Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972), страница 75

28. Пусть (А„» — равномерно ограняченвая последовательность самосопряжевных операторов. Пусть'А — ограниченный самосопряжевный оператор. Докажяте, что А =м. йг:Ипэ А„тогда н только тогда, когда А» — ~ А в слабой операторной топологни. 27. Пусть (Ая» н А — положятельные самосопряженвые операторы. Докажите, что Ае — и-А в сильном резольвентном смгэсле тогда н только тогда, когда (А„+8). э — (А+/)-э сильно. (28. Докажите, что если (Ая» н А — равномерно ограниченные самосопряженвые операторы, то Ая — ч А в сильном резольвентном смысле тогда н только тогда, когда А„ — ~ А сильно.

29. Пусть А самосопряжен. (а) Докажите, что (А — !еА в равномерном резольвентвом смысле прн ! гэ ФО. (Ь) Докажлте, что емл — э~"4 равномерно тогда н только тогда, когда А ограинчея. 80.')(а) Докажнте, что если (Ая» н А †равномерноограниченвыесамосопря- Ю з женные операторы н А„— А, но А„х. А, то А„не сходнтся к А в слабом резольвентвом смысле. (Ь) Когда не имеет места слабый аналог теоремы Ч1!1.!8) 8!. Справедлмв лн аналог вувнта (а) теоремы УН1.25 для форм? 82.

Докажнте, что А» л7 имеет сальный граф-предел прн и — оэ, яоторый не является графиком ввкакого оператора. 88. Пусть (Ае» вЂ” постоянная последовательность снммегряческих операторов (т. е. А„=Вцп). Докажнте, что сильный граф-предел А равен замыканню В. 84. Пусть Я вЂ” оператор правого сдвига на Сз. Локажите, гго тг.йг.-йт С!"— нулевой оператор, хотя з1.йт:Ищ С!" имеет график (<О, О>». 86. Локажиге непосредственно (ие применяя преобразования Фурье), что С-г(414х) в существенном самосопряжеи ва В". (Е).

ф8б. Локажите следствие теоремы Ч1П.14, '»87. Воспроизведите детали доказательства теоремы Ч1 !!.хз. 88. '(а) Пусть (А„» н А — положительные самосопряжевиые операторы, и -сл„-сл предположим, что е "— е сильно при каждом С ) О. Локажкге, что А„— А в сильном резольвентном смысле. (Ь) Локажнте аналог пункта (а), если сильная сходвмость заменена равномерной сходнмостью. 88. Пусть У(С), С~О,— семейство самосопряжеииых операторов, удовлетворяющее условиям (!) Ц У (С) Ц ~ел~ для некоторого В~К, (И) У (С) У (з) У (С+з), (!И) отображение СС-в У (С) сильно непрерывно, (1т) У (О) С.

Тогда (а) Подражая доказательству теоремы Стоуна, покажите, что У (С) е ~с для единственного самосопряжеииого оператора А. (Ь) Получите тот же результат, пользуясь функциональным исчислением. (с) Л . А~ — В. 40. Пусть <М, р> — пространство с мерой и уб И(М, ЫР). Отображение Т пространства 1,е (М, др) в себя назовем сохраиянмпим полежвтельиесть, если (Т!)(х)»0 п.в., как только /(х)~0 п.в. Пусть А, В— самосопряжевные операторы в я', н предположим, что е пл и е сохраняют положительность прн всех СЕЙ и что А+В в существенном самосопряжеи иа Р (А) Д!) (В). Локажвте, что зсСлс+вм сохраняет положительность при любом СЕЙ.

41. Пусть Нз и Ч вЂ” замкнутые положительные кеадратвчиые формы, и пусть ()~к~С",( — ез, О). Предположим, чго Я (Нз)С)С) (г) плотно в уб. Локажнте, что сУмма Не+()!Г, опРеделевнаа как квадРатичиаЯ фоРма иа СС (Нз) 1 ! сС (!С). замкнута и секториальна. 42. Пусть Т вЂ” самосопрювеивый плотно определенный оператор в гильбертовом пространстве Я'. Предположим, что для некоторых зебр(Т) оператор Ях,(Т) компактен. Локажите, что С(ь(Т) компактен при всех лр (Т), и рассмотрите различные типы спектров, которые может иметь Т. Замечание. Операторы с компактными резольвеитамн мы изучаем в гл. Х11!. 48.

(а) Приведите пример, показывающий, что для получения полного спектра Р (А,, ..., Адг) может понадобиться мьнмявиизобласти значений Р н иа Х о (Аь). ь=! (Ь) Локзжите, что если Аы '..., АН ограничены, то замыкание не требуется. 44. Докажите утверждение о единственности в теореме Ч111.32. 48. Пусть Т вЂ” замкиугый оператор. Локажите, что множество М (ф(ф~ Е()(Т), ТФЕУ (ут)» плотно, а оператор Т'Т, определенный иа М, самосопряжеи. (Ухаэакиз:пусть 3 — оператор, 'построенный в теореме Ч11!.Ж1: покажите, что С) (З)с:М и что ТеТ вЂ” симметрическое распарение 3.) 44. Пусть Т вЂ” замкнутый оператор в гильбертовом пространстве. Определим его числовую область значений М(Т) как Н(Т) ((Ф Тф)! фЮ(Т)» 'г'П >'. Неозраничеямые озарял>ори (а) Докажите, что и (Т)сИ (Т) 0 Н (Т*)*, где Н (Т ) — мвожестзо ((р, Т ф)(фЕР(Т)~.

(Ь) Найдите такой оператор Т, что о(Т) (ь. И(Т), а значит, Ф(Т) ~ Ф Н(Т») . (Уяязанпе: выберите Т симметрическйм>) 47. Пусть А самосопряжеи ва Р(А) з Я'> и В самосопряжеи ва Р(В) з Ясз. Примеввте теорему >1111.10 для доказательства того, что А®1+ + 1>ЗВ з сущестзеииом самосопряжев ва Р (АЩР (В). (Уяизанаа> атл(Я)зпв оставляет Р (А)®Р (В) ивзариавтиым.) 48. Пусть А — замкнутый симметрический оператор и А;з А». Пусть аиЬ вЂ”. квадратичные формы, такие, что ()(а)=Р(А), а(ф, >р)=(Аф, А>р), ()(Ь)=Р(А'), Ь(ф, <р)=(А»ф, Ачр). Покажите, что а ~Ь, во а ге Ь, иесмотря иа то, что а и Ь вЂ” положительвые свмметричиые формы. 49. Говорят, что оператор А имеет чисто дискретвый спеятр з (а, Ь), если (а, Ь) () о (А) = (а, Ь) () ож»с (А).

(а) Докажит~, что А имеет чисто дискретвый спектр з (а, Ь) тогда и тоаько тогда, когда Р1 + з з> компактен для всех достаточво малых з, где (Рп) — семейство спекгральвых проекторов А. (Ь) Докажите, что А имеет чисго двскретиый спектр з (а, Ь) тогда и только тогда, когда оператор 1(А) компактен для ла>бой фувкции (> из С, такой, что зпрр 1~ (а, Ь). (Указание> воспользуйтесь аадвчей 45 гл.

111.) (с) Пусть А„° А а развомервом резольаеитвом смь>еле. Предположим, что каждый 'А„имеет чисто точечвый. спектр з (а, Ь). Докажите, что и А имеет чисто точечный спектр а (а, Ь). БО. Пусть А — положительиый самосопря>кевиый оператор. (а) Докажите, что (((А+ы)->() ~ы->, если ш > О. (Ь) Докажите, что римаиоз икгеграл ы»з (А+в)-х>йв з существует.

(с) Д™окажите, что >'"'»- — '( '"и.~ >-'4 1>» ~ »е»и> 1." з (б) Таким же образом докажите, что А ф= — ) 1ив >(А-+ы)-х>йв]Аф длв лв>бого ф(хР(А), о еслиО<а<1. (е) Докажите, что Ип> — ф=(1ойА)ф для лвбогофЕР(А). с Аа а)0 м ) Юг. Пусть А н  — самосопряжеиные операторы н А, В~О; будем говорить, что А ~ В. если Р (В) ~ Р (А) н (ф, Вф> ~ <ф, А9) для всех 1р Я Р (А). (а) Пусть О~А ~В; докажите, по А(А+в)-г~В(В+в)-г, если в-ьО.

(Ь) Докажите, что А «В~, если Ае В и 0<а<!. (с) Докажите, что (оиА~1ойВ, есаи А~В. ь52. Распространите доказательство спектральной теоремы из задачи 32 гл.УП на неограивчевиый случай, применяя полярное разложение для замкнутых операторов. Удостоверьтесь также. что можно доказать полярное разложение в неограниченном случае, ие пряменяя спектральную теорему.

(Уяизаиие: воспользуйтесь задачей 50.] Литература я задаче 52: кинга Като, стр. 352 — 354, 404 — 408. 419 — 422. Список абаеяачемий (-') Ль (.) есе (ре) рь~ (11е) в'А'~ Пзз Осеаь Озс' П 1ан ПЕ1зс Пем с(Х, 1') тл И П м з вещественные числа (резольвента) 211 85 152 152 231, 236 187 (графяк) 276 338 330 203 129 250 211 211 131 256 261 184 (функпня Эрмкта) 161 214 21 21 21 152 160 160 54, 94 (меры) 39 (гяльбертовы пространства) 65 (функвян) 160 (операторы) 326 (замыканяе) 107 (внутренность) 108 (поляра) 189 (сопряженне) 209 (сопряженное пространство) 87 (сон ряженке) 208 205, 206 (абсолютное значение оператора) 219 (ортогональное дополненне) 55 (теоретяко-множественная разность) 13 (фзкторвзаввя) 95 (упорядоченная пара) 13 (внутреннее произведение) 50 ПРЕДМЕТНЫ й УКАЗАТЕЛЬ Абсолютная веапчяна оператора 219 — непрерывность мер 36, 38 — — функцяй 48, 334 Абсолютно непрерывный спевтр 256 Алгебра 129 — порожденная оператором 249 Алгебравческая размерность И! Алгебраяческнй базис 141 Аяалнтяческав векгорнозначвая функция 212 Аналвтяческве векторы 303 Асколя теорема 44 Атома модель 333 Аффянное отображенне 171 База окрестностей 107 — топологня 107 Банаха — Алаоглу теорема 133 Банаха — Штейнгауза Прннцвй 97 Банахово пространство 83 — сопряженный оператор 208 Бессели неравенство 51 Бяектявная функция И Больцано — Вейерштрасса теорема 115 Борааева мера 33 — функция 28 Борваево множество 27, !23 Борнологвческое пространство, см.

Макки пространство Бохвера явтегрзл 137 Бочечяое пространство 195 Бур бакн — Алаоглу теорема 191 Бугстрапа гнпотеза 180 — уравнения 175 Быстро убываюшяе функция 152 Бэра теорема 96 Берова мера 122, 128 — — комплексная 126 — функция 122 Бэрово множество 122 Вейля критерий 262 — соотношеввя 302 Векторное состояняе 340 Векторнозначная функция 54, 133 Верхвнй предел 24 Верхнкв грань 15 Взаимно непрерывная фунхцвя 108 В конце концов ястивное предложение 112 Внутреннее произведение 50 Внутренняя точка 20 Вполне непрерывный оператор, см, Компактный оператор Вторячное кваятоваяяе 330 Второе сопряженное пространство 90, 187 Выпуклое множество 127, 146 Выпуклый конус 127 Гйльдера яеравенспю 84 Гвльберта — Шмидта оператор 233, 245 — — теорема 226 Гяльбертово пространство 53 — — состояний 67 — сопряженяе оператора 209 Главное значение 135 Гомеоморфязм 108 Граннца множества 108 Граф-предел сальный 321 — слабый 322 График отображеняв 99 — преобразовання 276 Грубая слабая топологвв 132 Данфорда — Петгяса теорема 200 Данфорда фунхцвояальное всчвсленяе 269 Дельта-фуняцня 154 Предметный рвазввмль 351 Декартово проиэведенне 13 Диыи теорема 140 Дврака мера 34 Дарнхле задача 228 Двсперсиоыыые соотыошеыня 177 Дуэльная пара пространств !84 Естественная топологив 144, 203 Закруглеывое множество, см, Уравновешенное мыожество Заммкаыие множества 107 — оператора 276 Замкыутав квздратнчная форма 304 Замкыутое мыожество 20, 107 Замкиугость в нндуцнроваыыой топологии 111 Замкнутый оператор 276 Замыкаеммй оператор 276 Иэмерямая функпыя 29, 37, 134 Измеримое огображеняе 37 Изометрический оператор 220 Изомстрпчиые пространства 19, 87 Изометрня 19, 87 Иэоморфиэм пространств гвльбертовых 53 — — ыормяроваыных 87 Иывариаытная мера 71 Иывариантыое пространство 252 Индуцнрованная топологяк 111 Инфянатезимальыый генератор 294 Иыъективыан функции 14 Истпыыо в конце копцов 112 — часто 112 Какутаии — Крейна теорема 121 Калибровка, см.