1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике, страница 17

10.20(10.21). В условиях предыдущей задачи определить уравнения движения точки в полярных координатах. Ответ: г = 2а сов(И/2); ф = И/2. 10.21(10.22). По заданным уравнениям движения точки в декартовых координатах х=/г сове(И/2), у=(/с/2) яп И, г=/с яп(И/2) найти ее траекторию и уравнения движения в сферических координатах. Ответ: Линия пересечения сферы хе+ уз+ гз = /сз и цилиндра (х — /с/4)з+ у' = /гз/4. Уравнения движения в сферических координатах: г = Р, ф = И/2, 0 = И/2.

10.22(10.23). Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных затухающих колебаниях, уравнения которых имеют вид х=Ае "'соз(И+ з), у=Ае "' яп(И+а), где А ) О, Ь ) О, л ) О и е — некоторые постоянные. Определить уравнения движения в полярных координатах и найти траекторию У точки. с Ответ: г = Ае-"', ф = И + е; траектория — логарифмическая ь ь т с — — (<р-е) ть ~т спираль г = Ае 10.23. Плоский механизм ма- м нипулятора переносит груз из од- Ф ного положения в другое по тра- " ектории, определяемой полярными координатами центра схвата к звлаче мм гс = гс(С), фс = фс(Е).

Найти: 1) законы изменения углов ф~ и фь отрабатываемых соответствующими приводами, обеспечивающие выполнение заданной программы; 2) законы изменения этих углов, если груз перемещается по прямой, параллельной оси у, отстоящей от нее на расстоянии а по закону у = з(1), где з — заданная функция времени 1. Ответ аС (Е) + Е1 Е2 1) Ф! = фс (Е) т агссоз 2Е!гс (Е) Гс (Е) (1 Е2 2Г2 + аГСсоа 2(1(а а(Е) а2 ! 22 (Е)+(2 Е2 а) ч,= !а — — и о ее а(~| а (ц — ( — ~ 2)2 = ~- агссоз 2(1Еа $11.

Скорость точки 11.1(11.1). Точка совершает гармонические колебания по закону х = а з!п И. Определить амплитуду а и круговую частоту й колебаний, если при х = х1 скорость о = о1, а при х = хо скорость О=02. О!22 — О22! О! — О2 22 22 2 2 Ответ: а= ,'; й= оо — о х — к 2 2' 2 2 ! 11.2(!1.2).

Длина линейки эллипсографа АВ =4(Е см, длина кривошипа ОС =20 см, АС= СВ. Кривошип равномерно вращается вокруг оси О с угаовой скоростью ео. Найти уравнения траектории и годографа скорости точки М линейки, лежащей на расстоянии АМ = = 10 см от конца А. Х' уа Ответ: — + — = 1' воо, (оо = ' 22 1 Е1 Ег 1 (оо а ! 1.3(11.3). Точка описывает фигуру Лиссажу согласно уравнениям К задаче 11.2 х=2соз! у=4соз2Е (х,у — в сантиметрах, Š— в секундах). Определить величину и направление скорости точки, когда она находится на оси Оу, Ответ: 1) о = 2 см/с, соз(о, х)= — 1; 2) о = 2 см/с, сов (о, х) = 1.

11.4(11.5). Кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоростью Ео. Найти скорость середины М шатуна кривошипноползунного механизма и скорость ползуна В в зависимости от времени, если ОА = АВ = а (см. рисунок к задаче 10.12). Ответ: 1) од,— — — ео т/8 з(поооЕ+1; 2) ов=2ао2 з!п 22(.

М 11.5(11.6). Движение точки задано уравнениями х=во(созао, У=со( з!п по — Ч2УЕ2, причем ось Ох горизонтальна, ось Оу направлена по вертикали вверх, оо, д и ао ( н/2 — величины постоянные. Найти: 1) траекторию точки, 2) координаты наивысшего ее положения, 3) проекции скорости на координатные оси в тот момент, когда точка находится на оси Ох.

оо 2) х= — Х 2е 4 н. В, яощерокоа Ответ: 1) Парабола у =х1дао — х', Ю 2оосоо ао о о Х з!п 2а,, у = — з)п а,; 3) п, = х, соз а„п„= -ь во з(п а„причем 2в верхний знак соответствует начальному моменту времени, а ииж2оо 51п ао ний — моменту г'= я 11.6(11.7). Движение точки задано теми же уравнениями, что и в предыдущей задаче, причем по = 20 м/с, ао = 60',д = 9,81 и/с'.

Найти, с какой скоростью о~ должна выйти из начала координат в момент ! = 0 вторая точка для того, чтобы, двигаясь равномерно по оси Ох, она встретилась с первой точкой, и определить расстоя- ние х~ до места встречи. Ответ: в~ = 10 м/с, х, = 35,3 м. 11.7(11.8). Определить высоты йь Ьо н йо над поверхностью воды трех пунктов отвесноге берега, если известно, что три пули, выпущенные одновременно в этих пунктах с горизонтальными ско- ростями 50, 75 и 100 и/с, одновременно упали в воду, причем рас- стояние точки падения первой пули от берега равно 100 м; принять во внимание только ускорение силы тяжести д = 9,81 м/со.

Опре- делить также продолжительность Т полета пуль и их скорости оь оо и по в момент падения в воду. Ответ: й~ —— йо=йо — — 19,62 м, Т=2 с, о, 53,71 м/с, по= = 77,52 м/с, по — — 101,95 м/с. 11.8(11.9). Из орудия, ось которого образует угол 30' с горизон- том, выпущен снаряд со скоростью 500 м/с. Предполагая, что сна- ряд имеет только ускорение силы тяжести у = 9,81 м/со, найти годограф скорости снаряда и скорость точки, вычерчивающей го- дограф. Ответ; Годограф — вертикальная прямая, отстоящая от начала координат на 432 м; о~ — — 9,81 м/со.

11.9(11.10). Определить уравнения движения и траекторию точки колеса электровоза радиуса !г = 1 м, лежащей на расстоя- нии а = 0,5 м от оси, если колесо катится без скольжения по го- ризонтальному прямолинейному участку пути; скорость осн колеса п = 10 м/с. Ось Ох совпадает с рельсом, ось Оу — с радиусом точ- ки при ее начальном низшем положении. Определить также ско- рость этой точки в те моменты времени, когда диаметр колеса, на котором она расположена, займет горизонтальное и вертикальное положения. Ответ: Укороченная циклоида х = 1О1 — 0,5 з!п 1ОГ, у = 1— — 0,5 сов 106 Скорость: 1) 11 м/с; 18 м/с; 2) 5 м/с; 15 м/с.

11.10(11.П). Скорость электровоза о« = 72 км/ч; радиус колеса его ?? = ! м; колесо катится по прямолинейному рельсу без скольжения. 1) Определить величину и направление скорости о точки М на ободе колеса в тот момент, когда радиус точки М составляет с на- правлением скорости о«угол и/2+ а. л 2) Построить годограф скорости точки М и определить скорость о, точки, вычерчивающей годограф. Ответ: 1) Скорость о = 40 соз(а/2) м/с и нау л правлена по прямой МА; 2) Окружность р = 2о«соз О, где 0 = а/2, радиуса г = оо (см.

рисунок); о, = о~~/)? = = 400 м/сз. 11.11(11.! 2). Определить уравнения движе- Р ния и траекторию точки М колеса вагона радиу- Ю у са !г =0,5 м, отстоящей от оси на расстоянии а =0.6 м и лежащей в начальный момент на 0,1 м ниже рельса, если вагон движется по прях „,„, и м молинейному пути со скоростью о = 10 м/с. Найти также моменты времени, когда эта точка будет проходить свое нижнее и верхнее положения, и проекции ее скорости на оси Ох, Оу в эти моменты времени. Ось Ох совпадает с рельсом, ось Оу проходит через начальное нижнее положение точки. Ответ: Удлиненная циклоида х = 1О! — 0,6 зйп 201; у = 0,5 — 0,6 соз 201; при 1= — с — нижнее положение точки, о, = — 2 м/с, о„= 0; я« !о при ! = — (! + 2й) с — верхнее положение точки, о„= 22 м/с, 29 ох=0,гдей=0, 1,2,3 ...

11.12(11.13). Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных затухающих колебаниях согласно уравнениям х = Ае "' соз (й! + е), у = Ае "' зш (я! + е). Определить проекции скорости точки на оси декартовых и полярных координат и найти модуль скорости точки. Ответ: 1) о„= — Ае «' [Ьсоз(й!+ а)+ Й з!п(й!+е)], о„= — Ае "' [й зйп (И + а) — й сов (И + а)[; 2), = Ай-«! = Ай;и. 3) о=А,/Ь'-[-й«е "'= «/й«+ й«г. 11.13(11.14). Какую кривую опишет корабль, идущий под постоянным курсовым углом а к географическому меридиану? Корабль принять за точку, движущуюся по поверхности земного шара.

98 Ответ: 1п ( — '+ —,) = 1н ~ — + — ) еа ""-" где ст — широта, (ч з) ~ч з) а ',— долгота текущего положения корабля (эта кривая называется локсодромией). У к а з а н и е. Воснольлонаться сферическими координатами г, тиар 11.14(11.15). Уравнения двнженияточки М в цилиндрической системе координат имеют вид (см. задачу 10.8) г = а, ср = И, г = И. Найти проекции скорости К задаче Плз точки М на оси цилиндрической системы координат, уравнения движения точки Мь описывающей годограф скорости, и проекции скорости точки М~.

Ответ: 1) о,=О, о, =а/т, о,=т;2) г, =ав, <р, =я/2+ И, а, =т; 3) о„=О, о, =аИ, о,, =О. 11.15(11.16). Точка М движется по окружности согласно уравнениям г = 2а соз (й1/2), <р =- М/2 (г,у — полярные координаты). Найти проекции скорости точки М на оси полярной системы координат, уравнения движения точки Мь описывающей годограф скорости, и проекции скорости точки Мь Ответ: 1) о,= — авз)п(И/2), он — — ансон(М/2); 2) г, =ай, ф, = и/2+ И; 3) о, = О, он, —— авт. 11.16(11.17). Точка движется по линии пересечения сферы и цилиндра согласно уравнениям г = Я, <р = И1/2, 0 = Ы/2 (г, <р, 6 — сферические координаты; см.

задачу 10.21). Найти модуль и проекции скорости точки на оси сферической системы координат. Ответ: о,=О, о,=()Щ2)соз(М/2), он=Яв/2, — (яннуТ-~- нч2). 11.17(11.18). Найти в полярных координатах (г,ф) уравнение кривой, которую опишет корабль, сохраняющий постоянный угол пеленга а на неподвижную точку (угол между направлением скорости и направлением на точку), если дано:а и гг=а = гс. Корабль принять за точку, движущуюся на плоскости, и за полюс взять ль вз произвольную неподвижную точку в этой плоскости.

Исследовать частные случаи а = О, и/2 и и. Ответ: Логарифмическая спираль т = тее-ьые". При а = и/2 окружность т = ты при а = 0 или а = и прямая. 9 12. Ускорение точки 12.1(12.1). Поезд движется со скоростью 72 км/ч; при торможении он получает замедление, равное 0,4 м/се. Найти, за какое время до прихода поезда на станцию и на каком от нее расстоянии должно быть начато торможение. Ответ: 50 с, 500 м. 12.2(12.2).

Копровая баба, ударив сваю, движется затем вместе с ней в течение 0,02 с до остановки, причем свая углубляется в землю на 6 см. Определить начальную скорость движения сваи, считая его равиозамедленным. Ответ: 6 м/с. 12.3(12.3). Водяные капли вытекают нз отверстия вертикальной трубочки через 0,1 с одна после другой и падают с ускорением 9,81 м/сз. Определить расстояние между первой и второй каплями через 1 с после момента истечения первой капли. Ответ: 0,932 м. 12.4(12.5). Считая посадочную скорость самолета равной 400 км/ч, определить замедление его при посадке на пути 1 = 1200 м, считая, что замедление постоянно.