Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002), страница 6

Представим себе периодическую последовательность импульсов произвольного вида и сформируем ряд Фурье для нее. Затем, не меняя формы одиночных импульсов, увеличим период их повторения (заполнив промежутки нулевым значением) и снова рассчитаем коэффициенты ряда Фурье. Формула (1.9) для расчета коэффициентов ряда показывает, что нам придется вычислить тот же самый интеграл, но для более тесно расположенных частот гэ„- йеь Изменение пределов интегрирования не играет роли — ведь на добавившемся между импульсами пространстве сигнал имеет нулевое значение.

Единственное дополнительное изменение будет состоять в уменьшении обшего уровня гармоник из-за деления результата интегрирования на увеличившийся период Т. На рис. 1.9 описанные изменения иллюстрируются на примере двукратного увеличения периода следования прямоугольных импульсов. Обратите внимание на зг Глава 1. Основы анализа сигналов то, что горизонтальная ось спектральных графиков проградуирована в значениях частот, а не номеров гармоник. 0 2 и т о 2к и т Рис. 1.9. Изменение спектра последовательности импульсов при двукратном увеличении периода их следования Итак, с ростом периода следования импульсов гармоники располагаются ближе друг к другу по частоте, а обший уровень спектральных составляющих становится все меньше.

При этом вид вычисляемого интеграла (1.9) не меняется. Наконец, если устремить период к бесконечности (превратив тем самым периодическую последовательность в одиночный импульс), гармоники спектра будут плотно занимать всю частотную ос»ь а их амплитуды упадут до нуля (станут бесконечно малыми).

Однако взаимное соотношение между уровнями гармоник остается неизменным и определяется все тем же интегралом (1.9). Поэтому при спектральном анализе непериодических сигналов формула для расчета коэффициентов комплексного ряда Фурье модифицируется следуюшим образом: ьз' частота перестает быть дискретно меняющейся и становится непрерывным параметром преобразования (то есть ясо, в формуле (1.9) заменяется на го); С» удаляется множитель ЦТ; ь» результатом вычислений вместо нумерованных коэффициентов ряда С» является функция частоты 5(о») — спекгпральпая функция сигнала з(т). Иногда ее называют также спекпгральной плотносгпью.

В результате перечисленных модификаций формула (1.9) превращается в формулу прямого преобразования Фурье: Преобразование фурье В формуле самого ряда Фурье суммирование, естественно, заменяется интегри- рованием (и, кроме того, перед интегралом появляется леление на 2я). Получаю- щееся выражение называется обратным преобразованием Фурье: з(г) = — Го(ш)в "Йо. 1 2п „ (1.12) ЗАМЕЧАНИЕ Если использовать нс круговую частоту г», а обычную частоту /" <о/(2л), формулы прямо- го и обратного преобразования Фурье становятся ешс более симметричпымн, отличаясь лишь знаком в показателе зкспонентьн з(Г) = ~5()")вливай. Чтобы преобразование Фурье было применимо, сигнал должен удовлетворять следующим требованиям: О должны выполняться условия Дирихле (см. раздел «Ряд Фурье»); С) сигнал должен быть абсолютно интегрируемым. Это означает, что интеграл от его модуля должен быть конечной величиной: ~(5(г)) аг ( со.

Однако с привлечением математического аппарата обобщенных ф)чаяний возможно выполнение Фурье-анализа и для некоторых сигналов, не удовлетворяющих этим требованиям (речь об этом пойлет далее, в разделе «Фурье-знализ пеинтегрируемых сигналов»). Если анализируемый сигнал з(г) — вещественная функция, то соответствующая спектральная функция 5(ш) является «сопряженно-симметричной» относительно нулевой частоты. Это означает, что значения спектральной функции на частотах ш и — ш являются комплексно-сопряженными по отношению друг к другу: 5( — оз) = 5 (со). !Я- )~=!Яш)1, Ч,( — ш) - -~рг(ш).

Если з(с) — четная функция, то, как и в случае ряда Фурье, спектр будет чисто веа1ественным (и, следователыю, будет являться четлой функцией). Если, напротив, з(г) — функция нечетная, то спектральная функция 5(ш) будет чисто мнимой (и нечетной), Модуль спектральной функции часто называют амплитудным спектром, а ее аргумент — грозовым спектром. Легко показать, что для вешсственного сигнала амплитудный спектр является четной, а фазовый — нечетной функцией частоты: 34 Глава 1. Основы анализа сигналов Примеры расчета спектральных функций конкретных сигналов и соответствующие графики будут приведены далее. Итак, преобразование Фурье (1.11) ставит в соответствие сигналу, заданному во времени, его спектральиуго функцию.

При этом осушествляется переход из временной области в частотную. Преобразовзлше Фурье является взаимно-однозначным, поэтому представление сигнала в частотной области (спектральная функция) содержит ровно столько же информацшь сколько и исходный сигнал, заданный во временной области, Примеры расчета преобразования Фурье В этом разделе будут рассмотрены примеры расчета преобразования Фурье для некоторых сигналов, часто встречавшихся при решении различных задач. Прямоугольный импульс Начнем с прямоугольного импульса, цептрированного относительно начала отсчета времени (рис.

1.10): з(г) = ~ ГА, !г/ ь т/2, ~0, / г~ > т/2. — гц с тп Рис. 1.10. Прямоугольный импульс Вычисляем спектральную функцию: 2А . (гот') з(п(глт/2) 5(го) = ) Ае '"' Й = — з(п~ — ~ = Ат го (, 2 / гот/2 Как видите, спектр представляет собой функцию вила Гйп(х)/х (рис. 1.11). Амплитудный спектр имеет лепестковый характер, и ширина лепестков равна 2я/т, то есть обратно пропорциона.льна длительности импульса. Значение спектральной функции на нулевой частоте равно площади импульса — Ат. Спектральная функция является вещественной, поэтому фазовый спектр принимает лишь два значения — 0 и к, в зависимости от знака функции з1п(х)/х. Значения фазы к и -л яеразличимы, разные знаки для фазового спектра при го > 0 и гс с 0 использованы лишь с целью представить его в виде нечетной функции.

теперь посмотрим, что изменится после сдвига импульса во времени. Пусть импульс начинается в нулевой момент времени (рис. 1.12): Преобразование Фурье А, О~с<1, з(г) = О, г < О, г > т. о 1 Рис. 1.11. Амплитудный (слева) и фазовый (справа) спектры прямоугольного импульса Рис. 1.12. Прямоугольный импульс, задержанный ва времени Вычисляем преобразование Фурье и строим графики амплитудного и фазового спектров (рнс. 1.13): А, з(п(ат)2) (' . ат') 5(а) =) Ае ' г(г= — (1 — е '"')=Ат ехр) -г' — ~. уа ат/2 т 2 ) (1.14) о зя йи Ы „ т Рис. 1.1Э.

Амплитудный (слева) и фазовый (справа) спектры задержанного прямоугольного импульса ЗАМЕЧАНИЕ Этот пример демонстрирует проявление свойства преобразования Фурье, касающегося изменения спектра при сдвиге сигнала во времени. Это свойство в об1пем виде будет рас- смотрено далее, в разделе яСвойства преобразования Фурьеь. Глава 1. Основы анализа сигналов Из формулы (1.14) и графиков рис. 1.13 видно, что после сдвига импульса во времени его амплитудный спектр остался прежним, а фазовый приобрел сдвиг, линейно зависящий от частоты. Строго говоря, спектр данного сигнала простирается до бесконечности, лишь постепенно затухая. Поэтому вводят понятие эффективной ширины спектра.

Как видно из графиков, спектр имеет лепестковьш характер и ширина главного лепестка равна 2к/т. При лепестковом характере спектра за эффективную ширину спектра можно принять ширину главного лепестка. Из графиков видно, что она составляет 2к/т, то есть обратно пропорциональна длительности импульса. Это общее соотношение: чем короче сигнал, тем шире его спектр. Произведение же эффективных значений длительности сигнала и ширины его спектра (оно называется базой сигнала) остается равным некоторой константе, зависящей от конкретного способа определения этих параметров.

В пашем примере это произведение, очевидно, равно 2л. Вообще, для сигналов простой формы (не имеющих сложной внутриимпульсной структуры) величина базы независимо от способа определения эффективных значений длительности н ширины спектра составляет несколько единиц. Длительность сигнала и ширина его спектра подчиняются сооглношеиию неолределепв естли, гласящему, что произведение этих параметров (база сигнала) не может быть меньше единицы. Ограничений максимального значения базы сигнала пе существует.

Отсюда следует, что можно сформировать сигнал большой длительности, одновременно нмегоший и широкий спектр (такие сигналы называют широкополосными, или сложными, илн сигпалпми с большой базой). А вот короткий сигнал с узким спектром, согласно соотношению неопределенности, существовать не может. Несимметричный треугольный импульс Далее рассмотрим несимметричный треугольный импульс (рис. 1.14): (г) ~А —, 0 ьг <Т, '10, Г < О, Г > Т.

т Рис. 1.14. Несимметричный треугольный импульс Рассчитываем спектр и строим графики (рис. 1.15): 5(гв) =) А-е ' г(Г ы —, е м — — е д" . 4 А — мт А выг Т (1'ге)' Т (1тв) Т )гв Преобразование Фурье 11(и) Агй АТ)10 О -к Ок-8к -бк -4к -2к О 2к 4к бк 8к еТ Ок-зк -бк -4к -2к О 2к 4к бк 8 Рис. 1.15. Амплитудный (слева) и Фазовый (справа) спектры несимметричного треугольного импульса На сей раз амплитулный спектр не содержит ярко выраженных лепестков, поэтому для определения его эффективной ширины необходим иной критерий.

Будем определять эффективнуго ширину спектра по уровню 0,1 от максимума. Из графика внлно, что эта шнрина (она показана стрелкой) составляет примерно 6к/Т. База сигнала, таким образом, равна 6к. Симметричный треугольный импульс Следующий сигнал — симметричный треугольный импульс (рис. 1.16); ( 1 с|1 з(г)= (, Т)' А 1- —, (г! >Т, О, 111>Т. -т О т Рис.