Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969), страница 13

е. совпадают поверхности равных фаз и равных амплитуд, то такое поле называется однородной в о л н он. Если же направления этих векторов не совпадают, то поле называется н еод нор одной волной. Переписывая решение (2-1-1Оа) уравнений (2-1-10) в действительном виде, будем иметги Е=Е е "' соз (от! — и!г). ы (7+ бГ) — [) (г+ Л г) =- от! — ф г — 87— Очевидно, фаза поля имеет одно н то же значение для различных значений г и моментов времени 7, удовлетво- ряющих условию или (2-1-!2) ! пв — — — —, Пааа (2-1.12а) а длина волны 2л 3.10в Г г" (М). аг К !гаса ! ! ар Используя электромагнитные потенциалы, перепишем выражения (1-1-3) и (1-1-4) в комплексной форме: (2-1-13а) Е = — ага д гр — па А; (2-1-14) ! Н =- — го1 А.

!аа Волновые уравнения для электромагнитных потенциалов (1-7-6) и (1-7-7) в комплексной форме имеют вид: ЛЛ+ 6а А= — р„,)"; сг ~р+ йа <~= — — '. аа Здесь вместо ) и р фигурируют 1" и р", как это следу- ет из (2-1-5) и (2-1-9). геЛ! — !а Ь г=О. Отсюда следует, что значение фаз электромагнитного по- ля распространяется со скоростью дг аг пф — — — - —— —, лг называемой фазовой скоростью.

Очевидно, име- ются точки, где значения фазы в данный момент времени отличаются на 2п. Ближайшее расстояние между этими точками или период в пространстве называется дли- н о й в о л н ы; она определяется формулой й= — = оеТ = — э. (2-1-13) В среде без потерь (а=О) согласно (2-1-11) постоян- ная распространения и фазовая постоянная й=0=О~ вара, фазовая скорость В отсутствии потерь решения этих уравнений в соответ- ствии с (1-7-14) и (1-7-15) имеют вид: А —.. Ж '" л', — — г()г.

(2-1-15а) При наличии потерь в среде )сг — аг г! à — тг] йсге — «г е) ! г — Зг! 4л аа аг (2-1-156) и применяя (Д-З-23), получаем выражение: — 89— Искомое поле Е, Н определяется с помощью выражений (2-1-14) с учетом (2-1-15а) или (2-1-!бб). Если два поля, определяемые векторами Епь Нп! н Епь Нпл создаются сторонними токами с плотностью со- ответственно 3;гг и Яссггп то, проводя с уравнениями (2-1-5) нижеследующие преобразования: (Егч го1 Нн,) = ()та аа Ен>+ Я';и) Еси (Нп, гсй Е„,) = — !та Р„(НФ Н „,) х, 1', ! Нсп го! Егп) = — /ы ра ~Нн, Нов) Ха )га Х,=)', Х,= )г г!редставляющее дифференциальную формулировку л е и м ы Л о р е н ц а, связывающей два электромагнитных поля.

Интегрируя выражение (2-1-!6) по произвольному объему и воспользовавшись (Д-З-ЗО), получим интегральную формулировку леммы Лоренца: ~ ()Е и Н<,,] — (Ейч Нп,1~ Ю = ) 3(1,Есин == ~ 3",, Ео, Л', (2-!-19) Это выражение является формулировкой т е о р е м ы в з а и м н о с т и, согласно которой условия передачи электромагнитной энерпш нз области! в область 2 одинаковы как в прямом, так и в обратном направлениях, если среда линейна и изотропна.

В области, свободной от сторонних источников, уравнения Максвелла (2-1-5) имеют вид: 1 го1Н=!тае,Е, 11 го1 Е =- — (ыр„Н. Нетрудно заметить, что эта система уравнений останется неизменной, если вектор Н заменить на Е, вектор Е на Н, величину е, на — р, и !ы на — ьчи т. е. совершить перестановку вида (2-1-20) Е «- Н, е, «- — !г,. (2-1-21) = ~ ~ 3'„', Е ... — 3,",ч Е„, ~ В~, Распространяя интегрирование на бесконечную область, получим: ( 3'„', Есо й' = ~ 3',.",, Ео, с((~, !2-1-18) Г Г так как очевидно, что при удалении от источника на бесконечность поле стремится к нулю.

Если предположить, что сторонние токи с плотностя' ст ми 3~и и 3г и размещены в непересека|ощихся областях У, и 1'и (рис. 2-!), то выражение (2-1-!8) перепишется в виде Е„=— д" Чэ йи диды Фэ Е„=— й„дидм д' Чь — '— -1-й ф,. дак !миа ~Фэ й„ди — !меа д~~э й„ди (2-1-22) Согласно выражениям (1-7-25), для поперсчно электри- ческого поля получим: !и'Р~ дЧи й„ ди Е ! "~па дЧи йи ди ! д' 1ьи Ои йи дидм — (2-1-23) й, диди Чи 1,,1. Е =0; Эту перестановочную двойственность можно использовать при решении задач электродинамики.

Метод решения, основанный на этом свойстве, называется п р и нципом двойственности. Согласно этому принципу, если известны решения некоторой граничной задачи электродинамики, то, совершив перестановку (2-1-21), получим новые решения, которые будут также удовлетворять уравнени- К У,' ям Максвелла. Однако зти решения будут удовлетворять новым граничным условиям, которые Рис. 2-!. К теореме изин~имети. получатся из прежних путем той же перестаноики (например, там, где ранее касательные составляющие вектора Е были равны нулю, теперь будут обращаться в нуль касательные составляющие Н, и наоборот).

При этом ри миди. Поле, описываемое уравнениями (2-1-20), можно представить как сумму полей поперечио-электрической и поперечно-магнитной структуры. В обобщенно-криволинейной системе координат в среде без потерь составляющие поперечно-магнитного поля согласно (1-7-24) и (Д-5-7а) определяются выражениями: (2-2-8) Здесь (2-2-8а) (2-2-8б) Ро — (е,"Е~+и Я) (2-2-5) (2-2-10) (2-2-6) (2-2-11) (2-2-7) — 92— В выРажсниЯх (2-1-22) и (2-1-23) функпии ч)оо и ф„ являются решеннямн уравнения, которое согласно (1-7-23) имеет вид: — — — ~ — ' — ф)-1- — ~ —" — ~))+йочр = О.

(2-1-24) 2"2. БАЛАНС ЭНЕРГИИ МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ Уравнение баланса энергии (1-6-1) для монохроматического полн выводится на основе уравнений (2-1-5) и символического метода для квадратичных соотношений (Д-5-!3), (Д-5-14). Действительно, умножив скалярно уравнение, комплексно сопряженное уравнению 1 системы (2-1-5), на Е, а уравнение П на Но н проведя те же преобразования, что и при выводе уравнения (1-6-1), почучим: д)т ~Е „Н*1 + 1та ( р, Ое — е, 'Е„') + (,!"* Е ) =- О.

(2-2-1) Введем обозначения: П= — ~Е Й„1 = — — ~Е*„Н 1. (2-2-2) — комплексный вектор Пойнтинга, определяющий плотность потока комплексной мощности, проходящего через поверхность 5, ограничивающую исследуемый объем У; П, = йеП. (2-2-3) — плотность потока действите.чьной мощности, проходящего через поверхность 5; П,=ЛпП. (2-2-4) — плотность потока реактивной мощности, проходящего через поверхность 5; плотносчь действительной мощности в объеме У; — плотность реактивной мощности в объеме У; р" == — ( );„" Ео,) 2 — плотность комплексной мощности сторонних источников в объеме У.

Перепишем уравнение (2-2-1) в виде п(у П+ 1Р. +Ро + Р нли в интегральной форме, с учетом (Д-3-30): ~ ПЙ5+ 1Р,+Р, + Р =-О. Р,= )Р,Б' — реактивная мощность в объеме У; Ро= (р,(У вЂ” действительная мощность в том же объеме; Р" = ) р" сЯ=Р,"+1Р" ,(2-28в) й — комплексная мощность распределенных в том же объ- еме сторонних источников; — поток комплексного вектора Пойнтинга, проходящего через поверхность 5. Уравнение (2-2-8) выражает баланс энергии мощности монохроматического поля в комплексной форме. Это уравнение распадается на два, из которых одно состоит из действительных частей Роэ+Р,+ Ро' = О, (2-2-9) а второе — из мнимых частей Р э+ Р, + Р" ,= О.

В этих уравнениях: Р = ~йеПЙ5==~П,д5 3 э — 93— — действительная мощность, проходящая через поверх- ность 5; Р,5 =- ~ Згп П г(3 = ~ П, г( 8 5 5 (2 2-1!а) — реактивная мощность, проходящая через поверхность л; Рс =- ме Р" = ~!Р", 'соз гр (2-2-12) — действительная мощность сторонних источников, распределенных в объеме Р, ==лот Р— (Р !5(пгр (2-2-12а) l — =!' ' ' '" — (2-2-13) Й»г г е (1 — Г1яб ) является комплексной величиной.

Однако если 1пб,= =1д дм, т. е. (2-2-14) р, р,=в,е„ * В современной литературе ггействггтетьная мощность назмваетсн «активной». По нашему мнению, более пригоден термин «действгмельнаи» мощность, характеризующий преобразование электромагнитной энергии в другой, иеэлектрпчесинй вид энергии. — реактивная мощность тех же сторонних источников (гр — разность фаз 12' * и Е ) . Уравнение (2-2-9) выражает баланс действительных* мощностей.

Если Ра"'<О, то сторонние источники отдают энергию полю; если Рог')О, то, наоборот, отбирают энергпкт у поля. Очевидно, условие Ра" <О соответствует сдзг~гг фаз зг~лсд) зстл и Е. оп!зеделяетго>ту пернвснством 3 соз гг-<О нли — «- гр< — л. Условие Р )О соответст- 2 2 О вует неравенству сов гр)0 пли — — ' ='гр<— 2 2 Уг>лвненно (2-2-10) выражает баланс реактивных мощностей н характеризует обмен энергией ъгежду полем н сторонними источниками. В общем случае в среде, обладающей потерями (см.

В 2-7) напряженности электрического и магнитного полей не совпадают по фазе н отношение то правая часть отношения (2-2-13) становится вещест- венной величиной Г Гглг еа (2-2-15) (2-2-16) Р Р«т т. е, происходит обмен энергией между сторонними источниками и полем. Однако, если запасенная энергия постоянна во времени, что согласно (1-1-6) возможно прн условии, что электрические и магнитные поля сдвинуты по фазе на п/2 и е„,'Е'„=1з„' Нз«,, то согласно выражению (2-2-8а) с учетом (2-2-6) и выражению (2-2-16) Р =Р'"=-О.

(2-2-1?) При этом обмен энергией между полем и стороннимн источниками отсутствует, а происходит лишь обмен энерпгей между электрическим и магнитном полем. Такой электромагнитный процесс называется э л е к т р и ч еским резонансом. Условия резонанса при данных геометрических размерах изолированного объема и параметрах заполняющей его среды могут быть получены путем подбора частоты (резонансная частота) нли при данной частоте путем подбора размеров объема (резонансный объем). и сдвиг по фазе между электрическим и магнитным полями отсутствует.

При этом согласно (2-2-11а) Ргз —— О, согласно (2-2-8а) с учетом (2-2-6) и (2-2-15) Р„=О н, следовательно, согласно (2-2-10) и Р," =О, т. е. обмен энергией между сторонними источниками и полем отсутствует. Условию (2-2-14) можно удовлетворить, подбирая параметры среды или, так как эти параметры зависят от частоты, подбирая частоту. Если объем У изолирован, то Р„з=О и в общем случае согласно (2-2-10). 2-3. ПОЛЕ ПРОВОДА С ПЕРЕМЕННЫМ ТОКОМ В пространстве, окружающем проводник, по которому протекает переменный ток, возникает электромагнитное поле сложной структуры, в котором вектор Пойнтинга не равен нулю и направлен от провода, т.