Босс В. - Лекции по математике Том 3. Линейная алгебра, страница 2

Систему декартовых координат в пространстве задают три взаимно перпендикулярные плоскости, относительно которых положение точки определяется тремя числами аналогично предыдушееМ, х = 1хг, хт, хз). 1.1. Координаты и векторы Точку х = (хм хт, хз) называют также вектором либо радиусом- вектором. Изначально, правда, вектор определяют как направленный отрезок прямой, изображая его со стрелочкой на конце. Однако все векторы, которые одинаково направлены и равны по длине, считаются равными'1, — что„собственно, и позволяет ограничиться рассмотрением векторов, исходящих из начала координат. Сумма х = (хн хз„хз) и у = (ун уз, уз) определяется как что равносильно сложению векторов по правилу параллелограмма, эквивалентом которого является правило треугольника.

Преимущества последнего выявляются при сложении нескольких векторов (рис.1.2): каждый следующий слагаемый вектор приставляется началом к концу предыдущего — замыкающий вектор дает сумму. Вычитание выводится из сложения: Ь вЂ” а определяется как вектор, который в сумме с а дает Ь. Этому соответствует простой геометрический трюк: начала а и Ь совмещаются, а концы соединяются отрезком, направленным к Ь, что и дает разность Ь вЂ” а (рис.

1.2). Рис. 1.2 Умножение на скаляр Л, Лх = (Лхн Лх1, Лхз), растягивает (!Л! > !) или сжимает (!Л! < 1) вектор х, не меняя направления при Л > О, и меняет его на противоположное при Л < О. ' Это характерно дхд идеологии свободных векторов, которвл удобна в геоиегрических задачах. 12 Глава 1. Аналитическая геометрия Вектор иногда определяют как направленный отрезок, но тогда в пограничных ситуапиях возникают проблемы. Скажем, врашение около некоторой оси на угол уг — вектор или не вектор? С одной стороны, ему можно сопоставить направленный по оси отрезок прямой длины р, но это не решает проблему.

Неприятность заключается в том, что вращения около разных осей не складываются по правилу параллелограмма, — и это приводит к отрицательному ответу на ис- 2) ходный вопрос. Поэтому в подобное определение вектора необходимо добавить требование, чтобы векторы складывались по правилу параллелограмма. В данном контексте речь идет о математических объектах вида х = (х), х), х)1, которые складываются «как надо по определению. Что касается правил сложения сил, моментов, потоков и других физических величин, — это задача другой епархии.

«Второе дио». Идея декартовых координат проста до гениальности, но громоздка, — и поначалу возникает впечатление, что векторные понятия нужны для краткости. Это лишь половина правды. Геометрия имеет «некоординатный» характер, и ее координатное описание часто уводит мысль в ложном направлении. Векторный язык точнее отражает суть геометрических свойств, что обнаруживается на каждом шагу. Векторы, лежащие на одной прямой (одинаково или противоположно направленные), называют коллинеарными; лежащие в одной плоскости, — компланарными.

Говорят, что векторы з) (х),...,ха( линейно зависимы, если сушествуют такие коэффициенты Л),..., Ла, не все равные нулю, что Л)х) + ... + Лака = О. В противном случае говорят о линейной независимости векто- ров (х),..., хьт. Коллинеарные векторы всегда линейно зависимы. Компланарные — линейно зависимы, если их больше двух. (?) Линейно независимое множество (е),ез, е)1 в пРостРанстве считается базисом, если любой вектор х можно представить в виде 2) Склалываюгся по правилу параллелограмма бесконечно малые вращения, что влечет за собой векторную природу угловой скорости (3~.

я Как правило, векторы с индексом выделяются жирным шрифтом. чтобы отличить их от координат. 1.1. Координаты и векторы линейной комбинации х = х1е1 + хзе2 + хзез. Величины х1 называют координатами точки х б лез. Стандартный базис Лз (единичные векторы, орты, (е1, е2, ез) направлены по осям декартовых координат): (1.1) Подготавливая плаидарм для линейной алгебры, естественна нумеровать аси координат и орты (ем ез, ез), чта потам облегчает следующий юаг — тройка увеличивается да и, и обобщение готово. На в обычном пространстве более удобна и привычны другие обозначения: аси координат я, у, з; соответствующие орты 1, 1, й, — чему далее отдается предпочтение.

Упрюквевия 1. Из векторов о, Ь, с можно сложить треугольник, если о+ Ь+ с = О. 2. Любые три вектора на плоскости либо четыре — в пространстве, — линейно зависимы. 3. Любые дра не коллинеарных вектора и, Ь определяют плоскость'1, все точки которой могут быть записаны в виде г = Ло+ рЬ. 4.

В случае Л+ и = 1 точка г = Ло + рЬ лезкит на прямой, проходящей через канны векторов а и Ь. При дополнительном условии Л, и > О точка г = Ло+ рЬ лежит на отрезке. соединяющем о и Ь. 5. Если и, Ь, с — радиус-векторы вершин треугольника АВС, то 1 г = -(о+ Ь+с) 3 является радиусом-вектором точки пересечения медиан. Проекция аб вектора а на вектор (направление) Ь определяется формулой аб = а сод уз 4) Проходящую через трп точки: нуль, а и Ь '1 :] =[ =[ '] Глава 1. Аналитическая геометрия 14 где (о — угол между векторами а и Ь (рис. 1.3), не важно по малой или большой дуге измерен- ный — в силу соз (й = соз (2я — гр). Проекции ал, ар, ал на декартовы оси х, т(„д представляют собой координаты вектора а.

оь Рмс. 1 «3 При дальнейшем развитии теории важным оказывается делех ние систем координат на две категории. Прямоугольную систему х Охрд называют правой, если буравчик при вращении от х к у движется вдоль д — рис.!.4а, и левой, если ось д направлена противоположно — рис. 1.4 б. Рис.

1.4 х, Рис. 1.5 В общем случае ле лрямоугольимх координат лонятие ориентации опирается на следующее определение. Унорлдочеялал тройка нехомлланарнмх векторов в, Ь, с, исходящих из точки О, называется лрат)й, если для наблюдателя, раслололгеиного е нуле, обход концов в, Ь, с е указанном порядке щюисходит ло часовой стрелке.

В лротиеном случае тройка о, Ь, с — левая. Соответственно классифицируются базисы. 5) Операция разложения вектора по заданным направлениям известна со шкалы (разложение снл, скоростей на несколько составляющих — две на плоскости, три а пространстве), и заключается в построении подходящего параллелограмма (либо параллелепипеда) с последующим представлением диагонали в виде векторной суммы сторон. Косоугольные координаты. Иногда декартовой называют косоугольную систему координат общего вида, в которой координаты определяются разложением вектора' ) — рис.

1.5 — по двум (на плоскости) или по трем (в пространстве) направлениям, которые не обязательно взаимно перпендикулярны. Атрибутом «декартовости» при этом является наличие базиса. Примером не декартовых координат могут служить (нелинейные) полярные координаты (вектор характеризуется длиной г и углом р с выделенным направлением). ° С г 1 1.2.

Описание геометрических обьектое 15 Если не аюварвна противное, пад двкартавыии — подразумеваются далее пряиаугальные каардинаты. 1.2. Описание геоиетрических объектов На плоскости с декартовыми координатами х, у уравнение х +у =т описывает окружность радиуса г с центром в начале коорди- нат — рис.1.ба. Хорошо известно также, что графиком функции у = гсх+Ь служит прямая линия — рнс.!.бб. Уравнение прямой обычно записывают в симметричном виде б) Рмс.

1.6 Аналогичное уравнение в Вз (1.2) описывает плоскость. »Школьный вариант» освоения этих уравнений довольно неуклюж, но он выполняет определенную зааачу установления контакта с подсознанием. Проблема ведь заключается в том, чтобы сначала понять суть не умом, а нутром. Для этого строится прямая у = к+ 1, затем у = 2к — 1, потом у = -я+ 3. На каком-то этапе подсознание начинает злиться на однообразие — и тогда уже все примеры можно зачеркнуть, оставив одну запись у = кк + б. Что касается плоскости, то ая + бр+ тя + д = О егде не конец пути. Беда в том, что язык описания кое-что не ухватывает. Новую точку зрения дает понятие скалярною произведения векторов.

Глава 1. Аналитическая геометрия Скалярное произведение определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними ь) (рис. ).7), (1.3) Другими словами, ху (точко в обозначении скалярного произведения часто опускается) есть произведение длины х на проекцию вектора у на вектор х, т.е. 2л— У Рис. 1.7 для обозначения скалярного произведения используется также более громоздкая, но иногда полезная запись (х, у).

Скалярное произведение удовлетворяет обычным свойствам умножения: ху =ух (комыутативность), Х(у + Х) = Хр + ХХ (дистри0утивный закон). Второе вытекает из равенства проекции суммы векторов — сумме проекций. Отметим попутно, что длина ~а~ (еше говорят — норма, и пишут Йа8) вектора а = (а„ау) по теореме Пифагора равна (рис. 1.8) !1а!! = ~/ах+аз Рис. 1г8 т. е.

а = а а = а2 + а . х у' В пространстве, соответственно, и Из-за четности и периодичности косинуса, сов(2к — р) = совр, — ие важно, как измеряется угол. 17 1.2. Описание геометрических обьектов откуда (ю ж Ь)' = (ю, ж Ь,)' + (ат Ь Ь„)' + (ю, ж Ь,)', что приводит к (ю+ Ь)' — (ю — Ь)' ю Ь= 4 = ю,Ь, + а„Ь„+ ю, Ь,. Последнюю формулу (1.4) иногда принимают за исходное определение скалярного произве- дения, выводя (1.3) в качестве следствия. Произведение ю Ь = ~ю(. (Ь~ соз р отражает широко распространенный в природе способ взаимодействия векторов, характеризуемый умножением длины одного вектора на проекпию другого: (ю(Ь,.