Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002), страница 13

2ю Очевидно, что х, н хг зависЯт ДРУГ От дРУга; оДнако нх коэффициент коРРелЯции Оказываетса Равным нУлю. Стационарные и эргодические случайные процессы В общем случае, как уже говорилось, вероятностные и корреляционные характеристики случайных процессов зависят от одного или нескольких моментов времени, в которые эти характеристики определяются. Однако существует класс случайных процессов, у которых зависимость характеристик от времени отсутствует. Кроме того, для некоторых случайных процессов не обязательно производить усреднение по ансамблю реализаций — можно ограничиться рассмотрением одной реализации и ее усреднением во времени.

Такие случайные процессы и будут рассматриваться в данном разделе. Стационарные случайные процессы Так принято называть случайные процессы, статистические характеристики которых одинаковы во всех временных сечениях. Говорят, что случайный процесс строго стационарен (или стационарец в узком смысле), если его многомерная плотность вероятности р(х„хг, ..., х„, гн гг, ..., г„) произвольной размерности и не изменяется при одновременном сдвиге всех временных сечений г„г,, г„вдоль оси времени на одинаковую величину т: р(хг, х2, - хл г! гв ..., гч) = р(хн хг,..., хн, г1ч т, ггжт,..., г„-нт) при любОм 'г.

Если же ограничить требования тем, чтобы от временного сдвига не зависели лишь одномерная и двумерная плотности вероятности, то такой случайный процесс будет стационарен в широком смысле. Понятно, что из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле, но не наоборот. Для стационарного случайного процесса математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит не от самих моментов времени, а только от интервала между ними т = Сг — г,: К (гь гг) - я„(гг — гг) - Л„(т) . По этой причине при записи статистических параметров стационарного случайного процесса можно опускать обозначения фиксированных моментов времени: т„.0„, К„(т), Я„(т) .

Легко убедиться, что корреляционная функция стационарного случайного процесса является четной: А„(-т) Я„(т) . Кроме того, абсолютные значения этой функции при любых т не превышают ее значения при т = 0 (напомним, что это значение равно дисперсии случайного процесса): )Я,(т)! ь В„(0) П„. 72 Глава 1. Основы анализа сигналов Часто удобно использовать коэф$ициеип2 корреляции (его также называют нормированной корреляционной функцией) ()= — ' Х,(т) 1)„ Для коэффициента корреляции выполняются соотношения г„(0) - 1, ~г,(т)( < 1 и г„(-т) - г„(т).

Функции Х„(т) и г,(т) характеризуют связь (корреляцию) между значениями Х(г), разделенными промежутком т. Чем медленнее убывают эти функции с ростом абсолютного значения т, тем болыпе промежуток, в течение которого наблюдается статистическая связь между мгновенными значениями случайного процесса, и тем медленнее, плавнее изменяются во времени его реализации.

Легко видеть, что гармонический случайный процесс со случайной начальной фазой (см. раздел чМодели случайных процессов» и вычисление характеристик этого процесса в разделе «Корреляционные функции случайных процессов») является стационарным в широком смысле. Действительно, зависящие от одномерной плотности вероятности математическое ожидание (1.39) и дисперсия (1А1) не зависят от времени, а корреляционная функция (1.40), зависящая от двумерной плотности вероятности, зависит лишь от интервала между рассматриваемыми моментами времени: А2 Х„(т) = К„(т) = — сов(в, т). (1АЗ) Коэффициент корреляции такого случайного процесса равен Х,(т) 2' (т) = — = сов(в22).

В„ ЗАМЕЧАНИЕ Здесь следует отметить, что стационарным будет любой случайный процесс, реализации которого являются периодическими функциями, идентичными по форме н различающимися лишь »начальной фазой», то есть положением начала отсчета времени в пределах периода. При этом принципиальной является равномерность распределения начальной фразы в пределах периода. Действительно, пусть у гармонического процесса начальная фаза равномерно распределена в пределах лаловикы окружности — па интервале О...к. Математическое ожидание процесса в этом случае будет равно ш,(х) = ~х(г)р,(З2)йр = ~Асов(в,г + гр) — йр =— 1 2Аз(п(в,г) 22 и Результат вычислений показывает, что математическое ожидание процесса зависит от времени, следовательно, оп не является стационарным.

Эргодические случайные процессы Дальнейшее упрощение анализа случайных процессов достигается при использовании условия эргодичносгпи процесса. Стационарный случайный процесс называется эргодическим (егйойс), если при определении любых его статисти- Случааныв сигналы ческих характеристик усреднение по множеству (ансамблю) реализаций эквивалентно усреднению по времени (11ше ачегая)пя) одной, теоретически бесконечно длинной, реализации. Обозначив усреднение по времени угловыми скобками, можно записать следующие выражения, позволяющие вычислить важнейшие статистические характеристики эргодического случайного процесса по его единственной реализации х(г) (еще раз обращаем внимание на то, что эргодический случайный процесс обязательно является и стационарным, но не наоборот): гп т„ = (х(г)) = 1пп — ]х(г)аг ~-п2 г .

1 2 Р„= ([х(г)-т„]') = 1!гп — )гх'(г)й-т,' -тп я„(т) = ( [х(г) — т„][х(г — т) — т„]) = (х(г)х(à — т)) — т„= 1 гп = 1пп — ) х(г)х(г — т)аг-т„. т-~ T Математическое ожидание эргодического случайного процесса равно постоянной составляющей любой его реализации, а дисперсия имеет наглядный физический смысл мощноппи флуктуациомгюй составляющей. Достаточным условием зргодичности случайного процесса, стационарного в широком смысле, является стремление к нулю его корреляционной функции с ростом временного сдвига т: 11гп)т„(т) = О.

(1.44) с-г При экспериментальном исследовании случайных процессов доступно, как правило, наблюдение одной реализации сигнала, а не всего ансамбля. Если изучаемый процесс является зргодическим, то его реализация достаточной длины является «типичным» представителем статистического ансамбля. Согласно приведенным выше формулам по этой единственной реализации можно определить математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию эргодического случайного процесса. На практике интегрирование выполняется, естественно, не в бесконечных пределах, а на конечном интервале, длина которого должна быть тем больше, чем выше требования к точности результатов измерения. В качестве примера проверим зргодичность гармонического процесса со случайной начальной фазой (стационарность такого процесса была проверена ранее), Его корреляционная функция (1.43) с ростом т не стремится к нулю, так что условие (1.44) не выполняется.

Однако это лишь достаточное, но не необходимое условие, поэтому его невыполнение еще не означает неэргодичности процесса. Проверим зргодичность согласно определению, вычислив усредненные по времени параметры: ат (х(г)) = — ' ] А соз (гв, г + гр) г(Г = О = т„, 2к 74 Глава 1. Основы анализа сигналов ( ч о Аз х(Г)-т ] ) = — о ] А' соз'(а»С+ ср)Й = — =В„, ч "а ((х(г)-т,](х(г-т) — т„]) = — ' ] А' соэ(ю,г+ гр)соз(ар(т-т)+ гр)й = 2я А' = — соз(ш,т) = Ь'„(т). ЗАМЕЧАНИЕ Тот факт, что реализации рассматрннаемого процесса являются периодическими функциямн, позволяет упростить вычисления, заменив усреднение по бесконечному (в пределе) промежутку времени усреднением по одному периоду, равному в данном случае 2л/ыз, Итак, параметры, вычисленные усреднением по времени, совпали с параметрами, полученными ранее путем статистического усреднения.

Следовательно, гармонический случайный процесс со случайной начальной фазой является эргодическим. ЗАМЕЧАНИЕ Здесь также следует отметить, что любой случайный процесс, реализации которого являются периодическими функциями, идентичными по форме н различающимися лишь равномерно распределенной в пределах периода»начальной фазой», будет не только стационарным, но и эргодическим. Спектральные характеристики случайных процессов Каждая отдельно взятая реализация случайного процесса представляет собой детерминированную функцию, и к ней можно применить преобразование Фурье.

При этом различные реализации будут, естественно, иметь различные спектры. Нас же интересуют статистически усредненные характеристики случайных процессов. Попытаемся найти среднее значение спектральной плотности случайного процесса (горизонтальной чертой здесь и далее обозначается операция статистического усреднения по ансамблю реализаций): 5„(ге) = ~х(Г)е ' й = ~х(Г)е ~мй= ] т„(Г)е" сй. Как видите, усредненная спектральная плотность случайного процесса представляет собой спектр его детерминированной составляющей (математического ожидания). Для центрированных процессов п1„(г) - О и 5,(со) =О.