Босс В. - Лекции по математике Том 3. Линейная алгебра, страница 5

Ее градиент Рис. 1.14 д7 дУ '( дх' ду ) Поэтому касательная плоскость к поверхности а = т(х, у) в точке (ам хо, уо) определяется уравнением 1.7. Геометрические задачи Расстояние до плоскости. Пусть плоскость задает уравнение г а = б. Если т разложить по взаимно перпендикулярным направлениям !б) На самом деле — лаа уравнения. 33 1.7. Геометрические задачи г = т, + ть„становится ясно, что минимальная длина у т будет в случае гь = О. Таким образом, расстояние от начала координат до плоскости равно !!т(! ю = (та! = — . (б! ((а(! Расстояние от произвольной точки Ь определяется так же — после переноса в Ь начала координат, что достигается заменой т = г'+ Ь, и в итоге дает величину (б — а Ь(/((а(!.

Если требуется не само минимальное расстояние, а ближайшая к началу координат точка (на плоскости), то лля ее определения надо решить систему из двух векторных уравнений: г а = б и г х а = О, что равносильно гз, =О. При нежелании иметь дело с векторами — можно рассматривать координатную запись задачи. я'+ у'+ л' -ь ш1п, ак+ ру+та = б, которая легко решается методом множителей Лагранжа (см. [4, т. 1!). Расстояние до прямой.

Разнообразие возможностей здесь определяется вариантами задания прямой, которые легко сводятся друг к другу. В варианте (1.23), т. е. т х а = с, ближайшая к началу координат точка на прямой определяется системой уравнений тха=с, г.а=О. Находя решение и вычисляя длину соответствующего вектора г, получаем расстояние до прямой (от начала координат). Если сама ближайшая точка не нужна, то расстояние определяется совсем просто. Раскладывая г по взаимно перпендикулярным направлениям г = гав+ т„„в ближайшей к началу координат точке ° *.~",.нц=~ы «----" -*:ИБ Скрещивающиеся прямые. Пусть имеются две прямые, описываемые уравнениями гха=А, ахЬ=В, где векторы г и в лежат, соответственно, на первой и второй прямой.

Умножая первое уравнение скалярно на Ь. второе — на а, имеем (гха) Ь=А Ь, (ахЬ) а=В а, Глава 1. Аналитическая геометрия 34 или равносильно ~п г (а х Ь) = А . Ь, а (Ь х а) = В а. Последние два уравнения при сложении дают (г — в) (а х Ь) = А. Ь+ В а, Это означает, что проекция вектора г — а на направление (а х Ь) постоянна. Поэтому длина (норма) г — а будет минимальна, когда (г — а) (! (а х Ь). В этом случае ()г — а)! ()а х Ь(! = ()А Ь+ В а((, откуда (минимальное) расстояние между прямыми равно !(А Ь+В а(! !(а х Ь!! При А Ь+ В а = 0 прямые пересекаются.

Чтобы найти сами точки г и а, на которых достигается минимум расстояния, надо решить систему трех векторных уравнений (г — а)х(ахЬ)=0, гха=А, ахЬ=В. Частные задачи. ° В ряде случаев полезна следующая формула для двойного векторного произведения 'а) Вот одно из полезных следствий: п х (Ь х п) = Ь вЂ” п(п Ь), если п п = 1, что приводит к формуле Ь=п(п Ь)+п х (Ь хп), ))п(! = (, которая дает разложение Ь на две составляющие — параллельную и перпендикулярную единичному вектору п.

° Координатно-векторное мышление «переворачивает» и упрощает почти любую геометрическую задачу. Вот, например, как выглядит векторное доказательство известного факта: если диагонали четырехугольника АВСР делят друг друго пополам, то АВСР— параллелограмм. ~7) Поскольку смешанное произведение а ° (0 х е) не меняется при циклической перестановке аектороа (и меняет знак прн — не циклической) — объем параллелепипеда тот же самый. знак опрелеляет ориентация.

п~ Мнемоническое правило: абэцз равно бац минус цабк 1.8. Кривые и поверкности второго порядка 35 Пусть а, Ь, с, с! — радиус-векторы, соответственно, вершин А,В,С, Р. По условию ! ! — (а+с) = — (Ь+в!, 2 2 откуда следует Ь вЂ” а = с — г1, т.е. стороны АВ и СР равны и параллельны. Ь Уирюкиеивя ° Пусть а, Ь, с — радиус-векторы вершин треугольника АВС. Тогда вектор л=ахЬ+ахс+Ьхс равен удвоенной площади стАВС и перпендикулярен плоскости, в которой лежит треугольник. ° Уравнение хех+ усу + лел = В г определяетплоскостгь касающуюся сферы х'+р'+а~=Я~ вточке (хе,ре,хе]. ° Пусть о, Ь, с — радиус-векторы вершин треугольника АВС. Тогда радиус- вектор точки пересечения биссектрис равен аВС+ ЬАС + сАВ ВС+ АС+ АВ где ВС, АС, А — длины соответствующих сторон, а+Ь+с ь = — точка пересечения медиан, 3 а Га А + Ь И В + с Га С г= — точка пересечения высот.

В А + гв В + га С 1.8. Кривые и поверхности второго порядка Уравнение на плоскости А~'+ гВ(ц+ Сц' = Р поворотом осей координат сов р — а)п р х приводится к виду А'х + 2В'ху + С'у = Р. Глава 1. Аналитическая геометрия 36 При этом выбором угла 1р всегда можно обеспечить 'э) В' = О.

Варианты в результате считаются на пальцах одной руки. Вырожденные случаи, когда одна из констант А', С' обращается в нуль за), малоинтересны. В остающихся вариантах получаются эллипс и гипербола. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса Х2 у2 — + — =1, п2 Ь2 а>Ь>0 На рис. 1.15 изображена соответствующая геометрическая фигура. Величины а и Ь равны длинам большой и малой полуосей. В случае а = Ь получается окружность. Эллипс обладает рядом замечательных свойств и может быть охарактеризован как: Рис.

1.16. Эллипс Р= Р 1+своз)з где р — факальпый параметр, равный половине длины вертикальной хорды, проходящей через фокус. 19г Принять на веру или проверить — каждый решает сам. Хорошо (плохо) и то, и другое. Проверки изощряют навыки, но замедляют хол. Вера, как воздушный шар, бьютро возносит в облака, но отрывает от Земли. Ю) Это соответствует ситуации дег [ ) =вез [ ~,1 =о.

° Множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до фокусов Р,, Р, постоянна и равна 2а. Расстояние между фокусами — 2с, где с = аз — Ьз. ° Кривая, получаемая в пересечении кругового конуса с плоскостью. Оптическое свойства: световой луч, исходящий из одного фокуса, после отрюкения от эллипса проходит через другой фокус. Отноюение е = с/а называют эксцептриситетом эллипса. В полярных координатах р, уг эллипс описывается уравнением 1.8. Кривые и поверхности второго порядке 87 Пространственное обобшение — злаилсоид.

Уравнение хз — + — + — =1 а2 Ь2 с2 Пзпербола. Гипербола — плоская кривая, х2 у2 — — — =1, а2 Ь2 Характеризуется как геометрическое множество точек плоскости, модуль разности расстояни» которых до Р, и Рз постоянен и равен 2а. При а = Ь асимптоты взаимно перпендикулярны. Если их принять за координатные оси, — урааненне гиперболы трансформируется а р = й/х.

Пространственное обобшение— гилербсиоид. Уравнение: хз рз — +— 02 Ь2 Рис. 1.16. Гипербола 2 — — = 2 с2 как и эллипс, представляет собой сечение конуса плоскостью. На рис. 1.1б изображена соответствующая геометрическая фигу- а ра. Имеет две асимптоты у = ~ — х. Расстояние между фокусами Г2, Ь Г2 — 2с, где с2 = а + Ь2. Глава 2 Векторы и матрицы 2.1. Примеры линейных задач Изучать абстрактную науку удобнее, имея в голове несколько содержательнык задач.

Конечно, преодолевать отвращение к конкретике нелегко, но это потом окупается. Модель производства. Пусть х обозначает интенсивность у-го технологического процесса, ໠— количество г-го продукта, производимого (в» > 0) или потребляемого (о» ( О) при единичной интенсивности 2-го технологического процесса.

Суммарное производство (потребление) з-го продукта определяется суммой у; ="~ а»х;, а=1,...,пз. (2.1) На этом фоне могут решаться задачи оптимизации типа з с,у< — г пшх. Межотраслевой баланс. Имеетса и отраслей, з-я отрасль выпускает з-й продукт в количестве х;. На выпуск единицы з-го продукта в системе затрачивается а» > 0 елиниц т-го продукта. Понятно, что при выпуске набора х = (х,,..., х„) чистый выпуск з-го продукта равен у;=х; — ~ а»х. 1 Вопрос о продуктивности модели, таким образом, сводится к пало:кительной разрешимости системы уравнений '1 хг — 2 а»ху=у» з=1,...,п. 1 11 Толи при любом, то ли при некотором наборе у > О. Как оказывается, существование продуктивного плана х > О яри некотором у > О достаточно лая существования решения х >Π— при любом у >О.

39 2.2. Векторы з)заиспортиая задача. допустим, имеется и пунктов, в которых производится и потребляется некий вид продукта (хлеб, например). Из т-го пункта в З'-й продукт перевозится в количестве х; . Естественно, что из т-го пункта нельзя вывезти больше продукта, чем там производится: 2 хи < Р„а в У-й пункт надо 1 завозить не меньше, чем там потребляется Х~~ хи > С., 1 Если цена перевозки единицы продукта из т-го пункта в З-й — равна Ли, обшая задача минимизации транспортных расходов выглядит так.