Босс В. - Лекции по математике Том 3. Линейная алгебра, страница 11

Но те, кто хгивет поиском трудностей И на пугн усовершенствования Галактики, могут здесь кое-что извлечь. Пусть имеется два базиса, Глава 3. Линейные преобразования 68 т. е. Наконец, (Т 'АТ) ' = Т 'А 'Т, т.е. (А') ' = (А ')'. 3.2. Собственные значения и комплексные пространства Обнадеживающе выглядит идея, исходя из (3.1), преобразовать матрицу так, чтобы она приобрела в новой системе координат наиболее простой вид.

Одна из ориентаций при этом может быть на матрицы диагонального вида: 0 = гйа8 (Лы..., Лв), О (3.3) А =Т АТ=Л. (ЗА) Понлтно, что в случае (ЗА) оператор А на векторы нового базиса ($',,..., $„') действует предельно просто: А'Гз = Л;/,'. (3.5) Умномсав (3.5) слева на Т, справа на Т ', получаем тА'т ~ тгт ~ = л тГт ~, т. е, АГ; = Лутц где Г = ТГ,'Т '. у которых ненулевые элементы могут стоять только на главной диагонали. Другими словами, соблазнительно задаться целью найти такое преобразование Т, чтобы матрица А в новой системе координат стала диагональной, т.

е. 3.2. Собственные значения и комплексные пространства 69 Таким образом, для определения чисел Л и векторов 1 надо решить уравнение Ах=Лх (3.6) которое в эквивалентной записи выглядит как (А — Л1)х = 0 и может иметь ненулевое решение х лишь в том случае, если матрица А — Л1 вырождена, т. е. (3.7) Уравнение (3.7) называют характеристическим уравнением матрицы А, его решения Лз — собственными значениями, а соответствующие ненулевые решения х = 1 уравнения (3.б) — собственными векторами 11 матрицы А. 3.2.1. Если матрица А имеет собственные значения Л, которым отвечают собственные векторы Гз, то матричный полинам Р(А) = А" +7н-1А" '+...

+7о1 имеет собственные значения р(Л.) и те лсе собственные векторы 1 . Применяя к АГ = Лгту оператор А, получаем А'Гг = Л Ат = Л,'Г.. 11рололжая аналогично, имеем Авт Лат ( АР + аАд) ( Лг'+ РЛт) что в итоге лает р(АД = р(Л,)Г,, Если матрица А невырождена (все Л ~ 0), то АГ, =Лз1з =ь 1з =Л А '1з, откуда вытекает, что собственными значениями обратной матрицы А ' являются Л ' и те же собственные векторы.

1 Собственные векторы определены с точностью ло умножения на константу. Принято считать, что все гг нормированы: 111г 11 = 1. 70 Глава 3. Пинейные преобразования Из записи (3.7) в форме ап — Л... ам =О а„, ... авв — Л видно, что рв(Л) = оег (А — Лх) представляет собой многочлен и-й степени, Рл(Л) =Л +7в-~Л + ° ° ° +7~Л+7в.

который называют хараяюераетачеслам. Из [Т ' АТ вЂ” ЛГ[ = [Т '(А — ЛГ)Т[ = [Т '[ ° [А — ЛГ[. [Т[ = [А — Лз [ вытекает, что полинам Рв(Л) инварнанген при замене координат, и потому— характеризует как матрицу, так и сам линейный оператор П (независимо от базиса). В фокус внимания часто попадают два коэффициента: у„о равный, по тео- реме Виста, сумме корней Л,(А) + ... + Л„(А), и ув, равный произведению Л~(А)" Л„(А), тв — — Л,(А) ° - ° Лв(А) = пег А, тя ~ = Л > (А) +... + Л„(А) = гг А, где гг А = оп +...

+ а„„называют следом магяриям (оператора). В этом месте линейный анализ подходит к фундаментальному поворотному моменту своего развития. Если уравнение г[ег(А — Лг) = О имеет и различных действительных корней Л, то все слишком хорошо. Каждому Л соответствует свой собственный вектор ~.. Эти векторы составляют базис новой системы, в которой матрица Т 'АТ принимает диагонадьный вид, а матрица перехода Т образуется столбцами Г .

Действительно, для Т = [Г,,..., Г„] получается Т АТ=Т [Атп...,АГ [=Т ' [ЛД,...,Лвт„[=Т [Гн...,т„)й=Т 'Тй=й. Было бы опрометчиво сразу отказываться от всех этих благ из-за того, что полипом и-й степени редко имеет и действительных корней. Обстоятельства подталкивают к выходу в комплексную плоскость. Там характеристическое уравнение всегда (по основной 4) Естественно, что козффяпяепгы рл(Л) яе мепяюгся при переходе к лругому бвзяеу. 3.2. Собственные значения и комплексные пространства 71 теореме алгебры) имеет и корней. Но лиха беда начало.

Одна уступка влечет за собой необходимость другой. Если в (3.б) параметр Л комплексный, то к рассмотрению надо допускать комплексные векторы~)„иначе нет смысла говорить о ненулевых решениях х уравнения (3.6). Далее возникает необходимость в сдаче следующей позиции. Столбцы Г (теперь комплексные) б) образуют в совокупности матрицу перехода Т, которая приводит А к диагональной форме Т 'АТ, причем у Т 'АТ на диагонали могут стоять в том числе комплексные Л . Получается, что надо допускать к рассмотрению комплексные матрицы.

Поэтому проще всего — и целесообразнее — с самого начала все считать комплексным т). Но тогда необходимо вернуться назад и пересмотреть уже сделанное. Оказывается, в ранее изложенном ничего не меняется, исключая понятия скалярного произведения и транспонирования матрицы. Последние приходится переопределить. Под скалярным произведением в общем случае понимается (х,у) =" хгу что при действительных координатах переходит в стандартное определение (2А). Что касаетси «транспонирования» комплексной матрицы, то в билинейных г)лгрмах (1гх, у) действие матрицы )г приходится перебрасывать с первого вектора на второй, не меняя значения функции, т.

е. (3.8) Для справедливости (3.8) в случае действительной матрицы И надо. чтобы )г' была транспонированной матрицей )г. действительно, ()гх,у) = 2 ( и,еха)у, = 2 (~ еа,у,)хе = (х, тг*у). 5) Имеющие комплексные координаты. а) Если, конечно, таковые существуют. т) Логика комплексификании математического знания на других примерах прослеживается а (3). 72 Глава 3.

Линейные преобразования Аналогичная выкладка в случае комплексных векторов и матриц показывает, что У' дол;кна получаться из У транснанараванаем с последующей заменой всех элементов на комплексно сапрллсенные. Такая матрица $" называется сопрюкенной К Формулы (АВ)' = В*А* и (А') ' = (А ')' сохраняются и при таком понимании операции «звездочка».

З.З. Собственные векторы Выход в комплексную плоскость обеспечивает существование и собственных значений Л1,..., Л„, но не п собственных векторов. «Потери» возникают при совпадении некоторых Л между собой, но зто не выглядит поначалу большой неприятностью. Так или иначе, комплексный вариант теории начинает казаться не злонамеренной выдумкой, а удачной находкой, которая во многом спасает теорию матриц от блуждания впотьмах. Сушествование Г, очевидно, поскольку уравнение (А — Л,Г)х = 0 заведомо имеет ненулевое решение в силу вырожденности матрицы А — ЛГГ, Допустим, (Гн ..,,Г„) линейно зависимы.

Выберем из (Гн.,.,Г„) минимальное число линейно зависимых векторов. Можно считать'1, что это первые й векторов, которые удовлетворяют соотношению (3.9) 71Г~ + .. + 7»Г» = О, где все у ненулевые, иначе й не было бы минимально. В силу АГ. = Лугю А(7~Г~ Ч-. + 7»Г») = 7~Л~Г~ +. ° ° +7»Л»Г» = О. (3.10) Умножая (3.9) на Л» и вычитая из (3.10), получаем 7~(Л~ — Л»)Г1 +... +7» ~(Л» 1 — Л»)Г» ~ — — О, что противоречит минимальности л. При гс < и попарно различных собственных значениях— теорема 3.3.1 по сути остается в силе. Гарантируется существование не менее Гс линейно независимых собственных векторов.

»1 По крайней мере, после перенумераппн переменных. З.З. Собственные векторы 73 у(Ах) = (у, Лх) = Л(у, х), (уА)х = (иу, х) = р(у, х), приводит к (у, х) = 0 в силу Л ~ и. Ортогональность левых и правых собственных векторов в предположениях теоремы 3.3.2 служит обычно источником различного рода двойственных результатов — см. главу 8. Пример. Замена переменных х = Ту приводит задачу Коши х = Ах, х(0) = хо к виду у =Т 'АТу, у(0) =Т 'хо.

Если :1 Т ~АТ= зо это «развязывает» исходную динамическую систему. В новых координатах система у = Т 'АТу распадается на независимые друг от друга скалярные уравнения у„= Л„ую интегрирование которых по отдельности дает у»(С) = е ' ук(0), т. е. 0 ... е " у(о) Возврат в исходное пространство, у = Т гх, приводит к решению е' ... 0 О ...еы х(С) =Т Т х(0). Собственный вектор-столбен х в Ах = Лх называют лравым, вектор-строку у в уА = ру — левым собственным вектором. Очевидно, А'у' = С«у'.

Вычисление уАх двумя способами, Глава 3. Линейные преобразования 74 3.4. Эскиз спектральной теории Акпент ниже делается на фактах — обоснования рассматриваются в следующих главах. Множество а(А) собственных значений Л матрицы А называют спектром, а максимальное значение модуля ~Л ~ — спектральным радиусом, и обозначают р(А). Спектр в значительной мере характеризует свойства матрицы. Например, из Ке Л < 0 для всех 7' — следует асимптотическая устойчивость (см. (4, т.

21). системы х = Ах + Ь. Из г(А) < 1 вытекает сходимость последовательных приближений х"+' = Ахя + Ь к решению системы уравнений х = Ах + Ь. Спектр не меняется при переходе к другому базису, т.е. характеризует сам линейный оператор, а не его конкретную запись в той или иной системе координат. Если у и х и матриц А и В спектры состоят из и попарно различных точек и совпадают, то матрицы подобны — переходят одна в другую при замене системы координат, В = Т 'АТ, — и представляют собой запись одного и того же оператора в различных базисах. В общем случае это не так. Погоду портит возможность равенства собственных значений.

Кратность Л как корня характеристического многочлена рл (Л) называется алгебраической кратностью собственного значения Л. Число линейно независимых решений уравнения Ах = Лх называют геометрической кратностью собственного значения Л. Если бы геометрическая кратность всегда совпадала с алгебраической,— у любой матрипы А было бы и линейно независимых собственных векторов (Г,,..., Г„) и преобразование Т = !Го ..,,Г„) приводило бы А к диагональному виду. Матрипа, у которой геометрическая кратность какого-либо собственного значения меньше алгебраической, называется дефектной. Таковой является, на- ГО П пример, ~ !.