1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике, страница 16

Корпус легко- ... !, ~==?И , го крейсера весит 19000 кН. . !' '! ' /!', "!"" Центр тяжести корпуса находится по вертикали над , д - 9' ' килем на высоте у! =6 м. После спуска на воду внутри К заааче 9.99 корпуса установлены главные машины и котлы. Главные машины весят 4500 кН, и ордината центра тяжести их ув =.3 м. Вес котлов равен 5000 кН, и ордината центра тяжести их ув — — 4,6 м. Определить ординату ус общего центра тяжести корпуса, машин и котлов.

Ответ: ус = 5,28 м. 9.22(9.22). На корабле водоизмещением в 45000 кН груз весом в 300 кН перемещен из носового отсека в кормовой на расстояние 60 м. Насколько переместился общий центр тяжести корабля и груза? Ответ: На 0,4 м. 9.23(9.23). Для однородного тетраэдра АВСОЕР, усеченного параллельно основанию, даны: площадь АВС = а, площадь ОЕЕ = Ь, аз расстояние между ними Ь. Найти расстояние г центра тяжести данного усеченного тетраэдра от основания АВС. Ответ: г=— 4 а+ Ч/оЬ + Ь 9.24(9.24). Корпус якорной подводной мины имеет форму цилиндра с выпуклыми сферическими днищами. Радиус цилиндриче- 2! ского пояса и = 0,4 м, высо- та цилиндрического пояса ! Ь = 22; высоты сферических г' 1 сегментов соответственно Е равны: )г =0,5г и )2 =0,2г.

Найти центр тяжести поверхности корпуса мины. зу — — — — с. 1 Ответ: хо =ус=0, гс = = 1,2672 =0,507 м. 9.25(9.26). Найти пре- К задаче 9ла к -д.- 9.м дельную высоту Ь цилиндра, при которой тело, состоящее из цилиндра и полушара одинаковой плотности и одинакового радиуса т, теряет устойчивость в положении равновесия, когда оно опирается 'поверхностью полушара на гладкую горизонтальную плоскость. Центр тяжести всего тела должен совпадать с центром полушара. Расстояние центра тяжести однородного полушара от его основания равно з/зг. Ответ: Ь=г/~/2.

9.26(9.27). Найти предельную высоту Ь конуса, при которой тело, состоящее из конуса и полушара одинаковой плотности н К задаче 9,26 К задаче 9.26 К задаче 9.27 радиуса г, теряет устойчивость в положении равновесия при условии предыдущей задачи. Ответ: Ь=К~З. 9.27(9.28). Тонкий однородный лист изогнут в виде двух треугольников и квадрата, как показано на рисунке: равнобедренный треугольник ОАВ лежит в плоскости ху, прямоугольный треугольник ОРŠ— в плоскости уг (вершина прямого угла — точка Е), квадрат ОВКŠ— в горизонтальной плоскости. Определить координаты центра тяжести изогнутого листа.

Ответ: хе =3,ЗЗ см„ус = 0,444 см, гс = 3,55 см. ОТДЕЛ ВТОР ОР( КИНЕМАТИКА ГЛАВА ГН КИНЕМАТИКА ТОЧКИ $10. Траектория и уравнения движения точки 10.1(10.1). По данному уравнению движения точки на произвольно выбранной траектории построить через равные промежутки времени шесть положений точки, определить расстояние з по траектории от начала отсчета до конечного положения точки и пройденный ею путь о за указанный промежуток времени (з и о — в сантиметрах, 1 — в секундах). 1) з = 5 — 4(+ (з, О < 1 < 5. Ответ: з = 10 см, о = 13 см. 2) з = 1 + 21 — (з, 0 < 1 < 2,5.

Ответ: з = —,0,25 см, о =3,25 см. 3) з = 4 з!и !0(, я/20 < 1 < Зя/10. Ответ: а =О, о=20 см. 10.2(10.2). По данным уравнениям движения точки найти уравнения ее траектории в координатной форме и указать на рисунке направление движения. 1) х= 31 — 5, у=4 — 20 Ответ: Полупрямая 2х+ Зу — 2=0 с началом в точке х * — 5, у = 4. 2) х=21, у=812. Ответ: Правая ветвь параболы у = 2хз е начальной точкой х=О, у=О. 3) х 5з!и !0(, у = Зсоз 10Е Ответ: Эллипс — + — = 1 с начальной точкой х =О, у = 3. у 25 9 4) х = 2 — Зсоз51, у =4япб( — 1. (х — 2)~ (у+ 1)~ Ответ: Эллипс 9 + а — — 1 с начальной точкой х 16 = — 1, у= — 1. 5) х = с)1 ( = — (е'+ е '), у = зЫ = — (е' — е ).

2 2 Огеег: Верхняя часть правой ветви гиперболы х' — у' = 1 с начальной точкой х = 1, у = О. 91 10.3(10.3). Построить траекторию точки, радиус-вектор которой изменяется согласно уравнению (го и е — постоянные заданные векторы, 1 и 1 — координатные орты). 1) г = го + 1.е. Ответ: Полупрямая, проходящая через начальную точку Мо(го), параллельно вектору е. 2) г = го+ соз1.е. Ответ: Отрезок МоМ, прямой линии, проходящей через точку М(г,) параллельно вектору е. Начальная точка Мо(го+ е); вторая крайняя точка М~(го — е). При 1-~-оо конец радиус-вектора пройдет бесчисленное число раз через каждую точку траектории. 3) г =асов, 1+Ь з1п —,1. +1о 1+Р х' уо Ответ: Отрезок верхней части эллипса —, + —,=1.

Точка начинает движение от левой вершины эллипса, монотонно приближаясь к его правой вершине. 10.4(10.4). По заданным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории, а также указать закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки. 1) х=ЗР, у= 4Р. Ответ: Полупрямая 4х — Зу = 0; з = 5Р.

2) х = Зейн Г, у =Зсозй Ответ: Окружность хо + уо = 9; з = 31. 3) х = а созо1, у = а з)по й Ответ: Отрезок прямой х+ у — а = О, причем 0 ( х( а; з =а у'2 айно б 4) х = 5 соз 5Р, у = 5 зйп 5Р. Ответ: Окружность х' + уо = 25; з = 25Р. 10.5(10.5). Мостовой кран движется вдоль мастерской согласно уравнению х = 1; по крану катится в поперечном направлении тележка согласно уравнению у = 1,5г (х и у в в метрах, г — в секундах). Цепь укорачивается со скоростью в = 0,5 м/с, Определить траекторию центра тяжести груза; в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости Оху; ось Ох направлена вертикально вверх. Ответ: Траектория — прямая: у = 1,5х; г = 0,5х.

10.6(10.6). Движение точки, описывающей фигуру Лиссажу, задается уравнениями х = 3 з1п1, у = 2 соз 21 (1 — в секундах). Найти уравнение траектории, вычертить ее и указать направление движения точки в различные моменты времени. Указать также ближайший после начала движения момент времени (ь когда траектория пересечет ось Ох. Ответ: Часть параболы 4хо+ 9у= 18, вдоль которой 1х~(3, 1у ) ( 2, 11 = и/4 с. 10.7(10.7).

При соответствующем выборе осей координат уравнения движения электрона в постоянном магнитном поле определяются равенствами х = а з1пИ, у = а соз И, г = оГ, где а, Ь н Ответ Уреввеевв Вввжевве Крез!с т,с ~ /,гв ае. см а, см 1. х= — 7 сов 121 2. к = 4 з|е (е!/ЖО— — 3 соз (Ы/20) 3.

х= 2 — 4 з!о 1401 4. к 6з!пв181 в е 5. к=! — 4соз* — ! 60 12 ж/20 6/ж 0,025 ж/6 40 — ж/2 ' — згс!я (3/4) , 0 140 36 я/30 70/ж 18/е 1 60 е/70 е/18 60 ж — ж/2 — я/2 10.9(10.9). Груз, поднятый на упругом канате, колеблется согласно уравнению х= аз(п(И+За/2), где а — в сантиметрах, й — в рад/с. Определить амплитуду и круговую частоту колебаний груза, если период колебаний равен 0,4 с и в начальный момент хо = — 4 см. Построить также кривую расстояний.

Ответ: а = 4 см, й = бя рад/с. 10.10(10.10). Определить траекторию точки, совершающей одновременно два гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если колебания происходят по двум взаимно перпендикулярным осям: х = а з)п(И+ и), у = Ь з)п(И+ р). Ответ: Эллипс —, + —,, — — соз (а — р) = з(пз (а — 8). 10.11(10.11). Найти уравнение траектории движения точки, получающегося прн сложении взаимно перпендикулярных колебаний разной частоты: 1) х=аз1п2от(,у=аз(пЫ; 2) х = а соз 2от/, у = а созе!/. Ответ: 1) хзаз = 4уз(аз — уз); 2) 2уз — ах — аз = О, причем ~х) ( а, ) у~ = а. 10.12(10.12). Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью со =!О рад/с. Длина ОА =АВ = 80 см. Найти уравне- ч — некоторые постоянные, зависящие от напряженности магнитного поля, массы, заряда и скорости электрона.

Определить траекторию электрона и закон движения его по траектории. Ответ: Электрон движется по винтовой линии. Начальная точка х = О, у= а, е = О; шаг винта Ь = — т. Закон движения элек= 2я /с трона по винтовой линии з= )/азйз+ тз1. 10.8(10.8). Гармонические колебания точки определяются законом х = а ейп(И+ е), где а ) Π— амплитуда колебаний, й ) О— круговая частота колебаний и е( — н ( е ( н) — начальная фаза. Определить центр колебаний ао, амплитуду, круговую частоту, период Т, частоту колебаний / в герцах и начальную фазу по следующим уравнениям движения (х — в сантиметрах, 1 — в секундах): ния движения и траекторию средней точки М шатуна, а также уравнение движения ползуиа В, если в начальный момент ползун находился в крайнем правом поло- Ф женин; оси координат указаны на У рисунке.

Ф Ответ: 1) хм =120соз101, ум = рс 242' в 40 яп 105 2) Траекторией точки М являет- 22 во ся эллипс — + — = 1; ЩО 4О2 3) уравнение движения ползуна В х = 160 соз 105 10.13(10.14). Определить уравнения движения и траекторию точки обода колеса радиуса Я = 1 м автомобиля, если автомобиль движется по прямолинейному пути с постоянной скоростью 20 м/с. Принять, что колесо катится без скольжения; за начало координат взять начальное положение точки на пути, принятом за ось Ох.

Ответ: Циклоида х = 201 — яп 201, у = 1 — соз 201. 10.14(10.15). Даны уравнения движения снаряда х=восоза ° й у=во зша ° 1 — —, е22 2 где оо — начальная скорость снаряда, а — угол между оо и горизонтальной осью х, д — ускорение силы тяжести. Определить траекторию движения снаряда, высоту Н, дальность Е и время Т полета снаряда.

в Ответ: Траектория — парабола у=1па х — 2, хо;высота 2оо осо22 а "о оо . оо 2 Н= — япоа, Е= — яп 2а, Т= 2 — япа. 2ц е е 10.15(10.16). В условиях предыдущей задачи определить, при каком угле бросания а дальность полета Е будет максимальной. Найти соответствующие высоту и время полета. Ответ: а = 45, Е,„= — о, Н = — о, Т = 1/2 — о . 10.16(10.17). В условиях задачи 10.14 определить угол бросания а, прн котором снаряд попадает в точку А с координатами х и у.

"о ~'Ч оо — 2оовв — Е х 2 ./4 2 2 Ответя 1па= ех !0.17(10.18). Определить параболу безопасности (все точки, лежащие вне этой параболы, не могут быть достигнуты снарядом при данной начальной скорости оо и любом угле бросания а). "о Ответ: у= — — — хо. 2Е 2оо 10.18(10.19). Точка движется по винтовой линии х=асовИ, у=аяпИ, г=И. Определить уравнения движения точки в цилиндрических координатах. Ответ: г = а, ф = И, г = тй 10.19(10.20). Даны уравнения движения точки: х = 2а сов' (И/2), у = а яп И, где а и Ф вЂ” положительные постоянные. Определить траекторию и закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки. Ответ: Окружность (х — а) ' + у' = а', з = аИ.