Босс В. - Лекции по математике Том 1. Анализ

ББК 22.161я73 Босс В. Лекции по математике: анализ. — Мл Едиториал УРСС, 2004. — 216 с. 1БВ1»2 5-354-00773-9 Ингатеаьстнг Елнторналг УРСС». 117312, г. Москаа, пр-т 60-летня Октября, 9. Лапен»на НД 9005175 от 25.06.2001 г, Подписано к печати 2904,2004 г. Формат бек 90/16. Печ. л.

13,5. Зак. 90 3-1358/547. Отпечатано а тноографнн ООО *РОХОС . 1!7312, г. Моск»а, пр-т 60-летпя Октября, 9, 1ВВ1»75-354-00773 †© Едиториал УРСС, 2004 2818 Ю 21377 11 1111 1111 ! 785354 007738 Книга отличается краткостью и прозрачностью изложения, вплоть до объяснений «на пальцах». Значительное внимание уделяется мотивации результатов н укрупненному вйдению. В первой части дается обширный материал стандартных курсов математического анализа. Во второй, «необязательной», части излагаются — в стиле обзоров и очерков — примыкающие к анализу предметы: аналитические функции, тополопгя и неподвижные точки, векторный анализ.

«Высокие материи» рассматриваются на доступном уровне. Книга легко читается. Для студентов, преподавателей, инженеров и научных работников. Оглавление Предисловие Глава 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 9 9 11 11 14 16 17 Часть 1 Анализ 19 20 20 22 23 26 и Гейне — Бореля .. 28 30 33 35 39 41 41 44 46 47 49 51 54 Глава 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 Глава 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 Предварительные сведения Комбинаторика Бином Ньютона Многочлены Комплексные числа Показательная и логарифмическая функции . Множества . Последовательности и пределы... Стартовые понятия Теорема о трех собачках .

Критерий Коши Число е и другие пределы . Леммы Больцано — Вейерштрасса Предел функции Непрерывность Числовые ряды Гипноз и математика . Дифференцирование........ Производная .. Правила дифференцирования . Зачем нужны производные . Вывод формул Дифференциалы Теоремы о среднем . Формула Тэйлора . Оглавление 3.8 3.9 3.10 3.11 56 59 61 64 Функции тз переменных Интегрирование . 99 Йгава 4.

4. 1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. 4. 11. 4. 12. 4.13 4. 14. 4. 15 4.16 4. 17 Пыва 5. 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. 5.7. 5.8. 5.9. 5.10. Монотонность, выпуклость, экстремумы Дифференциальные уравнения....... Раскрытие неопределенностей Контрпримеры Пространство и измерений Подводные рифы многомерности ...........

Предел и непрерывность . Повторные пределы Частные производные и дифференциал....... Дифференциалы высших порядков и ряд Тэйлора Градиент .. Теорема о среднем Векторнозначные функции Линейный анализ . Эквивалентные нормы . Принцип сжимающих отображений Неподвижные точки разрывных операторов.... Дифференцирование оператора Обратные и неявные функции Оптимизация Множители Лагранжа Определения и общая картина .....

Уточнения и формальности Теоремы о среднем Приемы интегрирования . Дифференциальные уравнения..... Несобственные интегралы Интегралы, зависящие от параметра . Двойные интегралы Кратные интегралы Механические задачи бб 66 68 69 71 74 76 77 79 79 81 84 86 87 88 90 92 95 .. 99 ..104 107 108 ..110 113 ..118 120 124 126 Оглавление Глава 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 .129 ...129 .131 ...133 136 ...139 Часть 11 Обзоры и дополнения 141 ...142 .142 .144 ...147 .149 .153 ...154 ...159 159 161 163 167 170 ...173 ...177 ...179 179 ...181 182 183 184 .... 186 187 188 ...189 Глава 7. 7.1.

7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 Глава 8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 Глава 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 Функциональные ряды Равномерная сходимость .. Степенные ряды Ортогональные разложения Ряды Фурье Интеграл Фурье Элементы векторного анализа Координаты и ориентация Векторное произведение Кинематика . Дивергенция Оператор Гамильтона Циркуляция .

От числа к функциональному пространству . Вещественные числа . Проблемы бесконечности Характеризация множеств Мера Лебега . Аксиома выбора Функциональные пространства........ Теорема Жордана и парадокс Брауэра ... Топология н неподвижные точки . Идеология окугывания Гомотопные векторные поля ........

Основные теоремы . Разрешимость уравнений . Ориентация . Индексы и алгебраическое число нулей Нечетные поля Собственные векторы Обратные и неявные функции Предисловие Сгоагеиое — и дурак лридумает. Михаил Кошкин П Для изучения одного предмета нужны минимум два учебника. Этот факт загадочным образом выпадал из поля зрения, хотя, казалось бы, нет ничего очевиднее.

Любая спираль обучения начинается с двух витков. На первом — происходит знакомство с предметом, которое заканчивается «умением передвигать фигуры» и кашей в голове. На втором — все приводится в определенный порядок. Разумеется, до второй стадии не всегда доходит, но если доходит, то оба процесса тесно переплетаются. Беда в том, что обычные учебники по матанализу ориентированы на первый виток, где требуется «пешее обследование», тогда как для второго нужны книги, обеспечивающие «осмотр с вертолета».

Лекции предназначены как раз для таких итераций учебного процесса. Изложение формально начинается с нуля, но какаято подготовительная работа предполагается выполненной. Первая часть книги — сжатый курс матанализа. Чуть более сотни страниц, но «все есть». Некоторые детали, конечно, опускаются, но это не потери, а приобретения. Сбросив десяток лишних килограммов, человек выглядит лучше, живет интереснее. Так и здесь. Многие подробности мешают видеть суть.

И освобождение от балласта, как ни странно, позволяет обсуждать принципиальные вопросы, на которые в толстых учебниках не хватает места. Вторая часть, «необязательная», представляет собой обзоры и дополнения в стиле очерков, что имеет целью дать представление об окрестностях и может служить основой факультативных курсов. Лекции рассчитаны «на всех». На всех, кто так или иначе изучает высшую математику.

Это может показаться странным, но В Автор авгвнпарного танка Т-34. Предисловие здесь излагается общее ядро. Просто, коротко, без лишних деталей, но с обсуждением мотивов, причин и взаимосвязей. А это, как раз, нужно всем. Разумеется, речь о замысле.

Об исполнении — судить читателю. Во многих отношениях книга нестандартна, но об этом не имеет смысла говорить заранее. Единственное, о чем стоит предупредить, — нетрадиционное использование петита: для расстановки акцентов, соблюдения баланса частей, отражения смысловых перепадов и т.п. Короче, на мелкий шрифт далее желательно смотреть просто как на элемент пейзажа. Наконец, с благодарностью хотелось бы отметить: все ценное, что содержится в лекциях, принадлежит математическому сообществу. Все ошибки, само собой, — автору.

Глава 1 Предварительные сведения Далее приводятся в основном сведения по элементарной математике. Что касается теории множеств и комплексных чисел, то здесь затрагиваются лишь самые азы, которые, по крайней мере в части обозначений и терминологии, широко используются в других сферах.

Подбор фактов частично определяется потребностями следуюших глав. Но главным образом — зто попытка эскизно очерппь идеологический минимум, необхоцимый для изучения анализа. 1.1. Комбинаторика 1.1.1. РЭЗМЭЩЭНИЯ. Число различных вариантов выбора (с учетом норядка) ш нредметов из и нрвдмвтев а,, аз,..., а„равно Действительно, есть н способов выбрать один предмет, т. е. А„' = и. На каждый выбор первого предмета существует н — 1 способов выбора второго (из оставшихся я — 1 предметов) — поэтому А~ = и(и — 1).

И так далее. 1.1.2. ПЭРЭбтЭНОЭки. Число всввозиагкных нврвстановок и нрвдметав а„аз, ..., а„равно «зн факнюриал» По совбрахсенинм удобства нринимается О! = 1. Очевидно, перестановка получается при размещении всех нредмвтов, что и дает А" „= и! 1.1.3. СОЧЭТЭНИЯ. Если ш нрвдметав из ап еп..., а, выбираются бвз учета норядка (складываются в мешок), то число различных вариантов (число сочетаний из и но гн) равно и1 га!(и — га)1 Всевозможные размещения получаются перестановками элементов в сочетаниях. Поэтому А„, = С„'»га1, Глава 1. Предварительные сведения в! что дает формулу дэя С„'", с учетом того, что А~ = (в — ш)! 1.1.4.

Перестановки с повторениями. Пусть имеется в предметов й типов аг ... а~ аг .. аг ... а» " а» т ьг ьь вг + ... + в» = в. Число различных перестановок этих предметов ровно В любой перестановке рассматриваемой совокупности предметов, ничего внешне не меняя, можно в, элементов а, переставить между собой в,! способами, вг элементов а, — вг! способами, ..., в» элементов ໠— в»! способами.