Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972), страница 74

На более фундаментальном уровне это связано с евклндовой ийвариавтностью (симметрия относытельно пространственных сдвнгов и вращений) и операторами координаты. Обсуждение етых бжктов содержится во второй нз указанных работ Макки, а также в статье: А. !ь(16Ь(шап, Оп 1Ье 1.осаИгаЫ1Иу о1 анап(иш МесЬап!са! Буз(епм, Яьо.

Мо«(. Рйуь., 34 (1962), 845 — 872. Тот факт, что Н«= — (2т)-(й, связан с галилеевой ннвариантностью, как показано во второй работе Макки и статье Баргмаыа в Алл. Ма(й. (см. выше), атакже в статьях: Е. 1пбпп, Е.%!йпег, Иергезеп!зИопз о1 1Ье ОаИ(М Огопр, Уиооо С(пмлЛо, 9 (1952), 705 — 718; С.

Р!гоп, Впг 1е опап1!Исайоп бп зуз1йше бе бепх раг(!сп1еь, Нсйь Рйуь. Ас(а„38 (1965), 104 — 108. ,Мы только что детальыо обсудилн одни иэ возможных подходов к квантовой аксиоматике. Дополивтельиое обсуждение, а также другие подходм можно найти в следующих работах: О. В!гЬЬоИ, Л. чоп Ыешпапп. ТЬе(.ой!с о1 Япап1пш МесЬап(сз, Алл. Ма(й., 37 (1936), 823 — 843; О. 1)айп, А11ешр1 о1 ап Ах(оп(а1!с РоппбаИоп о! Япап1пш МесЬап1сз апб Маге Оепега! ТЬеогйл, 1Ч, Сотпии«. Ма(й. Рйуь., 9 (1968), 192 — 211; Е.

В. Оач(еь, анап(пгп 51осЬазИс Ргосеьзеэ, Соттил. Ма(й. Рйуь., 16 (1969), 277 — 304; Е. В. (Лач! ез, Л. Т. 1.ечг(з, Ап ОрегаИопа! АрргоасЬ 1о анап(пш РгоЬаЬИИу, Соттип. Ма(й. Радуг., 17 (1970). 239 — 260; С. М. Ебмагбз, ТЬе Орега1юпа! АрргоасЬ 1о А16ейга!с Япап1шп ТЬеогу, 1, Соттил. Ма(й. Рйуз., !6 (1970).

207 — 230; Л. Оппзоп, Оп !Ье А!кеЬга!с 51гпс(ше о1 Яиап1шп МесЬап1сз, Соттил. Магй. Рйуь., 6 (1967), 262 — 285; К. Е. НеИч(!й, К. Кгапз, ОрегаИопз апб Меазпгешеп(з, 1, П, Соттил: Магй. Рйуь., 11 (1969), 214 — 220; 16(!970), 142 — 147; Л. ЛапсЬ, РоппбвИопз о1 Япап1шп МесЬап!сз. Абб!зоп-)чев!еу, Иеагйпй, Маззасйизе1(з, !968; Р. Логбап, Л. чоп Хепшапп, Е. Ф!йпег, Оп 1Ье А16еЬга(с СнпегаИгаИоп о1 1Ье Япап1пш МесЬап1са1 РогтаИзш, Алл.

Ма(й., 36 (1934), 29 — И; О. (.пб»ч!6, А11ешр1 а1 ап Ах1ошаИс РоппбаИоп о1 Яиап(пш Месйап(сз апб тоге Оепега! ТЬеог(еь, 1 — !!1, 2. Рйуз., 181 (1964), 223 — 260; Соттил. Ма(й. Рйуь., 4(1967), ЗЗ! — 348; 9 (1968), 1 — !2; В. М!е!п(Ь, Овоще(гу о1 анап(пш 51а1ез, Соттил. Ма(й Рйуь., 9 (!968), 55 — Й И. Л. Р!ушеп, АМоб!ИсаИопо1Р1гоп'з Ах!ошз, Нейь Рйуз. Ас(а, 41 (1968), 69 — 74; И. Л. Р1ушеп, С«-А16еЬгаз апб Мас(«еу'з Ах!ошз. Соттил.

Ма(й. Рйуз., 8 (1968), !32 — 146; Л. Роо!, Вьет «-Яеш!йтопрз апб 1Ье (.ой!с о1 Япап1пш МесЬап!сь, Соттип. Ма(й. Рйуь., 9(1968), П8 — (41; Л. Роо!, Зеш(шобп!аг!(у апб 1Ье 1ой!с о1 (Лпап1пш МесЬап1сз, Сопилил. Ма(й. Рйуз., 9 (1968), 212 — 228; Е. РгибочеЫс!. Япап1ит МесЬап(сз !п НИЬег1 Зрасез, Асада(п!с Ргеьз, Нем Чогй, 1971; 1. Яеба!, Роз1п1а1ез 1ог Оепега! ()ыап(пш МесЬап!сз, Алл. Ма(й., 49 (1947), 930 — 940; Ч. Чагабага(ап, Овоще(гу о1 Япап1шп ТЬеогу, Чап Ыоз(гапб — йе!пйо!б, Рг!псе1оп, Ы. Л., 1963; Н.

1Чеу1, ТЬе ТЬеогу о! Огопрз апб анап(ош МесЬап(сз, (!очес, Меч(Уогй. 193И Х. 2!ег1ег, Ах(ошз 1ог Хоп-ге!а1ИИзИс Япап1шп МесЬап!сз. Рат)(с Л. Ма(й., 11 (!961), 1151 — 1169. Несмотря на огромное количество литературы по поводу этих «изначальных» основ квантовой теории, окончательная форма квантовой аксноматикы отсутствует. Вероятно, наиболее важным результатом попыток аксноматвэировать квантовую теорыю следует считать наметившийся выход из аксиоматиче- (в1П.

Неограниченные Операторы ского круговорота: теория неограниченныхсамосопряжеяных операторов, йордаяовы алгебры н подход к квантовой теории при помощи С -алгебр (рассматриваемый в гл. Х1Х в ХХ) — выросли из ятях попыток. ЗАДАЧИ 1. Пусть (вр„) — ортовормированный базис гильбертова пространства Я~, и пусть е — вектор кз Я~, не являющийся конечной линейной комбинацией векторов вр„. Пусть 1> — множество конечных линейных комбянаций элементов (вр„) и е; задавим иа В оператор И т Ь „+ ."Я С1РВ =Ь „.

вй1 Покажите, по в (7) содержит как <е„, е„>, так и <е, О>, н, следовательно, ве является графиком линейного оператора. 2. Пусть 5 — ннъективвый оператор нз В (Л) в Яб. Рассмотрим следующие дополнительные утаерждеяяя об Зв 1) Я вЂ” замкнутый оператор; 2) множество Кап 3 плотно; 3) множество Кап 3 замкнуто; 4) для некоторой константы С н всех ф~В(З): ((Зф((ЗвС!( вр И. (а) окажите. что нз (1) — (3) следует (4).

Указание: примените теорему о замкнутом графике к З-в. 1 Ь) Докажите, по вз (2) — (4) следует (1). с) Докажите, что нз (1) и (4) следует (3). алечание. Пусть Т вЂ” замкнутый оператор. Применяя (а) к )в — Т, вадим, что )виар (Т) тогда и только тогда, когда )в — Т вЂ” биекция; (Ь) также можно »перевести» подобным образом.

у8. Докажите, что операторы в примере 5'4 Ч111.1 замкнуты. 4. (а) Предположим, что С вЂ” симметрический оператор, С~А и что Иап(А+в) Кап(С+в). Докажите, что С=А. (Ь) Предположим, что А — симметрический оператор, такой, что Кап (А+в)=,9б, яо Иап(А — 1) ~,'уб. Докажите, что А не имеет самосопряженных расширений. б. Пустьуб 1».

ПустьВ (А)=(О~Я')сувцествуеттакое1Ч, что Х а„=О »в О и а„=О яри и ) Ф). Для аЕВ(А) определим Аа~Я~, полагая /л-! я (Аа)„в( л»' а, + ~~О, 'а,я »в О»в О. (а) Докажите, что 1>(А) плотно в Яб. (Ь) Докажите, гго А симметричея. Указание.'если ~Ч~, 'а,я — — О, то »в=а /я-! ав (Аа)я=(~ А!', а — ~~З', а »в О»в»+1 с) Докажяте, что мяожество Иап (А+в) платно в (з, 6) Докажите, что (1, О, О, ...)ЕВ(А') и (А*+1) (1, О, О, ...) =О. Задачи (е) Докажите, что А ие имеет самосопряжеииых расширений.

(Указание: примените задачу 4(Ь) к А.) (б. Докажите, что оператор Т в примере 6 ЧП1.2 замкнут. )7. Докажите, что операторы Т в примере 5 Ч!!!.2 самосопрюкеииы. (Уяамзниа зто следует из уже доказанного факта, что если ф~Р(Те), то ф~к АС (О, !) и Твф 1 Иф/бх.! В. Рассмотрите Т= — оз/Ихз как оператор в (з(Р) с областью определения Се (м). Какой оператор сопряжен к Т? Является лн Т в существенном самосопрюкенным? й. Рассмотрите Т=1 д/Их как оператор в ЕР (О, о~) с областью определения Се (О, оз) — множеством бесконечно диффеРенциРУемых фУикций с компактным носителем, не содержащим нуля. Самосопрвкен лйТ в существенном? 10. Предположим, по А — плотно определенный симметрический оператор, который к тому же положителен, т. е, Ор, Аф) леО, если фЕР(А).

(а) Докажите, что (! (А+/) ф((з~ (! <р((з+(! А~р((з. (Ь) Покажите, что Кап(А+1) замкнут, если А — замкиугмй оператор. (с) Покажите, что А в существенном самосопряжеи тогда итолькотогда, когда уравнение Аеф= — ф не имеет ненулевых решений. у/1. Докажите часть (с) теоремы Ч111.7. )ту. Докажите теорему Ч1П.11 непосредственно, т. е. не прибегая к теореме Ч111.10. И. Найдите два плотных линейных подпРостРаиства Рт и Рз в ).з (Е), Р ПР =(О), такие, что к в существенном самосопряжек иа Р, а хз в существенном самосопряжеи иа Рз. (14. Пусть А — симметрический оператор с обласп ю определения Рс:Уб. Пусть РзгР— плотное линейное подмножество в Уб„и предположим, что А!Рз в существенном самосопряжен.

Докажите, чтоА всуществеииом самосопряжеи и А=А!Ры (Уб. (а) Докажете, что оператор А замкнут тогда и только тогда, когда его область определения Р(А) полна по норме ((ф((л=((АР(!+(! ф(1. (Ь) Докажите, что полуограниченная квадратичная форма замкнута в том и только том случае, когда для любой последовательности (фе), та- Ж кой, что у„Е() (ч), <р„<р и чрр„— ~ф, <р„— ччз) О, имеем ф ~ Ц (в) и я Оре — <р, <р — м) — О. ууб, (а) Покажите, что квадратичная форма 4, порождаемая полуограниченным самосопрюкенным оператором А (пример 2 6 Ч111.6), замкиуга. (Ь) Покажите, что любая существенная область для А является существенной областью для е.

у17. Докажете угвержхвиия (а) — (д) примера 3 $ Ч(П.6. (1В. Восполните детали доказательства теоремы ЧШ.16. 12, Пусть А„=(1 — 1/л)к в /з (й) и А=к. Покажите, что можно выбрать области самосопряженностн в существенном для А„и А, не имеющие ненулевых векторов в общей части, почто А„— А в равномерном резольвентиом смысле. УШ. Неоэраничеяние оператора 20. (а) Пусть (Аэ» н А — самосопряжеяиые операторы, н предпоэюжнм, что для всех ф, ф~Я~ и всех х. 1щ Х ю О, выполняется соогнощеине (Яь(А„)~р, ф) — ~(Рь(А)ф, ф).

Докажите, чтоА„— А всильномреэольвентвом смысле. (Указание: вкпольэуйтесь тождеством Гнльберта.) (Ь) Пусть (А„» н А —.самосопряженвые операторы. Примеинте часть (а) для доказательства того. что если Рь(А ) снльно сходится к Рь (А) в нижней полуплоскостн, то Рь(А„) также сходится сильно к !сь (А) а верхней полуплоскостн. (2!. Обобщвте доказательства теорем У!П.20 н У1!1.21, чтобы показать, что если Ая-ч А в снльвом Реэольвентном смысле, то емл" ф — эпл ф Рааланеряо по С в любом конечном интервале.

(22. Восполинте деталн доказательств пунктов (Ь) н (с) теоремы У1Н.2б. 28. (а) Пусть (А» — последовательность самосопряженных операторов, н предположвм, что для каждого ф~~ н каждого Г~Р последовательность ЙА е "ф сходнтся в Я~. Докажнте, по существует самосопряженный оператор А, такой, что А„— А в снльиом реэольэентном смысле. [Уяажпэгнс првменяте теорему фон Неймана нз $ У11!.4.) (Ь) Приведите пример, показывающий, что заключение пуната (а) может ИА не иметь места. если е " сходятся слабо, а ве сильве. (24. Докажвте теорему У!11.27Ь. у28. Докажите теорему УШ.26.