Босс В. - Лекции по математике Том 3. Линейная алгебра

ББК 22.!43 22.!44 22.!5!.5 Босс В. Лекции по математике: линейная алгебра. Т. 3, — М.; Ком Книга, 2005. 224 с. !ЗВ!ь! 5 †484 †0-7 Издательство«КомКнига». 117312, г Москва, пр т 60 летия Октября, 9 Подписано к печати 24.02.2005 г. Формат бох90/16. Печ.л. 14. Заказ Па 1912 Отпечатана с готовил диапозитивов во ФГУП И П К Улыноаскиа Дом печати 452930, г. Ульяновск, ул.

Гончарова, 14 © КомКнига, 2005 !ГАВР! 5-484-00046-7 3143 ю 20000 Ш1 11111 000463 785484 Книга отличается краткостью и прозрачностью изложения. Объяснения даются «человеческим языком» вЂ” лаконично и доходчиво. Значительное внимание уделяется мотивации результатов и прикладным аспектам. Даже в устоявшихся темах ошущается свежий взгляд, в связи с чем преподаватели найдуг лля себя немало интересного. Книга лепсо читается. Аналитическая геометрия рассматривается как вспомогательный предмет, способствуюший освоению понятий векторного пространства.

Охват линейной алгебры достаточно широкий, но изложение построено так, что можно ограничиться любым желаемым срезом содержания. Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников. Оглавление Предисловие к «Лекциям» Предисловие к тбму Пгава 3. Линейные преобразования 3.1. Замена координат 3.2. Собственные значения и комплексные 68 72 пространства . 3.3. Собственные векторы . Бгава 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 Егава 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 Аналитическая геометрия Координаты и векторы Описание геометрических объектов...

Векторное произведение Определители . Матрицы и преобразования........ Прямые и плоскости . Геометрические задачи. Кривые и поверхности второго порядка Векторы и матрицы Примеры линейных задач Векторы Распознавание образов Линейные отображения и матрицы: . Прямоугольные и клеточные матрицы Два примера. Элементарные преобразования.....

Теория определителей . Системы уравнений Задачи и дополнения . 10 10 15 19 22 23 29 32 35 38 38 39 43 45 49 51 52 57 62 65 Оглавление 74 76 78 80 3.4 3.5 3.6 3.7 81 Глава 4. Квадратичные формы 94 98 . 100 ... 103 Глава 5. Канонические представления Глава 6. Функции от матриц .123 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 Эскиз спектральной теории ...... Линейные пространства . Манипуляции с подпространствами Задачи и дополнения Квадратичные формы Положительная определенность Инерция и сигнатура Условный экстремум Сингулярные числа . Биортогональные базисы... Сопряженное пространство Преобразования и тензоры .

Задачи и дополнения Унитарные матрицы Триангуляция Шура Жордановы формы . Аннулируюший многочлен, Корневые подпространства Теорема Гамильтона — Кэли . Л-матрицы . Задачи и дополнения Матричные ряды Нормы векторов и матриц Спектральный радиус Сходимость итераций Функции как ряды Матричная экспонента Конечные алгоритмы Задачи и дополнения 81 86 89 90 9! 92 ,103 .105 .

108 ...112 ...113 ...117 .118 . 120 .!23 ... 125 . 130 . 131 . 132 . 133 .135 . !38 Оглавление Матричные уравнения . 140 . 140 .. 141 .!43 7.1 7.2 7.3 Глава 8. Неравенства . 147 Пгава 9. Положительные матрицы 9.1. Полуупорядоченность и монотонность . 9.2. Теорема Перрона 9.3 9.4 9.5 9.6. 9.7. Импримитивность Стохастические матрицы 9.8.

' Конус положительно определенных матриц 9.9. Задачи и дополнения . Пгава 10. Численные методы ..196 . 196 .200 . 205 Глава 11. Сводка основных определений и результатов ! 1.1. Аналитическая геометрия 11.2. Векторы и матрицы. 11.3. 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 Типичные задачи Кронекерово произведение Уравнения Теоремы об альтернативах Выпуклые множества и конусы . Теоремы о пересечениях Р-матрицы Линейное программирование .. Задачи и дополнения . Не разложим ость Положительная обратимость Оператор сдвига и устойчивость Предмет изучения Ошибки счета и обусловленность .

Оценки сверху и по вероятности .. Возмущения спектра . Итерационные методы . Вычисление собственных значений Линейные преобразования . 147 ..149 . 152 . 153 ..156 . 161 .162 .. 162 . 163 . 168 ..170 .. 172 .176 .. 177 ..179 .180 . 182 .182 ..184 ..187 . 188 . 191 ..194 Оглавление 11.4. Квадратичные формы 11.5. Канонические представления 11.6. Функции от матриц 1!.7. Неравенства . 11.8.

Положительные матрицы Обозначения Литература Предметный указатель 208 ...2!О 211 213 214 .216 .218 .219 Предисловие к «Лекциям» Самолеты нозволяют летать, но добираться до азронорта нриходится самому. Для нормального изучения любого математического предмета необходимы по крайней мере четыре ингредиента: !) живой учитель; 2) обыкновенный нодробный учебник; 3) рядовой задачник; 4) учебник, освобожденный от рутины, но дающий общую картину, мотивы, связи, «что зачем» До четвертого пункта у системы образования руки не доходили. Конечно, подобная задача иногда ставилась и решалась, но в большинстве случаев — при параллельном исполнении функций обыкновенного учебника.

Акценты из-за перегрузки менялись, и намерения со второй-третьей главы начинали дрейфовать, не достигая результата. В виртуальном пространстве так бывает. Аналог объединения гантели с теннисной ракеткой перестает решать обе задачи, хотя это не сразу бросается в глаза. «Лекции» ставят 4-й пункт своей главной целью. Сопутствующая идея — экономия слов и средств. Правда, на фоне деклараций о краткости и ясности изложения предполагаемое издание около 20 томов может показаться тяжеловесным, но это связано с обширностью математики, а не с перегрузкой деталями.

Необходимо сказать, на кого рассчитано. Ответ «на всех» выглядит наивно, но он в какой-то мере отражает суть дела. Обозримый вид, обнаженные конструкции доказательств — такого сорта Предисловие к «Лекциям. книги удобно иметь под рукой. Не секрет, что специалисты самой высокой категории тратят массу сил и времени на освоение математических секторов, лежащих за рамками собственной специализации. Здесь же ко многим проблемам предлагается короткая дорога, позволяющая быстро освоить новые области и освежить старые.

Для начинающих «короткие дороги» тем более полезны, поскольку облегчают движение любыми другими путями. В вопросе «на кого рассчитано» вЂ” есть и другой аспект. На сильных или слабых? На средний вуз или физтех? Опять-таки выходит «на всех», Звучит странно, но речь не идет о регламентации кругозора. Простым языком, коротко и прозрачно описывается предмет. Из этого каждый извлечет свое и двинется дальше. Наконец, последнее. В условиях информационного наводнения инструменты вчерашнего дня перестают работать.

Не потому, что изучаемые дисциплины чересчур разрослись, а потому, что новых секторов жизни стало слишком много. И в этих условиях мало кто готов уделять много времени чему-то одному. Поэтому учить всему — надо как-то иначе. «Лекции» дают пример. Плохой ли, хороший — покажет время. Но в любом случае, это продукт нового поколения. Те же «колеса», тот же «руль», та же математическая суть, — но по-другому. Предисловие к тому мом строят месяц, сдают оод ключ — сод.

Если что и дает ясное представление о высшей математике, так это линейная алгебра. Барьер повседневности здесь преодолевается легко и просто. При этом оказывается, что удивительные вещи находятся не в туманной дали, а совсем рядом. Для освоения, разумеется, нужна еще определенная составляюшая у вектора жизненных интересов. Некоторая готовность к трудностям и, конечно, время. Вы представьте, что переехали жить в другой город.

День-другой побродили по главным улицам. Взглянули на панораму с какой-нибудь вышки. Разве этого достаточно— для знакомства? Чтобы узнать город, надо исходить его пешком. Много раз, вдоль и поперек, и в дождь, и в снег. И в хорошем, и в плохом настроении. Сжиться с людьми, побегать по магазинам, поездить на трамвае — и по делу, и просто так. И тогда лишь, в тысячный раз выходя из дома, вы увидите вдруг — знакомый город. Глава 1 Анелитическая геометрия Аналитическая геометрия представляет собой удобную ступеньку к пониманию линейной алгебры.

Рене Декарт создавал ее, правда, с другой целью — чтобы геометрические задачи можно было решать алгебраически. Но результат часто не совпадает с намерением. Декартовы координаты оказались полезнее в противоположной ситуации, когда числам приписывается роль координат выдуманного пространства. При этом, конечно, получается виртуальная фикции, но она работает.

Будит воображение там, где изначально никакой геометрии нет. Когда дело бьшо сделано, об аналитической геометрии стали забывать, начиная сразу с и измерений, У подсознания ушла почва из под ног, — ибо ему ну,кна другая последовательность. Геометрия, потом алгебра. Наглядность, затем абстракция. 1.1. Координаты и векторы Аоординатами называют числа, определяюШие положение точки на плоскости В~ или в пространстве В~.

Обозначения В~, Яз— пока для удобства. Прямоугольные (дех картоны 191) координаты точки на плоскости — суть снабженные знаками плюс или минус расстояния от точки х до двух взаимно перпендикулярных прямых Ох~ ~ х, О и Охз — осей координат, — точка пересечения которых считается началом коРмс. 1.1 ординат. На рис. 1.1 точка х = 1хп хД описывается двумя координатами х1 и хт. Горизонтальная х~— называется абсциссой„вертикальная хт — ординатой.