1986 год – Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике, страница 18

Ответ: ш = 5,15 м/сз. 12.5(12.6). Копровая баба падает с высоты 2,5 м, а для ее поднятия на ту же высоту требуется втрое больше времени, чем на падение. Сколько ударов она делает в минуту, если считать, что свободное падение копровой бабы совершается с ускорением 9,81 м/с'? Ответ: 21 удар. 12.6(12.7). Ползун движется по прямолинейной направляющей с ускорением гв„= — яз з)п —" 1 м/с~.

Найти уравнение движения ползуна, если его начальная скорость ое„= 2п м/с, а начальное положение совпадает со средним положением ползуна, принятым за начало координат. Построить кривые расстояний, скоростей и ускорений. Ответ: х=4 з1п — "1 м.

2 12.7(12.8). Поезд, имея начальную скорость 54 км/ч, прошел 600 м в первые 30 с. Считая движение поезда равнопеременным, определить скорость и ускорение поезда в конце 30-й секунды, если рассматриваемое движение поезда происходит на закруглении радиуса?? = 1 км.

Ответ: о = 25 м/с, ш = 0,708 м/сз; 12.8(12.9). При отходе от станции скорость поезда возрастает равномерно и достигает величины 72 км/ч через 3 мин после от- хода; путь расположен на закруглении радиуса 800 м. Определить касательное, нормальное и полное ускорения поезда через 2 мии после момента отхода от станции.

Ответ: и! = '/д м/сг, и, = г/д м/сд; и = 0,25 м/сг. 12.9(12.10). Поезд движется равнозамедленно по дуге окружности радиуса Л = 800 м и проходит путь е = 800 м, имея начальную скорость од = 54 км/ч и конечную о = 18 км/ч. Определить полное ускорение поезда в начале и в конце дуги, а также время движения по атой дуге. Ответ: ид = 0,308 м/сг, ив = 0,129 м/сг, Т= 80 с. 12.10(12.11). Закругление трамвайного пути состоит из двух дуг радиусом р! = 300 м и рд = 400 м. Центральные углы а! = = ад = 60'. Построить график нормального ускорения вагона, идущего по закруглению со скоростью о = 36 км/м. Р и г 12.11(12.12). Точка движется по дуге окружности радиуса /г' = 20 см.

Закон ее движения по траектории: з = 20 з!п л( К звгачг !ггд (1 — в секундах, в — в сантиметрах). Найти величину и направление скорости, касательное, нормальное и полное ускорения точки в момент 1 = 5 с. Построить также графики скорости, касательного и нормального ускорений. Ответ: Скорость равна по величине 20л см/с и направлена в сторону, противоположную положительному направлению отсчета дуги в; и! = 0; и = и„= 20лг см/сд. 12.12(12.13). Прямолинейное движение точки происходит по закону з= —,(а/+е '), где а и у — постоянные величины. Найти начальную скорость точки, а также определить ее ускорение в функции от скорости. Ответ: од= О, и =у — ао, 12.13(12.14). Движение точки задано уравнениями х = 10 сов(2л//5), у = 1О яп (2л//5) (х,у — в сантиметрах, А — в секундах). Найти траекторию точки, величину и направление скорости, а также величину и направление ускорения.

Ответ: Окружность радиуса 1О см; скорость о =4л см/с и направлена по касательной в сторону перехода от оси Ох к оси Оу поворотом на 90', ускорение и = 1,6лг см/сг и направлено к центру. 12.14(12.15). Уравнения движения пальца кривошипа дизеля в период пуска имеют вид х = 75 сов 4гд,у = 75яп 4/г (х, у — в сантиметрах, г' — в секундах). Найти скорость, касательное и нормальное ускорения пальца.

Ответ: о = 600г см/с, и! = 600 см/с', и„ = 4800/г см/сг. 12.15(!2.16). Движение точки задано уравнениями х = а (е"' + е-г'), у = а (е"' — е-"') где а н й — заданные постоянные величины. 101 Найти уравнение траектории, скорость и ускорение точки как функции радиуса-вектора г = ч/хз+ уз. Ответ; Гипербола х' — у' = 4аз; о = Ь-, и> = вдг. 12.16(12.18). Найти радиус кривизны при х = у = 0 траектории точки, описывающей фигуру Лиссажу согласно уравнениям х= — аяп28>г, у= — аяпвй Ответ: р = ао.

12.17(12.19). Найти величину и направление ускорения, а также радиус кривизны траектории точки колеса, катящегося без скольу! Ф К задаче 12.17 К задаче !2.18 жения по горизонтальной оси Ох, если точка описывает циклоиду согласно уравнениям х = 20! — з!п 201, у = 1 — соз207 (1 — в секундах, х, у — в метрах). Определить также значение радиуса кривизны р при 1 = О.

Ответ: Ускорение и> = 400 м/с2 и направлено по МС к центру С катящегося круга; р = 2МА, ро = О. 12.18(12.20). Найти траекторию точки М шатуна кривошипно- 1 ползунного механизма, если г = 1 = 60 см, МВ =- — 1, ф = 4я! з ' (! — в секундах), а также определить скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки в момент, когда !р = О. ха уз Ответ: Эллипс —,, + — =1, о=80я см/с, !в= 1600пд см/сд, р=4 см. 12.19(12.21).

На проволочной окружности радиуса 10 см надето колечко М; через него проходит стержень ОА, который равномерно вращается вокруг точки О, лежащей на той же окружности; угловая скорость стержня такова, Р что он поворачивается на прямой угол в 5 с. е Определить скорость о и ускорение 7в колечка. Ответ: о = 2л см/с, ш = 0,4яз см/сз. 12.20. В условиях предыдущей задачи определить скорость и ускорение колечка М как К задачам 12.12 а 12.28 функцию угла ф,если угловое ускорение стерв!ня ОМ равно я соз ф (и = сопз1). В начальный момент при 1 = 0 угол !р и его скорость равнялись нулю, радиус окружности г, 0 ( !р «- я, Ответ: о = 2г т'272 яп !р, гв = 2Ь ч>1 + 15 яп> !р.

!02 12.21(12.22). Движение снаряда задано уравнениями х = во/ соз ао, у = аког ейп ао — '/о у/', где оо и ао — постоянные величины. Найти радиус кривизны траектории при / = 0 и в момент падения на землю. Ответ: р=о~/(осока ). 12.22(12.23). Снаряд движется в вертикальной плоскости согласно уравнениям х = 300/, у = 4001 — 5Р (/ — в секундах, х,у— в метрах). Найти: 1) скорость и ускорение в начальный момент, 2) высоту и дальность обстрела, 3) радиус кривизны траектории в начальной и в наивысшей точках. Ответ: оо = 500 м/с, во — — 10 м/с', Ь=8 км, а=24 км, ро=41,67 км, р=9 км.

1 12.23(12.24). Из орудия береговой 1 артиллерии с высоты Ь = 30 м над 4 уровнем моря произведен выстрел под М углом ао = 45' к горизонту с начальной скоростью снаряда оо = !000 м/с. к залвче !2.23 Определить, на каком расстоянии от орудия снаряд попадет в цель, находящуюся на уровне моря. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ: 102 км. 12.24(12.25). Найти касательное и нормальное ускорения точки„ движение которой выражается уравнениями х = ай у = 51 — дР/2. Ответ: ш,= —, э„= —, где о — скорость точки. е (Р— е1) еа 12.25(12.26). Точка движется по винтовой линии согласно уравнениям х = 2 соз 4/, у = 2 з(п 41, х = 2/, причем за единицу длины взят метр. Определить радиус кривизны р траектории.

Ответ: р = 2'/о м. 12.26(12.27). Движение точки задано в полярных координатах уравнениями г = ае" и ф = /о/, где а и /о — заданные постоянные величины. Найти уравнение траектории, скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки как функции ее радиус-вектора г.

Ответ: г = аео — логарифмическая спираль; о = йг т/2, э= = 2й'г, р = г 1/2. 12.27(12.28). Движение точки задано уравнениями х=21, у=Р (1 — в секундах, х и у — в сантиметрах). Определить величины и направления скорости и ускорения точки в момент времени 1 = 1 с. Ответ: в =2 ~/2 см/с, а= 2 см/со, (в, х) =-45', (ов, х)=90'. 12.28(12.29). Построить траекторию движения точки, годограф скорости и определить радиус кривизны траектории в и-чальный 1ВЗ момент, если точка движется согласно уравнениям к=41, у =гз (1 — в секундах, к и у — в сантиметрах). ка Ответ: Уравнение траектории у = — — кубическая парабола; годограф скорости — прямая, параллельная оси о„; ра = аа (на- чальная точка траектории— кг Р точка перегиба). 12.29(12.30). Кривошип ОзС длиной а/2 вращается Г с постоянной угловой ско- ростью за вокруг оси Оь аз1 В точке С с кривошипам Р шарнирно связана линейка АВ, проходящая все время через качающуюся муфту О, к зала заяз находящуюся на расстоянии а/2 от оси вращения Оь Приняв точку О за полюс, найти в полярных координатах уравнения движения точки М линейки, отстоящей от шарнира С на расстоянии а, ее траекторию, скорость и усков„рение 4в начальный момент угол = к'.СОО1 = О).

'е " Ответ: 1) г = а(1+ соз(аз1/2)), <р = за1/2; 2) г = а (1+ соз зр) — кардиоида; 3) в = ааз сов(азг/4); авз / азз: 0 / 4) в = — л /5 + 4 соз —. 4 Ч 2 а 12.30(12.32). В условиях задачи (12.29) оп- ределить радиус кривизны кардиоиды при г = Ю =2а, <р=О.

В Ответ: ра = 4/за. 12.31(12.33). Конец А стержня АВ переме- щается по прямолинейной направляющей СО с постоянной скоростью вл. Стержень АВ все время проходит через качающуюся муфту О, отстоящую от направляющей СО на расстоянии а. Приняв точку О за полюс, найти в полярных координатах г, зр скорость и ускорение точки М, находящейся на линейке на расстоянии 6 от ползуна А. ав алЬ з о,: = — аааыаз-" 'а. — —, 'азтКз ' *а.