Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002), страница 14

Таким образом, усредненное значение спектральной плотности не несет никакой информации о флуктуационной, то есть собственно случайной, составляющей случайного процесса. Это говорит о том, что фазы спектральных составляющих в различных реализациях процесса случайны и независимы. 75 Случайные сигналы Можно, однако, рассмотреть спектральную плотность мощности случайного процесса, поскольку могцность не зависит от соотношения фаз спектральных со- ставляющих.

Рассмотрим центрированный случайный процесс и выделим из его ансамбля какую-либо реализацию х(~), ограничив ее длительность конечным интервалом времени 1-Т/2; Т/2!. Применив затем к этой реализации прямое преобразование Фурье, найдем ее спектральную плотность Хг(и). Энергию Ег рассматриваемого отрезка реализации согласно равенству Парсеваля (1.24) можно вычислить как и' 2 1" 2 Е, = ~ х'(г)Й= — ИХг(го)~ Йо. 2я Разделив эту энергию на Т, получим среднюю мои!ность Рг реализации на дан- ном временном интервале: Р = — =(х (г))~ = — ~ Йо. При увеличении длительности промежутка времени Т энергия отрезка реализа- ции неограниченно возрастает, а средняя мощность стремится к некоторому пре- делу. Совершив предельный переход Т-+ ю, получим 2 1 -, 1Х,(в)! 1- (х (1)) = — ~ !пп Йо= — ~!»'(го)йо, где функция )Х (оу)~ йг(го) = !пп Т (1.45) представляет собой спектральную плотность средней мощности рассматривае- мой реализации. ЗАМЕЧАНИЕ В общем случае спектральную плотность мощности )('(го) необходимо усреднить по множеству реализаций.

Однако, если ограничиться рассмотрением эргодических процессов, можно считать, что найденная по одной реализации (то есть путем усреднения по времени) функция Й'(го) характеризует весь процесс в целом. Так как мы рассматриваем центрированный эргодический случайный процесс, средняя мощность любой его реализации равна дисперсии процесса. Таким образом, 1 0» = — ! 'йг(го)Йо. 2к (1.46) Часто говорят «спекгральвая плотность мощности» илн »спектр мои~ности». Английский термин — Роъег зрестга! 4елясу, Р5Р.

Глава 1. Основы анализа сигналов Що) — вещественная функция, она не содержит информации о фазах спектраль- ных составляющих и не позволяет восстановить отдельные реализации случай- ного процесса. Кроме того, из определении спектральной плотности (1А5) оче- видно, что 1(т(то) является неотрицательной и четной функцией частоты. ЗАМЕЧАНИЕ Здесь не приводится примеров расчета спектра случайного процесса согласно приведенному определению, поскольку такого рода расчет редко необходим на практике.

Как правило, вычисление спектра случайного процесса производится на основе его корреляционной функции с помощью теоремы Винера — Хинчина, речь о которой пойдет а следующем разделе. Теорема Винера — Хинчина Как распределение спектральной плотности мощности, так и вид корреляцион- ной функции связаны со скоростью изменения случайного процесса во времени. Найдем связь между этими двумя характеристиками. Как известно, корреляционная функция детерминированного сигнала связана преобразованием Фурье с его энергетическим спектром.

Применим это свойство к отрезку реализации случайного процесса длительностью Т: тж г )г х(Г)х(~-т)о(г= — ДХГ(ю)~ е' йо. -тж 2я „ Разделим обе части этого равенства на Т и устремим Т к бесконечности: 1 ттт 1- !Х( )!' ... 1пп- ) х(С)х(г-т)с1г= — 1 1пп еь'тгто. т Т 2я т-~ т -тм (1А7) я(т) = — ) 'йт(ю) е'"'Йо. 2я (1А8) ЗАМЕЧАНИЕ В случае неэргодическото процесса к обеим частям равенства (1А7) необходимо дополни- тельно применить усреднение по ансамблю реализаций, что приведет к тому же самому результату. Таким образом, корреляционная функция случайного процесса и его спектраль- ная плотность мощности связаны друг с другом преобразованием Фурье. Это со- отношение носит название тлеореиы Винера — Хинчина. Если считать рассматриваемый процесс эргодическим, то в левой части последнего равенства стоит корреляционная функция процесса, полученная путем усреднения по времени. В правой части под интегралом содержится выражение (1А5) для спектральной плотности мощности случайного процесса.

С учетом этого 77 Случайные сигналы Так как и Я(т), и йг(в) являются четными вещественными функциями, можно отказаться от комплексной формы записи преобразования Фурье и перейти к полубесконечным пределам интегрирования: я(т) = — ) 'иг(в)соз(вт)ггв, 1" к о Ь'(в) = 2 ~ Я(т) сов (вт) Ж .

о Очень часто используемая модель случайного процесса оказывается такова, что воспользоваться непосредственно определением (1А5) для расчета спектральной плотности мощности не представляется возможным. Если при этом удастся вычислить корреляционную функцию, получить спектральную информацию позволяет теорема Винера — Хинчина. В качестве примера рассмотрим случайный телеграфный сигнал (см.

раздел «Модели случайных процессов»). Поскольку скачки уровня происходят в случайные моменты времени, для данного случайного процесса затруднительно даже изобразить график отдельной реализации, не говоря уже о расчете спектра ее ограниченного во времени фрагмента. Однако рассчитать корреляционную функцию для данного процесса оказывается совсем несложно. Действительно, произведение значений случайного процесса, разнесенных во времени на т, может быть равно +1 (если эти значения имеют одинаковый знак) или -1 (если знаки противоположны). Но совпадение знаков означает, что за интервал т произошло четное количество перепадов уровня, а несовпадение знаков соответствует нече»алому количеству перепадов.

Итак, чтобы найти вероятности для двух возможных значений произведения х(г) х(г — т), нужно просуммировать значения, даваемые формулой (1.28) отдельно для четных и нечетных йГ; Р(х(Г')х(г-т)=1)= 2,Р(2Цт!)= 2 е "= "(цт!)м »-о »=о (юг)! =-(ецн+ ц~) 1 мм Р(х(1)х(т — т) = — 1) = '~ Р(21г+ 1 ~т! ) = 2' е ы „(ц ~ )и+1 »=о».о (21+1)! = — (е — е )е = — — — е м — м — 1 1 2 2 2 Полученные результаты позволяют рассчитать среднее значение произведения х(г) х(с — т): А„(т)=1 ~ — + — е ~+(-1) ~ — — -е ~ье -амн (1 1 -опн 1 -гцн (2 2 у' (2 2 Итак, корреляционная функция данного случайного процесса экспоненциально затухает с ростом абсолютного значения т.

Теперь с помощью теоремы Винера — Хинчина можно найти спектральную плотность мощности: Глава 1, Основы анализа сигналов 1«",(о») = ~ Я (т) е '"Й = ~ е ' М е ' г(т = 4Х 4~.х «. го~ Интервал корреляции Случайные процессы, встречающиеся в задачах обработки сигналов и изучаемые в радиотехнике, часто обладают следующим свойством: их функция корреляции стремится к нулю с увеличением временного сдвига т (напомним, что это является достаточным условием эргодичности процесса). Чем быстрее убывает функция Я(т), тем слабее оказывается статистическая связь между мгновенными значениями случайного сигнала в два несовпадающих момента времени. Числовой характеристикой, служащей для оценки «скорости изменения» реализаций случайного процесса, является интервал корреляции тк, определяемый как 1 кк = — ~'ф(т)1йт= ~~»(т)/йт. о(»)) о о Если известна информация о поведении какой-либо реализации случайного процесса «в прошлом», то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на время порядка тк.

Эффективная ширина спектра Пусть исследуемый случайный процесс характеризуется спектром плотности мощности 1«г(о»), имеющим максимальное значение Яг,„. Заменим мысленно данный случайный процесс другим, у которого спектральная плотность мошности постоянна и равна 1«»„„„в пределах некоторой полосы частот, выбираемой из условия равенства дисперсий (то есть средних мощностей) обоих процессов. Ширина этой полосы частот называется эффективной и»ириной спектра случайного процесса: %' Ьго = ~%'(гл)г(го, ого, = — ~'»1»(го) Йо. 1 %' Эффективную ширину спектра случайного процесса можно определить и другими способами, например исходя из условия уменьшения значений спектра мощности на границе этого частотного интервала до уровня 0,1 н»„,„„. В любом случае величины т,и Ьгом, связаны известным из свойств преобразования Фурье соотношением неопределенности ого,ф т„- 2л.

Для иллюстрации этого соотношения на рис. 134 в центре приведены примеры реализаций двух случайных процессов, слева — корреляционные функции этих процессов, а справа — их спектры плотности средней мощности. Случайные сигналы Рис. 1.34, Взаимосвязь между видом реализаций случайных процессов (слева), их корреляционными функции (в центре) и спектрами (справа) Белый шум В радиотехнике белым шумом (туЫе по1зе) называют стационарный случайный процесс, спектральная плотность мощности которого постоянна на всех частотах: ((г(ю) - %'е - сопзп Согласно теореме Винера — Хинчина, корреляционная функция белого шума представляет собой дельта-функцию: Я(т) = — ' ~ е'"'Йо = Игеб(т), 2п то есть равна нулю всюду, кроме точки т - О.

Дисперсия белого шума бесконечно велика. В несовпадающие моменты времени значения белого шума некоррелированы— как бы ни был мал интервал т, сигнал за это время может измениться на любую величину. Белый шум является абстрактной математической моделью и физически существовать не может. Это объясняется прежде всего бесконечностью его дисперсии (то есть средней мощности). Однако в тех случаях, когда полоса пропускания исследуемой системы существенно уже эффективной ширины спектра шума, который на нее воздействует, можно для упрощения анализа приближенно заменить реальный случайный процесс белым шумом.

ЗАййЕЧАНИЕ Отметим еще раз, что вероятностные н корреляционные (или спектральные) характеристики случайного процесса — зто совершенно разные и не связанные между собой функции. Так, например, нормальный случайный процесс может иметь разнообразнуго спектральную плотность мощности, а белый шум — произвольную функцию распределения. Единственная «точка соприкосновения« вероятностных и корреляционных характеристик — зто возможность расчета дисперсии случайного процесса как на основе одномерной плотности вероятности (формула (1.33)), так и исходя из корреляционной функции (формула (1.38)).

Глава 1. Основы анализа сигналов Узкополосный случайный процесс Важную роль в радиотехнике играет особый класс случайных процессов, спектр которых сосредоточен в относительно узкой полосе вблизи некоторой частоты отв. Рассмотрим статистические свойства таких процессов. Итак, пусть х(г) — случайный процесс, спектр плотности мощности которого Яг,(го) имеет узкополосный характер (рис.