Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002) (1095939), страница 5
Текст из файла (страница 5)
В рамках этого же общего подхода постоянное слагаемое ав/2 станет членом ряда с нулевым номером. В результате получится комплексная форма записи ряда Фурье: з(г) = х~,С,е '~". (1.8) комплексные коэффициенты ряда связаны с амплитудами А» и фазами уь фигурирующими в вещественной форме записи ряда Фурье.(1.7), следующими несложными соотношениями: 1 С„= — А,ели, 2 А, = 2) С,1 <р, = агд(С, ). Ряд Фурье Несложно выглядят и формулы связи с коэффициентами аь и Ь„синусно-коси- нусной формы ряда Фурье (1.6): а, . Ь, с„= — -г —, 2 2 а, =2Ке(С,), Ь, =-21пт(С,).
Отсюда сразу же следует и формула непосредственного расчета коэффициентов С„ряда Фурье в комплексной форме: 1 ти С = — ) з(Г) ехр(-уйгоД й. т (1.9) Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье часто называют амплитудным спектром, а совокупность их фаз — филовым спектром. Эти понятия не следует путать с амплитудно- и фазочастотными харанглеристнихами, которые относятся не к сигналам, а к цепям. Если анализируемый сигнал э(Г) является вегцественным, то его амплитудный и фазовый спектры обладают симметрией: А, = А,, гр, = -гр„ с „=с,. Примеры разложения сигналов в ряд Фурье В данном разделе мы применим ряд Фурье для анализа конкретных сигналов.
Последовательность прямоугольных импульсов Первым рассматриваемым сигналом будет последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой А, длительностью т и периодом повторения Т. Начало отсчета времени примем расположенным в середине импульса (рис. 1.3). Рис. 1.3. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов Если з(Г) является четной функцией, коэффициенты ряда С„будут чисто веи1е- ственными, а если э(Г) — функция нечеглная, коэффициенты ряда окажутся чис- то мнимыми. Глава 1. Основы анализа сигналов Данный сигнал является четной функцией, поэтому для его представления удоб- нее использовать синусно-косинусную форму ряда Фурье — в ней будут присут- ствовать только косинусные слагаемые аь равные а, = — ! Асов~ — г)Й = — з!п~ — ).
Внимательно рассматривая полученную формулу, можно заметить, что длительность импульсов и период их следования входят в нее не обособленно, а исключительно в виде отношения. Этот параметр — отношение периода к длительности импульсов — называют скважностлью последовательности импульсов и обозначают буквой д: д - Т/т. Введем этот параметр в полученную формулу для коэффициентов ряда Фурье, а затем приведем формулу к виду з!п(х)/ж 2А . (пя1 2А д а, = — зш— ~д) д Ы (1.10) ЗАМЕЧАНИЕ В зарубежной литературе вместо скважности используется обратная величина, называе- мая коэффикиентои заполнения (с!псу сус!е) и равная т/Т. При такой форме записи становится хорошо видно, чему равно значение постоянного слагаемого ряда: поскольку при х -э 0 Гйп(х)/х -+ 1, то а, А Ат 2 д Т Теперь можно записать и само представление последовательности прямоуголь- ных импульсов в виде ряда Фурье: А " 2А, (ия) (2пя '1 з(г) = — + ~ ~— з!п~ — !соз~ — г~.
д,,.й ~д) ~ т )' Амплитуды гармонических слагаемых ряда зависят от номера гармоники по закону з!п(х)/х (рис. 1А), График функции Ип(х)/х имеет лепестковый характер. Говоря о ширине этих лепестков, следует подчеркнуть, что для графиков дискретных спектров периодических сигналов возможны два варианта градуировки горизонтальной оси— в номерах гармоник и в частотах.
На рис. 1А градуировка оси соответствует номерам гармоник, а частотные параметры спектра нанесены на график с помощью размерных линий. Итак, ширина лепестков, измеренная в количестве гармоник, равна скважности последовательности (при я - пд имеем з!п(пй/д) - О, если и и О). Отсюда следует важное свойство спектра последовательности прямоугольных импульсов— в нем отсутствуют (имеют нулевые амплитуды) гармоники с номерами, кратными скважности. 27 Ряд Фурье 0 О Рис. 1.4. Коэффициенты ряда Фурье для последовательности прямоугольных импульсов Расстояние по частоте между соседними гармониками равно частоте следования импульсов — 2п/Т.
Ширина лепестков спектра, измеренная в единицах частоты, равна 2к/т, то есть обратно пропорциональна длительности импульсов. Это, как мы увидим далее, проявление общего закона — чем короче сигнал, тем шире его спектр, Меандр Важным частным случаем предыдущего сигнала является меаидр — последовательность прямоугольных импульсов со скважностью, равной двум, когда длительности импульсов и промежутков между ними становятся равными (рис, 1.5), Рис, 1.6. Мвандр Подставив д - 2 в формулу (1.10), получим А, я=О, О, я =2тд ты О, — Й=4т+1, 2А ~й 2А — Й =4гп-1. ~й зш(яй~2) ая =А я Й~2 Здесь тп — произвольное целое число.
Глава 1. Основы анализа сигналов Таким образом, в спектре меаидра присутствуют только нечетные гармоники. Это согласуется с общим правилом, приведенным выше. Представление меаидра в виде ряда Фурье с учетом этого может быть записано следующим образом: 5(г) = — + — сов — г~ — — сов 3 — г')+ — сов~5 — г')-... ~т) З ~т)б ~т~" Гармонические составляющие, из которь(х складывается меаидр, имеют ампли- туды, обратно пропорциональные номерам гармоник, и чередующиеся знаки. Покажем иа примере меаидра, как складывается заданный сигнал из отдельных гармоник (рис. 1.6): »к=8; Ж число ненулевых гарионик » с = - 1:0.01: 1; Ж вектор иоиентов вреиени »А 1; Ж амппитуда » т - 1; Ж период » пП - (1:М)*2-1; Ж непера ненулевых гармоник » Ж строки - гармоники » Пагэоп1сз - соз(2*рт*ПП'*С!Т): » Ава 2/рт./ПП: Ж амплитуды гарионик » Ап)(2:2:епп) = -Ап(2:2:епб): Ж чередование знаков » в1 - Пагэоп1сз .* герпвт(дпа'.
1, )еп0СП(С)): » Ж строки - частичные суммы гарионик » в2 - сыпзыв)(в1): » Гог 'и-1;и', зиЬр)оС(4, 2, к). р)о1(С. з2(к.:)), епт) Вообще, последовательность прямоугольных импульсов плохо подходит для представлеиия ридом Фурье — она содержит скачки, а сумма любого числа гармонических составляющих с любыми амплитудами всегда будет непрерывной функцией. Поэтому поведение ряда Фурье в окрестностях разрывов представляет особый интерес. На графиках рис.
1.6 хорошо видно, что в окрестности точки разрыва суммирование ряда Фурье дает иаклоииый участок, причем крутизна наклона возрастает с ростом числа суммируемых гармоник. В самой точке разрыва ряд Фурье сходится к полусумме правого и левого пределов: а'(го) =-~ 11тп з(г) в 1нп а(г)). н+а Здесь з(Г) — исходный сигнал, з'(г) — сумма ряда Фурье для него. На примыкающих к разрыву участках сумма ряда Фурье дает заметные пульсации, причем иа графиках рис. 1.6 заметно, что амплитуда этих пульсаций ие уменьшается с ростом числа суммируемых гармоник — пульсации лишь сжимаются по горизонтали, приближаясь к точке разрыва. Это явление, присущее рядам Фурье для любых сигналов с разрывами первого рода (скачками), называется эффектом Гиббса.
Можно показать, что амплитуда первого (самого большого) выброса составляет примерно 9% от величины скачка. 29 Ряд Фурье 0.5 05 -0.5 0.5 0.5 О.5 О.5 0.5 0.5 Рис. 1.6. Промежуточные стадии суммирования ряда Фурье для меандра Пилообразный сигнал Следующий сигнал, который мы рассмотрим, — пилообразный (рис. 1.7). В пре- делах периода он описывается линейной функцией: (г) = — (г - ят), (я - — ) т, с < (я+ — ) т. 2А 1 1 Т 2 2 Данный сигнал является нечетной функцией, поэтому его ряд Фурье в синусно- косинусной форме (1.6) будет содержать только синусные слагаемые: Глава 1.
Основы анализа сигналов Ь, = — ( — гз(п~ — г агг = - — (-1)'. Рис. 1.7. Пилообразный сигнал Сам ряд Фурье для пилообразного сигнала выглядит следующим образом: з(Г) = — яп — Г --яп 2 — Г + — яп 3 — à — — яп 4 — Г +.... У рассмотренных выше спектров прямоугольного и пилообразного периодических сигналов есть одна общая черта — амплитуды гармоник с ростом их номеров убывают пропорционально й. У следующего сигнала скорость затухания спектра будет иной, а почему, мы обсудим после расчета коэффициентов ряда Фурье для него.
Последовательность треугольных импульсов Очередной сигнал, для которого мы получим разложение в ряд Фурье, представляет собой периодическую последовательность треугольных импульсов. Строго говоря, импульсы в предыдущем сигнале тоже были треугольными, но в данном случае они будут иметь не пилообразную, а симметричную форму (рис.
1,8): з(Г)=А 1-4, а- — Тат< IГ+ — Т. Рис. 1.В. Последовательность треугольных импульсов Вычислим коэффициенты ряда Фурье (сигнал является четной функцией, поэтому в'синусно-косинусной форме ряда Фурье (1.6) будут присутствовать только косинусные слагаемые): Преобразование Фурье 2 п2 г' ~г~~ г 2 ~ ~ дА О, я = 2т, аь = — ) А~1-4 — ~соз~ — Г)й = — (1-(-1)" ) = 8А Как и в случае меандра, здесь присутствуют только нечетные гармоники. Сам ряд Фурье имеет следующий вид: з(г) = — ~ соз~ — г~+ — сов~3 — г~+ — соз~5 — г~+.... ~~т! Зг ~т/5' ~т!' Как видите, в отличие от последовательностей прямоугольных и пилообразных импульсов, для треугольного периодического сигнала амплитуды гармоник убывают пропорционально еиюрой степени номеров гармоник к.
Это проявление общего правила, гласящего, что скорость убывания спектра зависит от степени гладкости сигнала. Прямоугольный и пилообразный сигналы имеют разрывы первого рода (скачки), и в их спектрах присутствует множитель 1/й. Треугольный сигнал является непрерывной функцией (но ее первая производная содержит разрывы), и амплитуды гармоник его ряда Фурье содержат множитель 1/йз. Экстраполировав эту зависимость, получим следующее правило: если )у' — номер последней непрерывной производной сигнала, то спектр этого сигнала будет убывать со скоростью 1/й ~. Предельным случаем является гармонический сигнал, дифференцировать который без потери непрерывности можно бесконечно.
Согласно общему правилу, это даст бесконечную скорость убывания спектра, что вполне соответствует действительности (ряд Фурье для гармонического сигнала содержит только одну гармонику). Преобразование Фурье Преобразование Фурье (Ропйег ггапэ(огш) является инструментом спектрального анализа непериодических сигналов, Впрочем, чуть позже мы увидим, что его можно применять и к сигналам периодическим, но это потребует использования аппарата обобщенных функций. Для наглядной иллюстрации перехода от ряда Фурье к преобразованию Фурье часто используется не вполне строгий математически, но зато понятный подход.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
