Босс В. - Лекции по математике Том 3. Линейная алгебра, страница 16

Заключения о свойствах Аз делаются на основании того, как Ах ведет себя под воздействием линейных функционалов (), Ах). Успех дела в данном случае обеспечивается «сопряженной равноправностью» х и ~. Так сложилось, что о двойственности часто говорят полувосторженно-полузагадочно. Начинаешь искать, где бы почитать,— негде. Встречаются одни частности. Но где общая теория? Секрет в том, что никакой общей теории нет. Двойственность — это идея, работающая в разных областях в разных формах.

Между различными объектами устанавливаются некие взаимоотношения (сходства, противоположности, дополнительности), благодаря которым из свойств одних объектов делаются заключения о поведении — других. В подобном ключе естественно интерпретируются многие результаты о линейных неравенствах. См. также разделы 6.2 — о двойственной норме, и 8.5 — о двойственности в линейном программировании и). 4.8. Преобразования и тензоры Пусть й Е ее р 1уЕЗ й задает переход от базиса (е,,..., еп) к (еп...,е„), а (т1,..., Гп) и (т"',..., тп) — соответствующие биортогональные базисы.

н> Двойственность широко используетси вообще; в оптимизации, геометрии, топологии. теории аналитических функций и т. Л. дд 4.8. Преобразования и гензоры Взаимосвязь между последними определяется соотношениями (4. 12) где, обратим внимание, суммирование идет по нижнему индексу Гч, у' что соответствует транспонированию [Г~~]. При необходимости выразить Г через Г матрицу [Га) надо обратить, Если элементы матрицы [[Га) Г обозначить через ва, то Г = ~э вГу. у Для тензорного исчисления характерно жонглирование индексами.

Базисы Е помечаются нижннмн индексами, координаты — верхними. В Е' правило обратное. Одна из причин — местополо;кение индекса показывает, о чем идет речь. Другая причина имеет стенографическую природу. Если у сомножителей адин и тот:ке индекс стоит адин раз внизу, другой вверху, то по этому игщексу, считается, идет суммирование. Это позволяет опускать знак ~~~, что при изобилии сумм расчищает игровое псле.

Поскольку тензоры в данном контексте играют третьестепенную роль, выгодм стенографии не используются (чтобы не привыкать). Проверим теперь (4.12). С одной стороны, в силу взаимности базисов, (Гь,е,) = (1а, ) 1)ег) = 1~, с другой„— если связь 1» = э т Г считать пока неизвестной, а У У (1а, е;) = ( ~ тэа Г, е.) = г,, откуда ть = 1).

Что касается формул преобразования соответствующих координат, то ~' = ,'у з„'(, т)у = ~~э Цт)а, а а 100 Глава 4. Квадратичные формы т. е. где ( — координаты в Е, а у) — в Е*. Различие формул преобразования координат у контравариантных и ковариантных векторов представляет собой крайне важное обстоятельство, игнорирование которого ведет к принципиальным ошибкам. Для многоиндексных объектов, каковые называются пгензорами, такое различие играет аналогичную роль, о чем напоминает рассмотрение квадратичных форм. Мы не останавливаемся подробно на определении, да это и не может увеличить ясностью).

Вектор — это тензор первого ранга, матрица — второго. В общем случае тензора и-го ранга стандартной моделью служит полилинейная функция — линейная по каждому вектор-аргументу при фиксации остальных. Главной характеристикой тензора является количество верхних и нижних индексов, что определяет правила его преобразования при переходе к другому базису ц), — см., например, (2].

4.9. Задачи и дополнения ° Если ~ оох,у представляет собой запись билинейной формы (гх, у) в базисе !,1 (е„..., е„), то (Ие„е ) = о, . 201 Ясности способствуют примеры, но зто зааача другого курса. П Прн атом говорят, что тензор р раз контравариантный и у раз ковариантный, если р и р, соответственно, число верхних и нижних индексов.

4.9. Задачи и дополнения 101 ° Пусть у симметричной матрицы )с все главные миноры! Е!! Е!2 В!» о2! о22 и14 еп~ В)=оп, Вз=~ В„= )и2! 2222 2!»! О»2 2!«« не равны нулю. Тогда существует базис (Г),..., Г„), в котором Во 2 В! 2 В» ! 2 (1'х,х) = — (!+ — Ез+...+:(„, В! В) В„ где для единообразия записи принато Р, = 1. (4.13) Базис (Гп..., 1„) через исходный (е,,..., е„) выражается следующим «треугольным» образом; Г, =е,, 11 = апе! + е), Гэ 4)не! + 2222е2 + еэ Г„= а„,е, +а«)е2+...+е„. Коэффициенты аб определяются из условий диагональной записи, (1н1), 11) = О при 2 ть у', квадратичной формы в новом базисе.

° Из записи (4.13) следует, что для положительной определенности квадратичной формы достаточна положительность всех главных миноров В». Необходимость всех В» > О доказывается совсем просто"), и в совокупности с достаточностью называется нротерием Сильвестра. ° Скалярное произведение (х, х) можно рассматривать как квадратичную форму (х,1х), которая при замене координат х = Ту переходит в (у, Т'Ту), откуда следует положительная определенность матрицы Т'Т, если Т невы- рождена. Из представления Т в виде объединения вектор-строк 1» видно, что (23')-м элементом матрицы ТТ является скалярное произведение (1,, 11 ).

Главные миноры этой матрицы называются определителями Грома, и они все строго поло:кительны, когда векторы (1),...,1„,) линейно независимы 12) поскольку Т'Т поло:кительно определена. ° тг А'А = ~ )а!) ~ . ° Теерема Шура о нроизеедениа. Если А и В симметричные нологкительно определенные матрицы, то матрица 14) С = (апбб] монсе лолоисительно онределена. 21) Если Р =О, то сушествует такой ненулевой х=(е),...,х,О,...,О), что (Рх,х)=О.

и) Что равносильно невырожденности Т. 24) «Наивное» произведение матриц, сводящееся к поэлементному умножению, А» В = (внь) ), называют произведен«си но Адамару. 102 Глава 4. Кващэатичные формы Поскольку А приводится к диагональному виду Т'АТ = Л, то А = ТЛТ*, в силу чего элементы А можно представить в виде об = Е Л 11А* Поэтому ечЬОхгх; = ~ ( ) Л»й»ЬЗ») Ьнхгх; = ) Л» (~ Ье(Сахг)(Ь»»х;)) . су с»» » с» Окончательный вывод следует из Л» > О, положительной определенности В и невырожденности Т. ° Возможность полярного разложения сохраняется в случае прямоугольной матрицы.

Любая»п х п (пз ( п) матрица А представима в виде А = $Т, где Я = (АА')нз неотрицательно определена, а т имеет ортонормированные строки (ТТ' = 1). ° Пусть случайные величины х; имеют математические ожидания шо Лавариацианная матрица Я с элементами Вч — — М((х, — пзг)(х, — пз )), где М обозначает оператор математического ожидания, — неотрицательно определена: з 2 ВОЯ = М~~ (хг — щ)(,) > О. ч ч ° Пусть шг из предыдущего пункт равны нулю. При необходимости прогнозирования случайной величины у с помошью линейной комбинации ~ ~сгх, г часто ориентируются на минимизацию среднеквадратической ошибки М((у — "~ с;х,) ~ -» ппп. ! Производные по с, дол:кны быть равны нулю, — М((у — ~ с,х;) ~ = М((у — ~ ~гнх,)х,~ =О. Э 3 Оптимальный вектор с, таким образом, определяется решением системы Яс=В „, где  — ковариационная матрица, а вектор ковариации В,„имеет координаты М(х,у).

Описанный рецепт называют методом наимен»ших квадратов. Глава 5 Канонические представления В первых двух разделах главы рассматриваются простые и важные результаты, широко применяемые в различных ситуациях. Затем излагаются факты, к элементарной линейной алгебре не относящиеся, н им не имеет смысла уделять много внимания, если математика не планируется в качестве специальности.

Речь идет о жордановых формах, традиционно изучаемых чаще, чем это целесообразно. Сами по себе жордановы формы не так важны, как методы, с помощью которых они изучаипся. Поэтому аннулирующие многочлены, корневые подпространства и прочие «фокусы» — это не столько инструменты, необходимые для изучения жордановых форм, сколько эффективные категории мышления прн изучении более высоких этажей линейной алгебры.

5.1. Унитарные матрицы Унитарные матрицы — это комплексный вариант ортогональных. Матрица 11 унитарна, если г)*г) = 1 . Форма определения такая же, но теперь 11' — не просто транспонированная, а сопряженная ') матрица 11 т.е. и;*, = й)сц Источник интереса к унитарным матрицам — тот же самый, что и к ортогональным. Те и другие возникают обычно как инструмент исследования, Ортогональные матрицы, как матрицы преобразований, удобны благодаря ортогональностн столбцов (строк).

Оказалось, что их как раз «хватает» при изучении симметричных матриц. В общем случае ортогональных преобразований уже недостаточно, и унитарные матрицы — следующий шаг. Выгодм, по сути, те же: ° (ип и ) = б при ( ,-6 у, и и'; = ! (аналогично для строк н, ); я Эквивалентный термин: элиота«о сооряясояяая матрица. 104 Глава 5. Канонические представления ° евклидова длина преобразованного вектора х = »гу (у = сг'х) сохраняется '2, (х,х) = (у, у); ° »г' т (2' '; ° все собственные значения по модулю равны единице, А» = егв». Ортогоиализапия»)»ама — Шмидта.

При манипуляциях с ортогональными и унитарными матрицами полезной часто оказывается замена некоторого множества линейно независимых векторов (ег,..., е„) ортонормированной системой (»2,..., ГД, которая порождает то же самое пространствоз). Это всегда возможно, причем — разными способами. Удобный алгоритм дает стандартный процесс ортонормирования Грима — Шмидта. На первом шаге полагается Ь, = е, и На втором — строится вектор Ьз — — ез — (ез, Г~)Гы вртсгонвльный Г,, и опять Ьз происходит нормировка: 12 —— (Ь2, 2) На й-м шаге строится вектор ь» — — е» вЂ” (е», г» 2) г», —...

— (е», г, ) гн ортогондльный ко всем (Го..., Г» 1) (проверьте), после чего нормиругтся, в» На и-м шаге процесс заканчивается. (в», в )'и Заметим, что на х-м шаге процесса Грама — Шмидта векторы (»г,..., Г») линейно выражаются через Й первых векторов множества (ге»,..., е„) . По-другому это может быть сформулировано так. Если матрицы Х и У составлены из вектор-столбцов (е) и 1»), т.е. Х = (ег,..., е„), У = (»2,..., Ц, 2> Под скалярным произведением а комплексном пространстве понимается (х, у) = ~ х у,'.

з2 В том смысле, что линейные оболочки обеих систем, (е) и (г), совпадают. 105 5.2. Триангуляция Шура то г' = Х9, Х = У Л, где Я и Л вЂ” верхние треугольные матрицы 4). Этот факт обычно выделягот в самостоятельное утвер)кдение: 5.1.1. Теорема. Пюбая действительная невырожденная матрица А может быть представлена в виде произведения А = ь„)ль ортогональной матрицы я на верхнюю треугольную з) )г. Упражнения ° Для унитарности 6) необходимо и достаточно, чтобы 4Г ' = гу'. Отсюда легко следует, что произведение унитарных матриц унитарно.