Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969), страница 8

(1-6-22) 2 Установившийся процесс (режим) — процесс, происходящий после окончания переходного процесса, т.е. при !>!». С учетом (1-6-9) — (1-6-12а) выражение (1-6-36) для однородной среды можно переписать в виде 1(т, тэ — (гвэ+ шм) «З + — шэ ««'. Отсюда находим, что при однородном распределении поля внутри объема )т время релаксации, т.е. время, в течение которого рассеиваемая энергия убывает в е раз, равно: (1-6-23) 1~а О е, Е' для проводниковой среды можно полагать т» е,/о и для диэлектрической )' Рава тэ 5/'»' Если среда, заполняющая весь объем внутри идеально проводящей оболочки, не обладает потерями, то изменение запаса электромагнитной энергии внутри этого объема происходить не может.

Может происходить лишь периодическое перераспределение ее между электрическим и магнитным видом. Вследствие этого переходный процесс в таком объеме отсутствует. — 49— — 48— 4 — 552 1-7. ВОЛНОВЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Решая совместно уравнения 1 и П системы (1-4-9), получим уравнения в частных производных второго порядка, в каждом из которых будет либо Е, либо Н. Действительно, взяв го1 от уравнения 11 и подставив в него го1 Н из уравнения 1, получим; д ( дет го1 го1 Е= — р,— ~3+а,— ).

д( ~ д( (1-7-1) Используя формулу векторного анализа (Д-З-!8), получим: — ЛА+ е, и, — + ф1ОА+р, в„— =9„3. (1-7-3) д'А ( дф) дм ~ д( ( Это векторное уравнение эквивалентно трем скалярным, связывающим четыре скалярные величины А; н ф и определяющим все шесть проекций векторов Е и Н. Так как эти три скалярных уравнения связывают четыре величины, то в определении последних допустим некоторый произвол.

В связи с этим вводится дополнительное, так называемое калибровочное соотношение, обращающее третий член левой части выражения (1-7-3) в нуль, т. е. д А+ в, р, — = О. дф (1-7-4) д( Это условие исключает неоднозначность в определении А и ф, соответствующих одному и тому же полю. Действительно, два поля физически тождественны, если они Учитывая формулу (Д-3-18) и уравнение 1П системы (1-4-9), получим: д~Е дз ! ЛŠ— Н,е,— = р, — + — агабр.

дм д( Аналогичным путем получаем: ЛН вЂ” р, е, — = — го1 3. д'Н (1-7-2) дм Найдем теперь аналогичные уравнения для потенциалов А и ф. Подставляя в уравнение 1 системы (1-4-9) выражения (1-1-3) и (1-1-4), получим: д ( дА го1 го1А=р, Ю+р,е,— ~ — — — пгабф~. ' 'д(~ д( А'=А+дгас11; д( д( (1-7-5) где 1 — произвольная функция от координат и времени, находим, что Е и Н ве изменятся, т. е. преобразования потенциалов вида (1-7-5) не изменяют поля; такая инвариантность называется градиентной.

Используя (1-7-4), перепишем выражение (1-7-3) в виде уравнения, содержащего только векторный потенциал: д~А ЛА — р,е,— = — р, 1. д(Р (1-7-6) Аналогичное уравнение для ф найдем подстановкой (1-1-3) в уравнение П1 системы (1-4-9), т. е. д — ф А — Лф= — р,'е,. д( Подставляя значение ~(А из (1-7-4), получим: Лф — р,е,---. = — — —. дф р (1-7-7) дм Потенциалы А и ф, удовлетворяющие условию (1-7-4), могут быть выражены через вектор У вЂ” п ол я р и з ацнонный потенциал или вектор Герца: дк А = р „з,. —; ф = — ГНУ Х.

д( ' (1-7-8) Подставляя эти выражения в уравнение (1-7-6) или (1-7-7) и интегрируя, получим: УХ 1 ЛУ,— „...— = — — Р, дм (1-7-9) где Р= 1И1. Подставляя выражения (1-7-8) в (1-1-3) и (1-1-4), получим: характеризуются одними и теми же векторами Е и Н. Если заданы потенциалы А и ф, то, согласно (1-1-3) и (1-1-4), однозначно определены Н и Е, а значит, и поле. Однако одному и тому же полю могут соответствовать разные потенциалы. Подставляя в (1-1-3) и (1-1-4) выражения Е= — а, р, — + пгаб Йч Х; дэк д12 (1-7-10) д Н=аа го1 Х, дГ Е= го! го1 Х вЂ” —, р аа (1-7-!Оа) Н = а„— го( Х. д дг Сравнивая уравнения (1-7-1), (1-7-2), (1-7-6), (1-7-7) и (1-7-9) для напряженности поля Е и Н, потенциалов А и 1р и вектора Герца Х, видим, что все эти уравнения имеют общий вид ьр — — ' — "" = — х, Ф дп где т — различные функции 3, р, Р, а аа Ма Уравнение (1-7-11) представляет собой уравнение Даламбера (Д-6-1).

При т=О оно переходит в волновое однородное уравнение (Д-6-2) (1-7-11) ЛР— — —.=О, 1 д~к а' дг". (1-7-13) при решении которого используется метод. Фурье (Д-6-12) . Решение уравнения (1-7-11) дается выражением (Д-б-б). Если плотность тока 3ФО или плотность зарядов р4=0 только в некотором ограниченном объеме г' и равны нулю во всем остальном пространстве, окружающем этот объем, то решениями (1-7-6), (1-7-7), (1-7-9) будут: А и.

('з(~ — 1.1 „, 4я „1 (1-7-14) Здесь Е и Н выражены через одну векторную величину Х. Эти выражения, согласно формуле (Д-3-18), с учетом уравнения (1-7-9) можно представить также в следую- щем виде: о = = 3 10' [мюек). 1 ) р.е, (1-7-17) Для квазистационарного поля г1о — О, вследствие чего числитель в подынтегральных выражениях (1-7-14)— (1-7-16) превращается в функцию только времени. В случае стационарного и статического полей этот числитель является постоянной (не изменяющейся во времени) величиной. (1-7-!6) Здесь интегрирование производится по всему объему Р, внутри которого находятся источники поля. Эти выражения называются з а и а з д ы в а ю щ и м и п о т е н ц и а л а м и.

Они показывают, что значения потенциалов и вектора Герца в момент времени 1 и на расстоянии г от источника поля, занимающего объем определяются значениями плотности заряда или тока, г возбуждающих поле в момент времени 1 —, предшествующий наблюдению, где г/о — время, необходимое для распространения поля от источника до точки наблюдения, а о — скорость распространения поля, определяемая выражением (1-7-12). Запаздывание во времени можно выразить с помощью б-функций (Д-6-бба).

При этом выражения (1-7-14) — (1-7-16) будут иметь вид: А= ~' ( ~ — б(Г + — — г) Л'г(!', (1-7-14а) г г ~р = — ! ( — бй'+ — — 1) А'й', (1-7-1ба) Х = — 1 1 — б(1' + — — 1) с(г'Ж'. (1-7-16а) 4яаа,~ ! г 1 а Из формулы (1-7-12) следует, что скорость распространения электромагнитного поля в вакууме принимается равной Составляющие поля в обобщенной криволинейной системе координат.

Для среды без зарядов и токов уравнение (1-7-9) имеет вид: ди д ЛХ вЂ” р,е, — =О, дж (1-7-9а) а поле согласно (1-7-1Оа) определяется выражениями Е = го1го<Х; Н = е,— го1Х. д дг (1-7-1Об) Все шесть составляющих векторов Е и Н можно выразить через три составляюп<ие поляризационного потенциала Х. Так как согласно формуле (Д-3-18) го1 ига<(<Р= =О, то одному и тому же электромагнитному полю, определяемому векторами Е и Н, будет соответствовать не только вектор Х, но и вектор Х' = Х вЂ” ига<) ф, и вторая составляющая действительно ортогональна первой.

Тогда Х= <р,е„+ го((<р„'е ), где ф, н <р'и — произвольные функции. Поле векторов Е и Н можно представить как сумму двух полей Е=Е<о+Е<м, Н=Н<п+Н<эь — и†где <р — произвольная функция. Векторы Х, Х' и дга<(<р удовлетворяют однородному волновому уравнению вида (1-7-9а), поэтому люоую из проекций вектора ига<(<р можно выбрать так, чтобы она равнялась соответствующей проекции вектора Х. Следовательно, вектор Х', дающий то же поле, что и вектор Х, может иметь только две составляющие. Пусть в обобщенной ортогональной криволинейной системе координат и, о, и< одна из составляющих вектора Х определяется функцией <р,е„(п< может быть любой координатой д«, 1и или дз).

Вторую составляющую удобно представить в виде го1 (ф' е„,). В этом случае согласно формуле (Д-3-21) го1 (<р„' е ) = ф„го1 е + [дга<(<р„' е ~ = ~ага<1 <р„е 1 д < 1 д — ° д< ~Ь,Л„<Ъ д < 1 д д< ~ «и ай ди Л =- О. (1-7-20) Согласно первому выражению (1-7-10) и формулам (Д-3-48) и (Д-3-47), составляющие электрического поля: где поле Е<о, Н<п определяется составляющей ф,е и по- ле Е<л, Н<,; — составлявшей го1 (<1, е„). Согласно выра- жениям (1-7-10б), Еп, =- го1 го1 ( <р, е ); (1-7-18) Н,« — — е, — го( (<р,е ), ~ т, е. вектор Н«, не имеет составляющей по оси ш.

Такое поле называется электрическим или и опере ч н о- м з г нитным и обозначается Е или ТМ. Согласно выражениям (1-7-10), учитывая формулу (Д-3-17), получим: д' Е <„—. — е, 1<, — го1 (<р,', е ), Н „, = е, — го1 го1 (<р,', е ) . д д4„ Вводя обозначение е„= <р„получим: д< Е„, =- — р,— го( (<рие„); Нов = го1 го1 ( <р„е ), т е, век<ор Еп< не имеет составляющей по оси ш Такое поле называется магнитным или поперечно- э л е к т р и ч е с к и м и обозначается Н или ТЕ. Таким образом, полное поле представляется в виде суммы двух полей, одно иэ которых имеет попсречно-магнитную, а другое — поперечно-электрическую структуру.

В обобщенной криволинейной ортогональной систе- ме координат составляющие вектора Н поперечно-маг- нитного поля, определяемые вторым выражением (1-7-10), согласно формулам (Д-3-48), равны; (см. Д-3). При этом в обобщенно-цилиндрической системе «координатой разделения» ю является г, а в сферической г. Кроме того, для удовлетворения уравнениям Максвелла необходимо, чтобы фм и ф, удовлетворяли уравнению (1-7-20а) д'ф — р,и, = О. д! (1-7-23) Это уравнение не является волновым, отличаясь от него первым членом. С волновым скалярным уравнением оно совпадает, если, согласно (Д-3-49), — (дай ) = О.

Последнее условие имеет место для обобщенцо-цилиндрических координат и не выполняется для сферической системы. Окончательно из выражений (1-7-20), (1-7-20а) и (1-7-21) с учетом (1-7-22) получим: для Е или ТМ поля (1.7-21) д 1 1 дайан Н ! эг д! ! ба до а (1-7-24) д' фэ дыа Н„,.=- О, д' эйм диды д' фм двды Н„=-— а 1 Н =— Ла и д' э)м !За а (1-7-25) (1-7-22) Теорема единственности. Урзвнения Максвелла и следующие пз ннх волновые уравнения имеют единственное решение.