Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002), страница 10

В частности, для гармонического сигнала искомая процедура должна давать в результате постоянные амплитуду и начальную фазу. Кроме того, разумно потребовать, что фазовая функция цс должна меняться при умножении сигнала ца произвольный постоянный множитель. С учетом этих требований способ выдслсния амплитудной огибающей и фазовой функции пз произвольного сигнала оказывается единственным: такое выделение производится с помощью преобразования Гильберта, речь о котором пойдет в следующем разделе.

ЗАМЕЧАНИЕ Подробное и интересное обсуждение данной проблемы можно найти в 16]. Вообще, с этой замечательной книгой, рассказывающей о различных парадоксах и заблуждениях, связанных с теорией связи, должен познакомиться каждый, кто завимасгся обработкой сигналов, рэлпотехиикой или телекоммупикациямн.

Преобразование Гильберта Для выделения амплитуды и фазы произвольный сигнал з(г) прсдставлястся как вещественная часть комплексного сигнала з.(г) (он называется аналитических сигналом): з(г) = Вс(з,(г)). Вещественная часть аналитического сигнала, естсствснно, должна совпадать исходным сигналом з(г). Мнимая жс часть з (г) называется сопряженным сигна лом или кеадратурцым дополнением; за(г) з(г) + / зг(г). 57 Комплексная огибающая Сопряженный сигнал получается из исходного с помошыо преобразования Гиль- берта. Вычисляется преобразование Гильберта следующим образом: з,(г) =- ) — ссг'. 1 "з(г') я „г — г' (1.26) Данный интеграл представляет собой свертку сигнала з(г) и функции 1/(яг).

Это означает, что преобразование Гильберта может быть выполнено линейной системой с постоянными параметрами (такие системы будут описаны в главе 2; забегая вперед, скажем, что система, осушествляюшая преобразование Гнльберта, является физически нереализуемой, поскольку ее импульсная характеристика имеет бесконечную протяженность в обоих направлениях временной оси).

Из этого, в свою очередь, следует, что мы можем определить частотную характеристику преобразования Гильберта: К,(со)= )г — е ' 'с(г= О, со=О, „лг со > О. (1.27) — 7, со<0, К'(со) = —. = О, со=О, 1 у, со>0, Сравнение этой формулы с коэффициентом передачи прямого преобразования Гильберта (1.27) показывает, что К' (со) = -К,(со). Следовательно, формулы обратного и прямого преобразований Гильберта разли чаются лишь знаком: ,(,) 1 я „с — г' Итак, АЧХ преобразования Гильберта равна единице всюду, кроме нулевой частоты, то есть преобразование Гильберта пе меняет амплитудных соотношений в спектре сигнала, лишь удаляя из него постоянную составляюшую. Фазы всех спектральных составляющих в области положительных частот уменьшаются на 90', в области отрицательных частот — увеличиваются на 90'.

Таким образом, устройство, осуществляющее преобразованпе Гильберта, должно представлять собой идеальный фазовращатель, вносящий на всех частотах фазовый сдвиг, равный 90'. Очевидно, что обратное преобразование Гильберта должно вносить такой же фазовый сдвиг, но с обратным знаком, опять же прп сохранении амплитудных соотношений в спектре преобразуемого сигнала.

Математически это будет выглядеть так: 58 Глава Н Основы анализа сигналов Спектр аналитического сигнала Ранее уже было сказано, что аналитический сигнал получается путем добавления к вещественному сигналу з(г) мнимой части в виде его преобразования Гильберта: ь'.„(е) = з(г) + 7в«(г), Теперь вычислим спектр аналитического сигнала, учитывая, что преобразование Гпльберта является линейным и его коэффициент передачи определяется формулой (1,27): О, а<0, 5,(го) = 5(со)+ 75„(го) = 5(со)(1-» уК (гс)) = 5(0), го=О, 25(сс), оз > О. Полученный результат довольно любопытен.

В области положительных частот спектры вещественного сигнала и добавленной мнимой части (с учетом дополнительного 90-градусного фазового сдвига, вносимого множителем 7') складываются, давая удвоенньш результат. В области же отрицательных частот эти спектры оказываются противофазными и взаимно уничтожаются. В результате спектр аналитического сигнала оказывается одпосгпороггпим (рис. 1.28, а, б). Итак, чтобы для произвольного сигнала определить амплитудную огибающую и фазовую функцию, необходимо прежде всего сформировать аналитический сигнэл, получив его мнимую часть с помощью преобразования Гильберта.

Далее амплитудная огибающая находится как модуль аналитического сигнала: «(л=~ '.(и = Г'щ+ ~(» Полная фаза представляет собой аргумент комплексного аналитического сиг- нала: Ч'(г) = агяз,, (г). Чтобы получить начальную фазу сигнала, нужно выделить из полной фазы линейное слагаемое гсзд Для этого, в свою очередь, нужно знать значение центральной частоты гсз. После этого можно будет получить начальнуго фазу п комплексную огибающую: 'Р(Г) 1(Г) со«Г А„,(г) = А(г)е" и'. Спектр комплексной огибающей представляет собой сдвинутый на гов спектр аналитического сигнала: 5«„(гс) 5:,(го+ гон) В общем случае спектр комплексной огибавшей пе является симметричным относительно нулевой частоты (рпс. 1.28, в).

Выбор центральной частоты гсв, вообще говоря, является произвольным. Для узкополосных сигналов существует «разумное» значение гол, при использовании которого оказывается наиболее простой аналитическая запись комплекснои огибающей. Например, для гармонического сигнала З(Г) А СОЗ(Г)Г ~- гв) 59 комплеконая огибающая аналитический сигнал имеет вид зо(г) - А ехр()йг+)ор). Амплитудная огибающая равна А, полная фаза — йг + ор.

В общем случае, выбрав произвольное значение «средней» частоты сто, мы получаем начальную фазу гр(г) " (й — соо) г + ор и комплексную огибающую Аи(г) - А ехр()(й — соо)г+,)ор). ио -ео ео Рис. 1.28. Амплитудные спектры вещественного сигнала (в), ооответствующего ему аналитического сигнала (б) и его комплексной огибающей (в) Если выбранная «средняя» частота гс, будет совпалать с частотой гармонического сигнала (сто - й), комплексная огибающая станет константой: А (г) - А ехр()гр). Метод замены исходных функций их комплексными огибающими для анализа прохождения сигналов через различные цепи называется методам низкочастотного эквивалента.

При атом принципиально то, что все комплексные огибающие должны вычисляться относительно одной и той же центральной частоты сто, даже если ее значение для некоторых сигналов будет выглядеть «неестественным». 60 Глава 1. Основы анализа оигналов В целом же следует помнить, что понятие комплексной огибаю1цей имеет смысл только при указании частоты гпс, относительно которой эта комплексная огибающая вычислена. Случайные сигналы В отличие от детерминированных сигналов, форму которых мы знаем точно, мгновенные значения случайных сигналов заранее не известны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей единицы. Характеристики таких сигналов являются статистическими, то есть имеют вероятностный вид.

В радиотехнике существует два основных класса сигналов, нуждающихся в вероятностном описании, Во-первых, это шумы — хаотически изменяющиеся во времени электромагнитные колебания, возникающие в разнообразных физических системах нз-за беспорядочного движения носителей заряда. Во-вторых, случайными янляются все сигналы, несущие информацию, поэтому для описания закономерностей, присущих осмысленным сообщениям, также прибегают к вероятностным моделям.

Ансамбль реализаций Математическая модель изменяющегося во времени случайного сигнала называется случайным процессом. По определению, случайный процесс Х(Г) — это функция особого вида, характеризующаяся тем, что значения, принимаемые ею н любой момент времени г, являются случайными величинами. ЗАМЕЧАНИЕ В технической литературе термины «случайный сипил» и «случайный процесс» часто ис- пользу1отся как синонимы. До регистрации (до приема) случайный сигнал следует рассматривать именно как случайный процесс, представляющий собой совокупность (ансамбль) функций времени х,(г), подчиняющихся некоторой обшей для них статистической закономерности. Одна из этих функций, ставшая полностью известной после приема сообщения, называется реализацией случайного процесса.

Эта реализация является уже не случайной, а детерминированной функцией времени. На рис. 1.29 приведен пример нескольких реализаций случайного процесса. Модели случайных процессов Для анализа свойств и характеристик случайного процесса, а также различных его преобразований необходимо задать математическую модель случайного процесса. Такая модель может представлять собой описание возможных реализаций случайного процесса в сочетании с указанием относительной частоты их появления.