Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. 1. Функциональный анализ (1972), страница 73

Итак, Гота=! ображает группу унитарных преобразований Яб в группу автоморфизмов (г (Я5), причем это отображение сильно непрерывно. Тогда бГ определяется требованием «Гг~(~1= Г («г~л), т. е. 6Г (А) для любого самосопряжевного А в Яб" есть инфянитеэямальный генератор сильно непрерывной унитарной группы Г(еггд). На язмке теории Липà — дифференциал Г, рассматриваемого как отображение «алгебры Ли» группы унитарных операторов на Яб в алгебру Ли группы унитарных операторов на 5 (Я). Доказательство того, что так определенный оператор ЙГ совладает с замыканием бГ, определенного в 4 ЧП!.1О,— несложное упражнение. В обмчных «физических» обозначениях если Я'=Е» (К», «(х) н А определен.так, что (Аг)(х)=ю(к) г'(к), то ИГ(А) есть именно то, что запнсмвается как $ ю(к) а«(к) а(к) бх.

Доказательство теоремы Ч(П.33 показывает, как спектральная теорема позволяет использовать йя.технику при решении задач в абстрактных гильбертовых пространствах. С помощью спектральной теоремы часто удается сформулировать данную задачу в терминах 1.«(М, др) для некоторого подходящего пространства с мерой <М, )»>, А после того, как зто сделано, часто можно воспользоввзьея-стзидартиыив теоремами и оценками (.Г-теории.

б УШ.11. Попытки априорного обоснования рассматриваемой нами квантоаомехавической картины восходят к знаменитой монографии фон Неймаяа 1932 г. (Математяческие основы квантовой механнки; «Наука», М., 1964). ПодходДж. Макки (Лекции по математическим основам квантовой механики, «Мир», М.„ 1965, и О. Масйеу,' 1пбпсеб Кергезеп!а!1опз о1 Огоирз апб Опав!шп Месйап!сз, Веп!глгп)п, Нем Чогк, 1968) подчеркивает аналогию с классической статистической механикой нвьщеляат специальные постулаты любого аксиоматического подхода к квакювой механике. Макки предлагает следующую картину классвческой статистической механики. Основные состояния классической механической системы суть точки в «фазовом пространстве» 34.

Статистические состояния — не что иное, как меры иа 54 с ею«ивяной полной массой, а наблюдаемые — измеримыефуикцвв на М. Для задавйего состояния )» и наблюдаемой ! мера чв, ! на Й, определенная как тщ !(Я)=(»(г'-г(Й)), представляет собой вероятность того, что измерение ! дает зиачевве, лежащее в О. Первое эамечавве Маккв состоит в том, что точки М яа самом деле ие участвуют в излагаемой схеме.

Скорее в качестве основного обьекта в теорию входят семейство В борелевых множеств. Состояния )» в действительности язлвотся функциямв ва В, а для построения чщ ! необходима лишь функция г-г, отображающая борелевы множества иэ Е в Я. Для того чтобы тв,! была вероятностной мерой (т. е. чтобы ее полная масса равнялась 1) на К, нужно, чтобы абстрактная структура на В удовлетворяла следующим условиям: Вам ечалия (!) на 3 задано частичное упорядочение щ (А~В.

если А — подмножество В) с наибольшим элементом 1 (у нас М=1) н наименьшим элементом О (у нас а=О)! (И) в 3 задана операция дополиеиня ' (А'=М'~А) с такиии свойствамя! (А')'=А; А чСВ тогда и только тогда, когда В'~А'! 1' О; (ГИ) В есть а-решетка, т. е. для заданных Ас, ..., А„, ...

~3 существует такое А=УАю и 1 что А~А„прв всех л и А иОВ, если В~А„нри. всех л; (Ьт) структура а-решетки н операция дополнения свяэаиыусловнем АЧА» 1. Абстрактное множество 3 со свойствами (!) — (сч) называется решеткой с ортодополнеиием. Коль скоро такой обьект задан, элементы А, ВС-3 называются дизъюлитлыми, если Ав.,В'. Мера ла  — это такое отображение (и 3 — ч-В+ =1аЕЙ(а~О),.что р(1)=1 и если Ас и Ау дизьюнктиы прв всех ! и В В.злачлая мера — зто такоеотображение Р: 48 — 2, где»8 — семейство борелевых множеств из В,что Р (й)=1 ° Р(() А!)=ч Ас н Р Р' А)=Р (А').

так, предложенное Макки описание классической статвстической механики приводит к абстрактному поиягиюстаяиитшчзской системы как решеткы с ортодополнением. Наблюдаемые оказываются тогда $-значными мерамн, а состояния — мерами на 2. Для заданного состояния !с ы наблюдаемой 8 боре- лева мера чв, в(а) р(8(а)) иа В ыитерпретируется как вероятность того, что измерение наблюдаемой 8 в состоянии р даст величину,.

лежмцую в (). В первой из указаыных работ Маккы имеется описаыие набора разумных аксиом для поывтия »измерения» в статистической системе, которое приводит к решеткам с ортодополиением. Чтобы получить квантовую механику, к основной схеме необходимо добавить следующий свес)иальиый лострлави 3 является семейспюм $щ за»шиутых поднростраысгв сепарабельиого гильбертова простраыства уб с операциямн! А ~ В тогда и только тогда, когда А ~ В; Ю м А" =Ад и ч А„ = ~~ А„! 1 =Я'! О =(О).

Таким образом, возиикаетэадача и=! обосновать этот постулат. Важный шаг в этом направлении совершил Пирон (С. Р!гоп, Ах!оша!!с)пе с,!пап!!с!ие, Не!и. Рдрэ. Асса, 37 (1964), 489 — 468). См. также обсуждение этой проблемы в упоминаемой ннисе моиографыи Яуза. После того как такой специальный постулат принят, состояния и наблюдаемые можно построить в более явной форме. Глисон (А. ()!еаэоп, Меазигез о !Ье С1озеб 8иЬэрасез о( а НИЬег! Зрзсе, у.

МагА.Меод.,б(1987),885 — 894) д казал, что каждая мера ыа (сев может быть получена следующим образом. аждому надпространству А~3 естественно соотвегствует ортогоыальиый роектор Р, такой, что Гсап Р=А. Глнсоы доказал, что каждая мера р ыа представима в ваде р (А) = 1г(рР), где р — некоторый положительный оператор со следом !г р=1. В силу теорем Ч1.Г7 в Ч1.21, существует орто- УП1.

Неограниченные онераторы нормированный базис [Ф„)„д и такяеад, ...,а„, ...~0, Ч)' а„=1, что «=! р = ~~а~ а„(Ф„; )Ф„. Итак, произвольные состояния суть не что иное, как «! суммы гентор«ах состояний, т. е. состояний вида Р(Р)=(Ф»«РФ„)(на языке 4 ХУ1.1 эти векторные состояния суть экстремальные точки семейства всех состояний). В результате все состояния ыожно изучать, рассматривая лишь векторные состояния. $ж-значные меры — зто в точиостя проевторнозиачные меры! Итак, в соответствие со спектральной теоремой (теоремой У! П.б), всякой наблюдаемой естественным образом сопоставляется самосопряженный оператор А.

Вероятность получить значение из й при измерении А в векторном состоянии ф как раз и есть (ф, Рпф), где Рп — проекторнозначная мера оператора А. Отсюда видно, как основные компоненты схемы 4 ЧП1.!1 появляются на основе специального постулата. Динамическая картина выявляется в резулЬ- тате следующего анализа. (1) Для каждого момента времени ! иа множестве всех состояний должно быть задано отображение а(, переводящее состояние э момент з в состояние в момент з+(.

Поскольку ада (=а»=1, каждое а! должно быгь бнекцней. Более того, а(р,+рз) должно равняться а(рд)+а(рз).. (2) Поскольву любое состояние есть сумма векторных состояний, необходимо знать поведение с» лишь на векдориых состояниях. Последние однозначно определяются свойством экстремальности, поэтому, в силу обратимости, а должно переводить векторные состояния в векторные же состоянии.

Итак, ив отображение единичных лучей (т. е. семейств вевторов вида [э(эф[ 8~[0, 2а))) в себя. Оио не вполне произвольно, поскольку существуют векторные соси)яник РФ,' ' ' ' РФ,' такие' что /зРФ» + /»РФ» /»РФ»+ /зРФ»» и необходимо, чтобы /»Ра(Ф,)+ /»Ра(Ф,) /зРа(Ф,)+ /»Ра(Ф) Например, если Фд и Фз ортогональны и Ф«=2 д)з(Ф)+Фз)» Фе 2-д)з (Фд Фз) до на основе предыдущего можно заключить, что а(Ф») ортогонально а(Ф»).

В общем случае показывается, что отображение на лучах порождает автоморфнзм всех состояний тогда нтолькотогда, когда[(а(Ф,), а(Ф»)) [=[(Фд Фз) [ дзя всех едвничных лучей Фд, Фз. (3) Исследование Е. Вигнера, изложенное в его книге »Теория групп н ее приложения к ввантовомеханической теории атомных спектров», ИЛ, М., 1961 [см. также У. Вагйшапп, )»)о(е оп ТУ(йпег'з ТЬеогеш оп;Зупппе(гу Орега1юпз, 1. Моей. Рдуз., 6 (1964), 862 — 868) использует построения пункта (2) для .доказательства того, что каждый автоморфнзм лучей имеет виде» (Ф) = УФ, где У уннтарен нли антнуннтарен.

С точностью до изменения общегофазового множителя У вЂ” е»эУ, а однозначно определяет У. (4) В силу равенства сс~=(а!«)з, оператор У! из п. (3) должен быть унитарным. Естественно предполагать, что !) ад(р) непрерывно. Тогда, согласно одной теореме Варгмана и Вигнерэ [У. Вагйшапп, Оп !Ье ()п[!агу Еау Ее- бгшеп1аИопз о1 Соп!)ппопз Огопрз, Анн. Маей., 69 (1964), 1 — 46; Е. )У(йпег, пйагу йергезеп!а!1опз о1 (Ье 1пЬошойепеопз !.огеп(з Огопр, Анн. Мо(Д., 40 (!939), 149 — 204[, фазы, оставшиеся в п. (3) произвольными, можно выбрать так, чтобы У! был сильно непрерывным по !. (5) Поскольку а(еде=а(ег, можно заключить, что У(У =Ь(!, з) У(+г, причем [)д(!, з) [=1.

(Несмотря на ограничения п. (4), некий произвол в вы- Зала«алия боре фазовых множителей еще остается.) Из дальнейшего анализа, проведенного Варгманом н Вигнером (см. цитированные выше работы), следует, что Х((,з) !«((+з) (ь(()-~(ь(з)-г, где)ь — некоторая измеримая функция, ! р(() (=1. Полагая у(!)=!«(() у(, получаем сильыо непрерывную одвопарамегрическую группу унитарных операторов, которую теперь можно исследовать с помощью теоремы Стоуна так, как было указано прн обсуждении втой теоремы. Существуег еще один элемеитданной картины, который можно обосновать в рамках более фундаментальных предположеный.

Мы ымеем в виду конкретную реализацию Я~ в виде Ьь(И«) с р=(-«д/д» ы т. д. и свободным гамильтонианом Н« — (2т)-(й. Такая реализация ук связана, конечно, с теоремой фои Неймана о единственности решений каиоиическях коммутационных соотношений в коиечиомериом случае (см. 3 ЧН1.5).