Босс В. - Лекции по математике Том 3. Линейная алгебра, страница 12

Собственное значение Л = О здесь имеет кратность 2, но ему ГП соответствует лишь один собственный вектор ~ ~ . Вот еще несколько примеров 3.4. Эскиз спектральной теории 75 дефектных матрид Идея пределыюго перехода. Тот факт, что наличие кратных собственных значений имеет принципиальное значение, может показаться странным, ибо совпадение корней многочлена, равно как и вообще двух чисел, — вещь экзотическая.

Более того, кратные Л всегда можно ликвидировать сколь угодно мало «пошевелив» матрицу. Или скажем иначе. Любую матрицу А можно представить как предел А = 1пп А(а), е-»0 (3.11) тле матрица А(г) при любом е ~ О имеет «хороший» спектр— попарно различные собственные значения и, соответственно, п линейно независимых собственных векторов 1 (е). При этом возникает впечатление, что предельная матрица должна наследовать свойства А(е). В интересуюшем нас случае этого как раз не происходит. «Беда» заключается в том, что линейно независимые векторы Г (е) в пределе при е = О могут стать зависимыми — и тогда предельный переход оказывается в некотором смысле холостым выстрелом.

Однако идея представления матриц в виде (3.11) иногда эффективно работает (даже в тех случаях, где речь идет о собственных векторах, см. раздел 4.1). я Формальное доаазательетао дано в главе 5. Очевидно, А+ е1 имеет собственные значения Л (А) + г. Поэтому с помощью сколь угодно малой добавки е1 вырожденную матрицу А можно превратить в невырожденную А(е) = А+ е1, сдвигая все точки спектра о(А) на е. Выше, однако, речь шла о более сложной задаче — о возмущении матрицы, ликвидируюшем кратные собственные значения. Либерально настроенной части населения это кажется само собой разумеющимся, ибо для «управления» п коэффициентами характеристического полинома 1А — Л1! = О имеется пл степеней свободы (п~ элементов матрицы А). Тем не менее строгое обоснование очевидных вещей иногда наталкивается на определенные трудности ~1. Глава Э.

Линейные преобразования 76 3.5. Линейные пространства Ориентация на модель, в которой векторы изначально представ- ЛЯЮтСЯ В ФОРМЕ Х = (Хг,..., Хо), ГДЕ Х; ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ИЛИ КОМ- плексные числа, — освобождает от массы скучных подробностей и охватывает 99 % приложений. Но из-за недостачи одного процента — дело может стоять на месте. Вот как выглядит более фундаментальный подход. Линейное просшрансгпво Х определяется как множество элементов, на котором заданы две операции: сумма х + у и произведение Лх (элемента х Е Х на число Л из некоторого поля 'О)), причем х, у Е Х =у гхх+ )уу Е Х, а сами операции удовлетворяют следующим аксиомам: ° 1 х=х, Л(рх)=Лрх, ° (Л+ гг) = Лх+ их, Л(х+ у) = Лх+ Лу, а также: 1.

х+ у = у+ х (коммутативность слозкенил), 2. (х+ у) + л = х+ (у+ л) (ассониативность слозкенил), 3. существует нулевоб элемент О б Х такой, что х + О = х, 4. существует обратный элемент -х такой, что х+ ( — х) = О. Ощущения среднестатистического студента здесь естественны. Понятие линейного пространства «наводит тень на плетень», чтобы обучающей стороне бьшо легче надувать шеки. И в этом есть свой резон, если после общих многозначительных разговоров курс целиком опирается на единственный частный случай.

А при широком охвате цель не достигается по другой причине. На первом этапе знакомства с предметом, дай бог, уследить за одной линией изло:кения. Дополнительная информация вредит, особенно, если не подчеркивается, что ее можно игнорировать полностью или частично. Поэтому данный раздел на первом витке изучения линейной алгебры можно пропустить, но лучше — бегло просмотреть. Второе предпочтительнее, поскольку традиционный стиль обучения, тяготеющий к черно-белым тонам, далеко не оптимален.

Нет никаких оснований отказываться от обычного взгляда на мир, когда что-то в фокусе внимания, а что-то — на периферии. Примеры. Главный пример в данном контексте это, конечно, множество Х из элементов х = (хп..., х„). (3.12) ~В Пространство называют комплексным, если Л прииаалежит комплексной плоскости. 3.5. Линвйные пространства 77 Линейным пространством является множество матриц гни п, а также совокупность многочленов Рь(С) =па+а,С+...+а„,С" ', й(п, с обычными операциями сложения и умножения многочленов на число. Координатами здесь можно считать коэффициенты х, = а... что соответствует выбору в качестве базиса (е, = 1, ез = С, ..., е„= С" ').

Но можно взять и другой базис. Например, (е, = (С вЂ” а)' '), — и тогда координатами будут коэффициенты в разложении Тэйлора: Р„(С) = Р„(а)+Р„(а)С+... + Ря" ~(а). 1 (и — 1)! С точки зрения данного определения линейными пространствами оказывак1тся множества бесконечных последовательностей ан ..., аь,.., с естественными операциями сложения и умножения, а также различные функциональные пространства. Последние примеры относятся к линейным пространствам бесконечной размерности и рассматриваются в других математических дисциплинах. Линейная алгебра изучает пространства конечной размерности.

Последняя определяется как максимальное число линейно независимых векторов в Х (векторов в базисе), и обозначается как б(шХ. Разговоры о большой общности абстрактного подхода заканчиваются, правда, простой теоремой об изоморСвизме и-мерных пространств [2, 7[, которая означает следующее, Между линейными пространствами Х и Х' одинаковой размерности всегда можно установить взаимно однозначное соответствие х <-~ х', при котором х+ у ь+ х + у, Лх ьь Лх~.

Поэтому в любом случае анализ сводится (выбором базиса, например) к изучению арифметического пространства с элементами (3.12). Однако теорема об изоморфизме вовсе не перечеркивает целесообразность общего подхода. Здесь все, как в жизни. Одни на мир смотрит просто, иные все усложняют, но те и другие оказываются в проигрыше попеременно. Евклидова пространство из линейного получается введением скалярного прои ~ведения. На докоординатном этапе форма х у = х,у, +... + х„р„, разумеется, юют осечку.

Формальное определение таково. Скалярное произведение — это так или иноке определенная операция, которая паре, вообще говоря, комплексных векторов х, р ставит в соответствие комплексное число (х,р), и удовлетворяет следующим требованиям (аксиомам): (ь)' (х, х) — обязательно вещественное число, строго болыиее нуля при ненулевом х и равное муле только при х = О. (Н)' (х, р) = (р, х)', где звездочка обозначает комплексное гопрязкение. (Йт)' (х + я, у) = (х, у) + (я, у).

Глава 3. Линейные преобразования 78 (шо) (Лх, у) = Л(х, у). Заметим, что (х, Лу) = Л (х, у), поскольку (х, Лу) = (Лу, х)' = Л'(у, х)* = Л*(х, у). Даже на «координатном» этапе, как выясняется, перечисленным требованиям удовлетворяет не только сгацдартное (х,у) = 2 х,у,', у но и (т х, у) с положительно определенной матрицей т (см. след. главу). При изучении многочленов в качестве скалярного произведения может использоваться, например, 1 (Р,Е = ~Р(1)а(1) а о (3.13) Отсюда, кстати, многое следует. Дело в том, что все предшесгвуюшие результаты, опиравшиеся на скалярное произведение, были связаны не с конкретной формой (х,у)»« ~ х уг, У а только с наличием свойств (о)' — (ПП) . Ничто другое в доказательствах не ис- пользовалось и1. Поэтому в ситуации (3.13) сразу можно утверждать справедли- вость неравенства Коши — Буняковского (интегральный аналог) / Р(Щ(1) д(< о ! ! / Рг(1) л1 / ()з(1) л1 о о 3.6.

Манипуляции с подпространстаами п1 Точнее говоря, все локазазельства могли быть получены только лишь с всвользовавяем свойств (1) — (НН) . Было бы ошибкой думать, что обуцее понятие линейного пространства нужно лишь для того, чтобы пустить пыль в глаза и охватить полиномы. При изучении обычной матрицы в обычной ситуации возникает потребность говорить о множестве значений Ах (образе, обозначаемом пп А) либо о множестве решений Ах = 0 (ядзре )гег А)), т. е. о множестве векторов х, которые оператором отображаются в нуль.

З.б. Манипуляции с подпространстаами 79 И то и другое является линейным пространством (подпростран- СЕВОМ 12) ЛЯ) В СМЫСЛЕ ПрЕдЫдуШЕГО раэдЕЛа, — И бЕЗ СООтВЕтетВующих определений кое-что на понятийном уровне ускользает 'з). Что такое, например, множество значений Ах в случае Д? Это может 22 быть все пространство Л' (матрица А невыро)кдена), плоскость (гап))А = 2), прямая (гап)гА = 1), точка (гапКА = О). Но при исходной модели описания х = (х„..., х„) нет возможности говорить о таких объектах до тех пор, пока там не введены координаты. В координатах же исходного пространства Дз это достаточно неудобно, чтобы воспрепятствовать даже самым простым рассужлениям. Нередко возникает необходимость оперировать иллариалл)ными подпространстяами матрицы (оператора) А.

3.6.1. Определения. Подлрлолралслгло Х С лсл лазылаетсл иллариалтлыы о2л- лослтельло А, если х Е Х ю Ах Е Х, т.е. АХ С Х. Оператор А, рассматриваемый на инвариантном подпространстве Х, т.е. гулселие А)х оцератора А на Х, является, очевидно, линейным оператором. При работе с подпространствами часто возникает необходимость рассматривать их комбинации. Суммой Х + У лодлроплралсл)в Х, У С Лл называется множество линейных комбинаций ах+)зу элементов х б Х и р Е К Другими словами, — линейная оболочка Х и У.