Босс В. - Лекции по математике Том 3. Линейная алгебра, страница 15

Разложения подобного рода возможны и для прямоугольных матриц (! 81 4.6. Биортогональные базисы У матрицы А общего вида, имеющей попарно различные собственные значения (ЛО..., ЛпД, существует базис из собственных векторов (еы..., ея), но он не обязан быть ортогональным, что с инструментальной точки зрения — серьезная потеря. «Дух ортогональности», тем не менее, сохраняется в общем случае, хотя и в замаскированном виде.

Транспонированная матрица А* имеет те же собственные значения, но другие собственные векторы отвечающие сопряженным собственным значениям Л;. 4.6.1. Теорема. Базисы (е,) и (Ц биортогональны: (е;,$) =О лри (Фу. ~4~ '4 Отсюда сразу следует И«4А~ = о~ о„. 4.6. Биоргогональные базисы 93 С одной стороны, (Аеь Г,) = (Л;ен Г,) = Л;(е„т,). С другой— (Ае„Г,) = (е„А'Г;) = (е„Лзтз) = Л,(е„т,), что при Л, ~ Л, возможно лигдь в случае (еь Г,) = О. Батаем (ег) и (Гг) малева так нормировать, чта (енГВ=!, т=1,...,п. Действительно, разложение е; по базису (Гп..., Г„): е, =Вг +... +(»г», после умножения на е, дает (е„ей = В (г„е ) +... + с„(г„, ей = 6(г„е ). Гели базис (е,] ортонормирован, то векторы (Г,) достаточно заменить на (г,/6).

Результаты типа теоремы 4.6.1 выглядят несколько схоластично, когда излагаются в отрыве от мотивировок. На вопрос «зачем это нужно?» — здесь ответить легко, но приходится отвлекаться. Вот одна из возможных сфер приложения. В численных методах (глава 10) при изучении спектральных свойств матриц требуется, например, переходить от оператора А к его сужениям на собственные подпространства.

Скажем, А имеет базис из собственных векторов тег,...,еа). Возникает нужда в конкретных рецептах. Как, скажем, записать матрицу, действуюгцую в собственном подпространстве (ез,..., е„)? Если Ае, = Л,е;, А'Г; = Л,'Г; и то матрица св '1з' " ~ ) Аг=А — Лет,'=А — Л, см Глава 4. Квадратичные формы 94 имеез. те же собственные значения, что и А, за исключением Л„которое эаменяетая нулем: А,ег — — Аег — Лг(егу,')ег = Л;е; — Л,е,(Г) ег) = О, поскольку йг е, = !.

15) Что касается остальных собственных значениИ н векторов, то при» ~ у: Аге) = Ае, — Л,(егт,')е) = Л е. — Лгег(уг*е ) = Л.е, так как Г'ез — — 0 Билинейное разложение. Приведенный факт представляет собой частный случай более общего трюка. 4.6.2. Теорема. С помощью биортогональных базисов (еб) и (Ц— при условии нормировгси (егь 1.) = б, 'б) — матрица А с попарно различными собственными значениями (Л),..., Л„) молсет быть представлена как А = Л)еД'+... + Ляея(я*. (4.11) Матрица Н„= е»Г»' имеет элементы Ь~ = ег»Д», а матрица ~~ ͻ— элементы » ~Ь,. = ~ег»б) = (агу') = бг.. Поэтому ~ Н» — — б, т. е. » б = е111 +... + е„г„. Умнохгая последнее матричное равенство слева на А и пользуясь ассоциативно- стью матричного умножения, получаем (4. ! !).

4.7. Сопряженное пространство Наличие в евклидовом пространстве Е = ВЯ скалярного произведения мешает оценить целесообразность понятия сопрязкенного пространства Е*. Последнее естественно воспринимается там, где без него не обойтись. В линейной же алгебре многозначительные разговоры о Е' кончаются почти безрезультатно, порождая разочарование. Поэтому лучше заранее отказаться от особых ожиданий, воспринимая сопряженное пространство как инструмент, необходимый !Я ИЗМЕНЕНИЕ ПОрядКа СОМНОжнГЕЛЕИ ПрЕВращаст Матрину Егтг В СК»яяр й Е,. 16) ), сслн»=У, Гас б,г — — 5 ' ..' — символ Кронскера. ( О, ЕСЛН 5 ~ У 4.7. Сопряженное пространство 95 в смежных областях (функциональный анализ, тензорное исчисление).

Что касается матриц, то здесь его можно рассматривать как дополнительный способ мышления, подготавливающий заодно к изучению других территорий. В то же время нельзя сказать, что в линейной алгебре Е' совсем не имеет реальной почвы. Даже наоборот. Другое дело, что в процессе исследования появляются возможности обойтись без Е'. Но соответствующие «следы» остаются. В частности, матрицы, задающие линейное преобразование и квадратичную форму, при замене координат преобразуются по разным законам.

Это как раз из-за Е*. Вообще использование в линейной алгебре разных пространств изначально выглядит более разумно, чем «приведение к одному знаменателю» Вп. Пусть у = Ах. Почему х и у надо считать векторами одного пространства? Обычно они даже измеряются и разных единицах (х, скажем, в трудоднях, а у в копейках), и надо сильно постараться, чтобы сгладить это различие 'т). А уж если речь идет о билинейной форме (Ах, у), то это функция двух переменных, и от рассмотрения двух пространств, одного — для х, другого — для у, уже не уклониться.

На диагонали х = у„правда, можно обойтись одним пространством, но происхождение (Аж, х) от (Ах, у) дает о себе знать. Короче говоря, солрлдселлое яро«юродство Е* опрелеляется как пространство линейных функционале«и) /(х), заданных на Е (в частности, Е = Дв). В базисе (еп..., е„) У(х) = У(('ег + ...

+ ("е„) = И' + ... + У.~", где коэффициенты тг = у(ег). Сумма функционалов и умножение на число определяются естественным образом, откуда становится ясно, что Е* — линейное пространство, причем п-мерное, если и-мерно Е, поскольку любой функционал у определяется и числами (координатами) уг = 1(ег). Дальше иногда мешают двигаться возгласы. Дескать, 7'(ж) это скалярное произведение, и огород можно больше не городить. г 7) Это делается фиксацией системы единиц, ио тогда замена координат порождает новую головную баль. гв( г Функционалом принято называть скалярную функцию. Под линейностью 7(х) понимается обычное 7(ох Ч бр) = оу(х) + м«гг(У). 96 Глава 4. Квадратичные формы В этом есть свой резон, но резон есть и в продолжении начатого дела. Более того, намек насчет скалярного произведения стоит учесть, вводя обозначение ?(х) = (?,х), которое вызывает полезные ассоциации„подчеркивая некое равноправие х и ?.

Число (у, х), как Функция двух переменных, линейно по каждому аргументу в отдельности. Как х, так и у — векторы, но природа их различна. Векторы х из Е называют контравариантными, Г' из Е' — ковариантными. Различие, конечно, не только в названии. Главное различие фундаментально и заключено в том, что х и ? подчиняются совсем разным законам преобразования координат (см. далее). Векторы х — это аргументы, а наборы координат ? — это коэффициенты преобразований. Там и там, конечно, числа. Но за числами, как известно, прячутся разные вещи. Мы уже едва не попали впросак, согласившись, что линейное преобразование и квадратичную форму определяет матрица.

В обоих случаях, правда, суть дела заслоняют похожие таблицы чисел, — но разве это основание игнорировать остальное? Шахматные фигуры тоже можно характеризовать размером и весом, но мы их классифицируем все же по роли в игре. Пространства .Е и Е' нуждаются в таком же разумном подходе. Попытка игнорировать их различие мешает правду с ложью и порождает «таинственные» явления. Скорость — вектор, и угловая скорость — вектор. Почему же при определенных обстоятельствах они ведут себя различно? Линейное отобразкение — «матрица», и квадратичная форма — «матрица .

Почему опять возникают аномалии? Да потому, что все это тензоры различной природы (см. следующий раздел), имеющие из-за стечения обстоятельств одинаковый внешний вид. Чтобы лучше почувствовать проблему, полезно рассмотреть нелинейное преобразование и = шах а хх«, 1, й = 1,..., и, У х У однозначно характеризуемое матрицей (оы). Пьпаясь произвести линейную замену переменных, легко убедиться, что от матрицы здесь — одно название, Объект совсем из другой оперы. Вернемся, однако, к взаимосвязи Е л: Е'. Векторы х и Г считаются ортогональными, если (Г, х) = 0. Определение выглядит странно (ибо х и ? находятся в разных пространствах), но это лишь первое впечатление.

4.7. Сопряженное пространство 4.7.1. Базисы (е1,...,е„) С Е, (Г,...,з") С Е называются взаимными (биортогональными), если (Р, ей) = бйз. (1, еслиз'=й, Символ Кронекера бь' = с ' . ' здесь в отличие от обычного (О, еслиу~й варианта имеет один индекс верхний, другой — нижний. Манипулирование индексами вообще характерно для тензорного исчисления.

При заданном базисе (еп..., е„) С Л всегда существует взаимный ему базис (1',..., 1") С Н*, поскольку система уравнений (прн кажлом З) (тз,еь)=б', й=1,„,,п однозначно определяет вектор (линейный функционал) р. 4.7.2. Взаимные базисы характеризуются тем, что координаты любых векторов Х=С Е1+...+С"Еп, удовлетворяют соотношениям Очевидно, (Г', х) = (т', ) С еь) = ~~~ С (1', еь) = С', Остальные соотношения устанавливаются аналогично.

ы Сопряженный оператор. Если А — линейный оператор, действующий в Е, то у(Ах) = (у, Ах) — есть некоторый линейный Функционал д(х) = (д, х). Сопряженный оператор А' определяется условием д = А'у, т. е. (з, Ах) = (А" з, х). 98 Глава 4. Квадратичные формы Сопрялтенный к сопря;кенному — снова исхолный оператор, (А')* = А. Так :ке, как (Е')' = 8. (?) Двойственность. Взаимоотношения между векторами и операторами сопряженных пространств лежат в основе различного рода двойственных результатов. К этой категории, например, может быть отнесено содержание раздела 4.6, где изучение «объекта» Аз ведется по наблюдению его «реакций». Очень естественный принцип исследования, кстати.