектральной функцией 5(ы) одиночного импульса и коэффициентами С» ряда Фурье для периодической последовательности таких им- пульсов сушествует простая связь: с, ='(~'~). ЗАМЕЧАНИЕ Данная формула справедлива н в том случае, если период повторения импульсов меньше нх длительности (то есть если соседние импульсы периодической последовательности перекрываются). Фурье-анализ неинтегрируемых сигналов При введении понятия преобразования Фурье были указаны условия его применимости: выполнение условий Дирихле и абсолютная интегрируемость сигнала. Однако в ряде случаев можно применить преобразование Фурье и к сигналам, этим условиям не удовлетворяющим, и получить прн этом вполне осмысленный и практически полезный результат. Итак, в данном разделе мы воспользуемся преобразованием Фурье для спектрального анализа таких сигналов, к которым оно формально непримепиью.
Дельта-функция Прежде всего вычислим преобразование Фурье для сигнала в виде дельта-функции (о ее свойствах шла речь в разделе «Классификация сигналов», и фильтруюшее свойство (1.1) нам сейчас как раз понадобится): 5(ы) = ) Ь(г)е - 'й = 1. Спектр дельта-функции представляет собой константу, то есть является равномерным в бесконечной полосе частот. Это вполне согласуется с общим соотно- 48 Глава 1. Основы анализа сигналов шепнем между длительностью сигнала и шириной его спектра: дельта-импульс имеет бесконечно малусо длительность, а его спектр бесконечно широк.
Из полученного результата следует, что дельта-функцию можно записать в виде обратного преобразования Фурье следующим образом: б(с) = — ) е' 'Йо. 2я „ Это полезное соотношение мы используем при анализе следусощего сигнала, Постоянный во времени сигнал [константа) Поскольку мы уже знаем, что спектром дельта-функции является константа, благодаря дуальности преобразования Фурье можно сразу же сказать, что спектром константы (з(1) - А) будет дельта-функция частоты. Проверим это, воспользовавснись только что полученным соотношением (1.19); 5(а) = ) Ае ' й =2яАб(а).
Наши предположения полностью подтвердились. Здесь опять хорошо прослеживается обратная пропорциональность между длительностью сигнала и шириной его спектра: бесконечно протяженный сипсал имеет бесконечно узкий спектр. Функция единичного скачка Функция единичного скачка (1.2) (см. раздел «Классссфикация сигналов») представляет собой интеграл от дельта-функции, поэтому, в соответствии со свойствами преобразования Фурье (см.
предыдуший раздел), мы получаем 5(со) = ) сг(г) е ' й = я б(а) —— 1 га Поскольку дельта-функция имеет ненулевую (равную 1) постоянную составляющую, то в полном соответствии с формулой (1.15), приведенной для данного случая в разделе «Свойства преобразования Фурье», в спектре появляется дополнительное слагаемое в виде дельта-функции на нулевой частоте. Гармонический сигнал Рассчитаем спектр гармонического сигнала общего вида: з(Г) - А соз(а«1+ ср). Для расчета спектральной функции представим косинус в виде полусуммы комплексных экспонент и воспользуемся формулой (1.19): ланг+»го + е-М»г-С«» 5(со) = 1 А соз(а«г+ ср, )е лн й = ) А е ' й = 2 ( А ос««е-сс — о>гй+ ( е ное-зс '+ гас(с = Аяелаб(со-со,)+Аяе н" б(а+со ).
Преобразование Фурье Результат, как видим, представляет собой пару дельта-функций, расположенных на частотах +вв. Множители при них отражают амплитуду и начальную фазу (то есть комплексную амплитуду ) гармонического сигнала. ЗАМЕЧАНИЕ Тот же результат можно было бы получить, применив к спектру постояппога во времени сигнала свойство преобразования Фурье (1,18), касающееся умножения сигнала па гармоническую функпшо. Комплексная экспонента Впервые в этой книге мы рассматриваем сигнал, не являющийся вещественным: з(г) - А ехр(1взг). Результат вычисления его спектра легко предугадать: только что рассмотренный гармонический сигнал дал спектральную функцию в виде двух дельта-функций, а косинус с помощью формулы Эйлера можно представить в виде полусуммы двух комплексных экспонент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
