Босс В. - Лекции по математике Том 3. Линейная алгебра, страница 10

В принципе оно сводит вычисление детерминанта и-го порядка к вычислению лстермннантов (и — !)-го порядка, но прн больших и вычислять лучше по более простым схемам (методом Гаусса, например). Еще одна часто используемая формула: (2.25) определитель произведения матриц равен произведению определите))еи. В частности, де!1 = де!АА = де(Аде!А откуда Формула (2.25) легко устанавливается разными способами. В курсе [! !) зго делается с помошью нзяшного фокуса 27) Допслннтельный минор М,) элемента а, есть опрсаелнтсль полматрнцы, которая получается нз А вычеркиванием )-й строки н )-го сюлбца.

т) Фокусы плохи тем, что непонятны, но хороша тем, что инициируют поиск. Глава 2. Векторы и матрицы 62 Для конструктивною понимания полезна опора на понятие коэффициента искажения объема. Если А искажает объем в а раз,  — в )г раз, то ясно, что последовательное применение А и В в любом порядке меняет обьем в агг раз— и это справедливо с учетом изменения ориентации. Простейший вариант доказательства основывается на предсшвлении обеих матриц А и В в виде произведения элементарных матриц, лля которых равенство Веь (Л, Лл) = Веь й, Ась йл очевиано. Если же одна из матриц А, В вырожаена, то (2.25) вытекает из (2.21). В заключение обратим внимание, что при определении детерминанта вместо строк можно было бы взять столбцы, ничего не меняя по сути ч.

В итоге получились бы те же самые результаты, с заменой в формулировках строк на столбцы. 2.9. Системы уравнений Системы уь х тз. Система линейных уравнений Ах = Ь с квадратной невыроэкдеииой матрицей А всегда имеет единственное решение х=А 'Ь. Результат х = А 'Ь можно интерпретировать и записывать поразному. Перезапись Ах = Ь в виде ан ага х1+...+: х„=Ь (2.26) пя~ показывает, что решение х = (хн...,х„)* представляет собой координаты вектора Ь в базисе (ая,..., а„) из вектор-столбцов матрицы А.

Определение таких координат относительно просто. Пусть Агзь обозначает матрицу, полученную из А заменой г'-го столбца вектором Ь. С учетом представления (2.26)— де(Ау" = х де(А, (2.27) поскольку АУ(ь получается из А умножением г'-го столбца А на х — с последующим прибавлением линейной комбинации ~ Что сразу следует из (2.24). ез 2.9. Системы уравнений других столбцов А, что уже не играет роли (не меняет детерминан- та) зс). Из (2.27) вытекает правило Крамера: даюшее в случае невырожденной матрицы А решение системы Ах = Ь.

Еше одна идея решения Ах = Ь заключается в испольювании лриицила сулерлозичдю Если векторы Ь.„..., Ь.„ (2.28) линейно независимы и Ахз = Ьч то разложение Ь = 2 Л,Ь, вектора Ь по базису(2.28) сразулает решение х = Х ~Л,х, системы Ах = Ь. Иными словами, зназ ние и решений хч позволяет «лепсо» выписывать решение Ах = Ь при любом Ь. Конечно, легко сказка сказывается. Такой путь может оказаться длиннее, поскольку Л надо определять, решая систему ВЛ = Ь, где матрица В образована столбцами (2.28). Однако при выборе в качестве (2.28) базиса матрица Х = (х,,'..., х.„) оказывается обратной к А, т, е. Х = А '.

Вырожденный случай. Если и х и матрица А вырождена, то при- менение к системе Ах = Ь модифицированного метода Гаусса приводит ее к виду х = Ьвем где à — единичная матрица размерности <и — 1, остальные блоки нулевые. При этом ясно, что система имеет решение, если у преобразованного вектора Ь"еи координаты напротив нулевых строчек матрицы — нулевые. В противном случае исходная система не имеет решения. ~ См.

раздел 2.8. -[ :] -[ ] -[ 64 Глава 2. Векторы и матрицы Таким образом, как исследование, так и решение конкретной линейной системы — не представляет принципиальных трудностей и сводится к рутинному сложению уравнений, умноженных на те или иные коэффициенты.

Ничего другого знать не нужно. Но проблема заключается в другом — в понимании причин и механизмов, стояшнх за кадром. Решения сами по себе, оказывается, имеют почти нулевую ценность, — и это подтверждается всем дальнейшим изложением. достаточно под таким углом проанализировать спектральную теорию (собственные значения, собственные векторы и т. п.).

Анализ вырожденных систем экономнее проводить сразу для случая прямоугольных матриц. Системы ттв х ть. Система уравнений Ах = Ь с прямоугольной матрицей А, апх~+ а~гхг + ... + агах„= Ьы (2.29) ошах~ + ашгхг + .. + а „х„= Ь может быть записана в виде (2.26) с учетом возможного (но не обязательного) пз Ф и, т.

е. ан пня х,+...+: х„=Ь. аш1 Опять ясно, что решение (2.29) (хы...,х„)* представляет собой набор коэффициентов в разложении вектора Ь по векторам (а и..., а я). Возможная разница с предыдущим заключается в том, что прежде столбцы а, были линейно независимы и х потому были координатами з'). Теперь х могут определяться неоднозначно либо вообще не определяться. Когда решение (2.29) существует? Очевидно, когда вектор Ь есть линейная комбинация векторов (ац,..., а.„), что возможно лишь в случае, когда ранг А совладает с рангом расширенной матрицы [А, Ь], полученной приписыванием к А справа столбца Ь. Если же Ь линейно не выражается через (а ы..., а,„) (и потому ранг (А, Ь1 больше ранга А), решение (2.29) невозможно.

Объединение этих лвух предложений называют теоремой Кронекеро — Капелли. зл Олнозиачно определяемыми коэффициентами разложения. 2.10. Задачи и дополнения 65 Упрюкнеине 2.10. Задачи и дополнения ° В тех случаях, когда коэффициенты матрицы А(1) зависят от времени (параметра), могут использоваться естественные операции поэлементного дифференцирования и интегрирования, А(1) = ]ач(1)], / А(1) Ж = [/ очЯ А1~ . При этом очевидны стандартные свойства: — ]А+В] =А+В, А А1 — [АВ] = АВ+ АВ. А1 Дифференцирование тождества А(1)А ' я 1 приводит к дА, ИА' — А '+А — =О, аг Ж что означает ° ООРатнав матРица А ' имеет элементами (-1)'+гМ, / бег А, где Мч допол- нительные.миноры элементов а» матрицы А.

° оегА = (-!)'+'о»м»+ ое1А», где матрица А» получается заменой в А элемента а» нулем. ° Матрица Валдермалда А=]оо]=]Л', '! имеет определитель Цег А = П(Лг — Л;). пч ° Если матрица А содержит нулевую подматрипу р х а, и р+ д > и+ 1, то А вырождена. (?) ° Если гапкА = 1, то найдутся такие векторы и и и, что А = це*. ° Матрица ранга й всегда есть сумма й матриц ранга 1. Если ранг и х и матрицы А меньше и, то однородное уравнение Ах = О имеет ненулевое решение е, Глава 3 Линейные преобразования 3.1. Замена координат Изучение матриц в отрыве от геометрических представлений сильно меняет краски, и взгляд на матрицу как на линейный оператор начинает казаться если не откровением, то изобретательным ходом.

На самом деле понятие линейного оператора «первичнеем Естественное изучение функций нескольких переменных, у = 1(л), в первую очередь обрашает внимание на простейший тип линейных преобразований — характеризуемых свойством 1(ах + Ву) = а1(к) + В1(У) каковыми и оказываются ') 1(к) = Ах. При изучении же функций эффективным инструментом служит переход к другой (более выгодной) системе координат. Например, перенос начала координат преобразует у = х + Ва + у в и = а, а вращение осей координат сильно 2 2 упрошает запись кривых второго порядка (глава )), Аналогичные выгоды можно извлечь и в п-мерном случае.

При переходе к другой (штрихованной) системе координат с помошью невыроз)сденной матрицы Т: ш=Тх, соотношение и = Ап после подстановки и = Т~и, п = Тп' превращается в Тп' = АТи', что в результате умножения слева на Т ' переходит в и' = Т 'АТи' на основании чего можно утверждать, что в новой системе коорди- нат линейному оператору А соответствует матрица (3.1) А=Т АТ и ) Без дополнительного требования непрерывности линейные функции могут быть разрывными — см., например, (3). 3.1. Замена координат (е„...„е„) и (Г,,...,Г„), и Г через е выражается линейно: с Гг — — лнег +... + лые„, Г, = яме, +... + я„„е„.

(3.2) Допустим теперь, по х, обозначает координату точки х в базисе (е), а х';— е базисе (Г). Подставляя Г; из (3.2) в г г х = х е, +... + х„е„= хД +... + х„Г„ и приравнивая коэффициенты при е„— после раскрытия скобок и приведения подобных, получим < г г хг = лпхг+" +лых г У х„= лых, +... + л х„ т.е.

х = Я'х' и, соответственно, х' = (Я') 'х. Другими словами, если связь между базисамн определяется матрицей Я вЂ” в смысле (3.2), — то связь между координатами х = Тх осуществляет матрица Т = (Я') '. Замечание. Далее будут рассматриваться ортоголальлые матрицы, которые осу- ществляют поворот векторов, не меняя их плицы. Для таких матриц Я транспо- нированная является обратной, Я' = Я '.

В этом случае получается Т=(Я') ' = (Я ') ' = Я. Полииомы. Если А' = Т 'АТ, то В = А2 в новой системе координат: В'=(А) =Т ~'АТ-Т гАТ=Т гА Т. То же самое можно сказать по поводу любой другой степени Ай (Ге = 2, 3,...), а также по поводу любого матричного полинома )г(А) = А +'Уй-гА + ° "+Тб1, зг Избегать трудностей — другая игра, которая лишь выглядит более разумной. Если начинать не с замены координат, а с замены базисов — простота несколько рассыпается.