Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972), страница 71

Каждому вектору единичной длины из ЯГ отвечает некоторое физическое состояние. Два таких вектора соответствуют одному и тому же состоянию тогда и только тогда, когда они отличаются лишь комплексным множителем, равным по модулю единице. Каждой наблюдаемой сопоставляется самосопряженный оператор А в Я~. Если система находится в состоянии <р и мы измеряем наблюдаемую, соответствующую А, то распределение вероятности результатов измерения описывается величиной Ы(р, Рло), где Ра — проекторнозначная мера, ассоциированная с А. Иными 11и УПУ.

Нееерамыченные енеЕютоеи словами, вероятность того, что результат измерения лежит в интервале [а, Ь|, а, ЬЕР, равна (у, Р1,,»ур). Динамика этой системы задается непрерывной однопараметрической группой унитарных операторов У (1). Если система находится в состоянии <р в момент 1 =О, то при 1 =1« она будет в состоянии У(~,) <р. Для большинства систем существует особенно удобная реализация М в виде пространства 1.'(М, й)е) и простое соответствие между классическими наблюдаемыми и их квантовомеханическими аналогами — самосопряженными операторами в 1.«(М, п)е) (см.

пример ниже). Особый интерес представляет самосопряженный генератор Н группы У(1). Он называется гамильтонианом и соответствует классической наблюдаемой «энергия». Векторы фЕР(Н) удовлетворяют уравнению „— [У (1) <р1 = (Н [У (8) у1, которое называется уравнением Шредингера. Представляет интерес точечный спектр Н, поскольку соответствующие собственные функции суть стационарные состояния системы.

Типичный отклик системы на внешнее возбуждение — переход из одного стационарного состояния в другое с испусканием света, частота которого пропорциональна разности между соответствующими точками спектра. Имеются три общих математических проблемы, возникающих в любой квантовомеханической модели. (1) Самосопряягенность. В большинстве случаев физические соображения диктуют формальное выражение для гамильтониана и других наблюдаемых как операторов на некоторой реализации Я' в виде 1.'(М, д)«). Мы говорим «формальное», потому что области определения не устанавливаются.

Обычно нетрудно найти область, ла которой данное формальное выражение есть корректно определенный симметрический оператор. Первая математическая проблема — доказать самосопряженность в существенном, или, если оператор не обладает этим свойством, исследовать различные самосопряженные расширения и выбрать «правильную» наблюдаемую. (2) Слеюпральный анализ.

Вторая проблема — исследовать спектры наблюдаемых (в частности, гамильтониана) и оценить местоположение и кратности точечных спектров. (3) Теория рассеяния. Третья проблема — описать каким-нибудь способом поведение системы при больших 1.

Разработке и применению техники решения этих проблем посвящена большая часть томов 11 и 111. Самосопряженность изу- 11. Три маеаееииииеаиие арабе»ми маюпоеод механики ззз Пример (л-электронный атом). Опишем кратко приближенную модель п-электронного атома. Классическая энергия п электронов равна (~) ~ь„~-(а' —,, тя+... т-;=-г »~ы где р», р"„, р» суть х, у, г-компоненты импульса й-го электрона, г»=(х», у», г») — его координаты, т и е — масса и заряд. Член — пе'/~г»( — потенциальная энергия й-го электрона, обусловленйая притяжением протонов ядра; член е'/~㻠— г,~ — вклад в потенциальную энергию, обусловленный отталкиванием между й-м и 1-м электронами. В качестве гильбертова пространства возьмем ЯК=1,»(К» ) и установим следующее соответствие между классическими наблюдаемыми и операторами в Я' (мы выбираем систему единиц, в которой Т» равна единице): 1 д» .1 д Ре» р 1 дх» ' " 1 ду» ' 1 д 1 де» х», у», г» соответствуют умножению на х„у», г», Ь=Н- — Š— „„Д»+У(Г1, ", г»), 1 »=! где де де д' Д, + + дх»» ду»» ' де»~ а У обозначает оператор, действующий как умножение на функцию —;Š— + Е, 1г»!» ~ 1 1г» г~! 1, ы Все эти операторы в существенном самосопряженны на г(К»о), хотя доказательство для Н вовсе не очевидно (см.

З Х.2). Динамика определяется унитарной группой У(8) =е 1™. чается в гл. Х, спектральный анализ в гл. Х1 и Х1Ц, а теория рассеяния в гл. Х11. Мы не утверждаем, что все интересные математические задачи, возникающие в квантовой механике, относятся к одному из трех перечисленных типов, отнюдь нет, Но это три центральные проблемы в строгом математическом описании квантовой механики. 7!с 1. !(еоерапиченпме операпюры Если фб.Ж, !1ф[1 1 — состояние системы при 8=0, то ь )ф(х„..., гп)[»с[Хе ...

с[и, х» е из«-с — вероятность того, что при 8=0 х-координата й-й частицы лежит в интервале (а, Ь), а ь [(и(1,) р)(х„..., .)[ [, ... б„ «» е Изп-с — та же вероятность, но при 8=8з. Очевидно, что спектральный анализ Н и поведение е ссгг при больших 1 — сложные математические проблемы. Отметим, что эта модель — довольно грубое приближение и-электронного атома в силу ряда причин. Мы не учли спин электронов и принцип запрета Паули. Мы не учли также движение ядра, считая его неподвижным.

И наконец, эта модель нерелятивистская. ЗАМЕс4АННЯ б !г!с !.А Развитие теории неограниченных операторов стимулировалоса попытками строгого математического обоснованна ивавтовой механики, которые предпринимались в конце 20-х годов. Систематическое наложение теории принадзежнт фон Неймаиу (топ Ыепгпапп, Апйегпе(пе Е1йепмег11Ьеог(е Негшс1езсйег Рппй(!опи1орега1огеп, МагЛ. Аппп 192-(1929 — 1930), 49 — 131) и Стоуну. ,Ы, .Т М. 31опе, (.1пеаг Тгапз1огща11опз 1п НЙЬст1 Зрасез апб 1ЬезгАррпсапопз 1о па1уз1з, Аспас. Ма1Ь. 3ос. Соцой. Рпйп 16, Кем гог$с, 1932).

Техника применения графиков для аназвза неограниченных операторов была развита фон Нейманом (топ Ыеппсапп, 0Ьег АсЦппй(ег1е Рппй(!опа!арета(огеп, Апп. Ма(Л. (2), 33 (!93б), 294 — 319). Функция иа [а, 3[ с- Н называется абсолютно пепрерзмноб, если для любого заданного з > О существует такое б > О, что ~' [ Г (хс) — Г (хс) [ < в 1=1 для любого конечного набора интервалов [хс, «Д.

удовлетворяющих условию ~ [ хс — хс [ С б. 1 Длн таких фуюсций справедлива еепзепая пморема апаеазас Если [ абсолютно непрерывна на [а, Ь[, то г почти всюду диффереиплруема, [' (х) Е ( с [а, Ь[ н 1 — неопределенный интеграл от Г' (х). Обратно, если 3(х) ~- Ьс[а, Ь[, то неопределенный интеграл сс(х) от 3(х) абсолютно непрерывейи сз'(х)=3(х) почти всюду. Замечания б У(71.2. Принадлежащая фон Нейману теорема Ч!Н.З (см. первую иэ цитырованных выше статей) представляет собой частный случай теоремы Х.2 и ее следствия. В своей статье фоы Нейман приписывает выделеные понятия самосопряжеяиостн Э.

Шмидту. Отметим, что фон Нейман иазыва«т свмметрическне операторы «эрмнтовымн», а самосопряжениые операторы — «гипермаысымальнымв эрмвтовыми». б Уййй.8. Тот факт, что гильберйово спектральное раэложеыне не проходит для произвольных симметрических операторов, был объяснен в книге Карлемаиа (Саг!ешап, Бнг 1ез 49пайопз йп143га1ез з!пйи!йегез Н поуаи гйе) е1 зушейг!0ые, А!шй(п!»1 апб 1У!!езе!!з, ()ррза!а, !923). Спектральное разложение неограниченных операторов впервые рассматривал фоы Нейман, исследуя математические проблемы квавтовой теории. Сысгематические же доказательства появились впервые в указаняых вьйше статьях фон Неймана и Стоуна, а также в работе Ф.

Рисса: Р. В!езз, ()Ьег Ме !!пеагеп Тгапз1огша11оп без Ыошр!ехеп Н!!Ьегйз«Ьеп йаышез, Асйа Бой. Магд. (Бзейед), 5 (1930 — !932), 23 — 54. Многие идеи спектрального аналяза, правда в матричной форме, былй высыаааны уже в работах Уннтнера, Теорию иатегрировавия можно развать и для векторноэначиых. мер. Далее эту теорию можно применить к проекторнозначной мере, соответстеуэицей произвольному самосопряженному оператору А. В частности, можыо докааать, что для любого ф ю Р (А) Ар=$) б(р,ф), где интеграл сходится сильно, т. е. суммы Римана — Ствльтьеса сходятся к Аф по норме. Это сильнее поыятия сходимостн, использованного в й Ч111.3, где интеграл сходился слабо. б Уййй.4. Теорема Стоуна была сформулирована ям в статье: 1.!пеаг Тгап«1ог- пйаВопз 1п НВЬеН Брасе.

111, Ргас. !Чай. Асайй. Зсй. (7.З.А., 15 (!929), 196 — 200, а доказана в статье: Оп Опе-Рэгвше1ег ()я!!агу Отопрз йп Й!1Ьег1 Брасе, Алл. Магд. (2), 33 (1932), 643-643. Теорема Ч111.9 была опублико- вана в работе фон Неймана: ОЬег ейпеп Ба1з чоп Непп М. Н. Бйопе, Алл. Майд. (2), 33 .(1932), 567 — 573. Првведенное здесь доказательство теоремы Стоуна принадлежит Гордингу и Вайтману (не опубликоваыо). Идея исполь-- эовать инвариантиость относительно группы для доказательства самосопря- жениостн в существенном принадлежит Йельсонуй Е.

!»(е!зоп. Апа!уйс Чесйогз, Алл. МайН., 70 (!959), 572 — 614. Пусть б — локальйо компактная группа Ли, а (й (йй) — непрерывное уни- тарное представление О ыа Я~, ййл — мера Хаара на б. Тогда множество Р коыечных линейных комбинаций векторов вида фу ~ 7(й) йй(3)фФ.