Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 6
Текст из файла (страница 6)
е. зг Отсюда на основании выражений (1-3- ) ( -- но написать интегральное уравнение непрерывности тока, выражающее закон сохранения зар д: 1-4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Общ ю математическую формулировку основных законов электромагнитн ний элект о- (1873 г.) в виде дифференциальных уравнений рмагнитного поля.
ти ура . Э равнения, являясь универсальными, позволяют решать все задачи, относящиеся как к по- стоянным, так и к переменным полям, но только до частот, соответствующих волнам, длина которых значительно превышает расстояния между элементарными частицами вещества, заполняющего частично илн полностью исследуемое пространство. Первое уравнение Максвелла, обобщающее закон полного тока, получается из интегрального уравнения (1-3-8) при использовании теоремы Стокса (Д-3-28): го! Н = Я + — .
(1-4-1) дГ В~~Рос УРавнение Максвелла, обобшающее закон электромагнитной индукции, получается аналогичным образом из интегрального уравнения (1-3-9) с использованием теоремы Стокса (Д-3-28): дВ го1Е = — —. дЕ Третье уравнение Максвелла, обобшаюшее закон о прерывности линий электрической индукции, получается из интегрального уравнения (1-3-13) с использованием теоремы Остроградского — Гаусса (Д-3-30): 6!ч() = р. (1-4-3) Четвертое уравнение Максвелла, обобшающее закон в непрерывности линии магнитной индукции, получается аналогичным образом — из интегрального уравнения (1-3-!4) с использованием той же теоремы: (1-4-4) сВчВ = О.
Пятое дифференциальное уравнение, обобшающее закон сохранения заряда, получается аналогично — нз интегрального уравнения (1-3-16) с использованием теоремы Остроградского — Гаусса: др гВчЗ = — —. д! часть равенства (1-4-5) с использованием выражений (1-2-1), (1-4-3) и (1-2-2), находим: др а — + — р=О. еа (1-4-7) Решением этого уравнения является выражение (1 .4-8) р =рле дц ! го1Н=Л+ —: д~ дв 11 го1 Е =- — —; д~ (1-4-9) !!! бп0 = р (ч' г(!ч В = 0; др 'лг 6!ч 3 = —— д1 Для описания электромагнитных процессов в линейных изотропных и однородных средах можно пользоваться уравнениями: которое означает, что в прояодяшей среде заряд убывает по экспоненте н не зависит от приложенного поля Е. В проводниках, где о велика, заряды исчезают весьма быстро.
Время, в течение которого плотность заряда убывает в е=2,72 раза, называется временем р ел акс а и и и. Для металлов время релаксации имеет порядок 10 — и сек. Поэтому можно считать р=О и равенство (1-4-6) справедливым при переменном поле с частотой (< 10~э гц Итак, мы имеем следующую систему дифференциальных уравнений электромагнитного поля, даюших пространственно-временное описание электромагнитного процесса: (1-4-10) — 33— зл — 34— Для проводящей среды последнее уравнение принимает вид сВч3 = О.
(1-4-6) Это означает, что поле вектора 3 соленоидально (Д-3-38), т. е, линии тока замкнуты, Действительно, заменяя левую дЕ 1 го1 Н=оЕ+е,—; д~ дН П го1 Е= — р,—; дГ П! сйч Е = р/е„. Гч 1ч Н=О. Для описания линейных процессов в анизотроцных средах система дифференциальных уравнений включает тензорные параметры (см.
5 Д-2). 1 го1; Н =оы Е»+ еовы —, дЕ» '" аг' П го1, Е = — РоРы— дН, (1-4-11) а В1 ве — зм ~» р дх; 1У „, р„Н„=О. а дх; Уравнения (1-4-10) и (1-4-11) удовлетворяют принципу суперпозиции. На зависимости характеристик, поля от времени основана следующая классификация электромагнитных полей. Нестационарное поле — поле, быстро меняющееся во времени; создается переменным током большой частоты.
Такое поле описывается всей системой уравнений Максвелла (1-4-9). Квазистациоиарное поле создается переменным током «низкой частоты», при котором можно полагать: в, — ((аЕ; дЕ (1-4-12) дс вследствие этого уравнение 1 системы (1-4-9) можно пе- реписать в виде го!Н=оЕ.
(1-4-!3) Стационарное поле — поле, создаваемое равномерно движущимися зарядами, т. е. постоянным током. Полагая в уравнениях системы (1-4-9), что д/д1=0, а 1 +О, уравнения 1, и П этой системы можно переписать в виде го! Н = о Е; го1 Е =- О. (1-4-14) Статическое поле — поле в пространстве без токов, неизменное во времени. Электрическое поле, создаваемое неподвижными зарядами, называется электростатическим. Магнитное поле, создаваемое равномерно движу!а щимися зарядами, траектории которых, однако, не вхо-' дят в излучаемую область, называется магнитостатическим.
Положив в уравнениях (1-4-!0) д/д1=0 и 1=0, по- лучим две независимые системы уравнений: электроста- тики го! Е = 0; ОВч(» = р (1-4-15) го! Н = О, б!чВ = О. и магнитостатики (1-4-!6 ) 1-5. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ Пе»П «П«П П«г Уравнения Максвелла позволяют находить поле в любой момент времени как для любой точки области )г, ограниченной поверхностью 5 («виутренняя» задача электродинамики), так и для любой точки вне этой области («внешняя» задача спер« электродинамики). Однако для решения этих уравнений необходимы дополнительные условия, позволяющие определить постоянные интегрирования. К таким условиям относятся условия На ГраНИцаХ раЗНОрадиЫХ Рнс.
1-5. К граничным тсловнсред. нл~ для нормальных составляю- нгнх векторов В н О, Граничное условие для нормальных составляющих вектора магнитной индукции В определяется интегральным уравнением (1-3-14): ~Вд3=0. Рассмотрим цилиндр, пересекающий поверхность раздела двух сред (рис. 1-5), высота которого Ь вЂ” «О. Магнитные поля на верхнем и нижнем основаниях цилиндра ввиду их малости считаем однороднылги, а поток через боковую поверхность цилиндра — равным нулю (так как высота цилиндра стремится к нулю), Тогда в пределе согласно упомянутому уравнению поток, входящий в площадку Г, расположенную на поверхности раздела, со стороны первой среды, должен быть равным потоку, выходящему из нее в сторону второй среды.
Прн этом (1-5-!) «(2( «((( Н =1'Н «(2( «(1(' (1-5-2) Следовательно, нормальные составляющие вектора магнитной индукции на границе двух сред непрерывны, а нормальные составляющие вектора напряженности магнитного поля претерпевают скачок. Граничное условие для нормальных составляющих вектора электрической индукции 0 определяется аналогично предыдущему с помощью уравнения (1-3-11): В пределе согласно этому уравнению, разность между потоком, выходящим из площадки 5' в сторону второй среды, и потоком, входящим в него со стороны первой среды, равна распределенному на этой площадке заряду (7'=иЯ', где и — поверхностная плотность заряда 1к(мх), распределенного на площадке 5'.
Окончательно имеем: (1-5-3) и (1-5-5) т. е. при наличии поверхностных зарядов нормальные составляющие вектора электрической индукции на границе двух сред терпят разрыв. Если же поверхностные заряды отсутствуют, то (1-5-4) Е„., = Е,„, (1-5-6) лавра сргРа При этом а„,а; (1-5-7) а, и а, Ргги1г~ «г ия( е| т. е. на границе раздела двух сред тангенциальные составлякнцие векто- угррал среда ра напряженности элект- а( рг( а( рического поля Е непрерывны, а тангенциальные Рис. 1-8.
К срвиичиыя условиям составляющие вектора лля тгигеиииалвиых составляю(яяя векторов Е и Н. электрической индукции 0 претерпевают скачок. Граничное условие для тангенциальных составляющих напряженности магнитного поля Н определяется уравнением (1-3-8), т. е. 1 1~ д й 5 и, аналогично предыдущему случаю, в пределе при Ь вЂ” +О Н „, — Нмп =-1ппг'(( = и'„,„, (1-5-8) Рассмотрим контур, расположенный частью в одной сре'де, частью в другой (рис.
1-6). Считаем контур малым и полагаем, что электрическое поле на отдельных его участках однородно. В пределе при й- О и 1, 1( правая часть уравнения обращается в нуль. В результате этого Е,м( 12 — Е«((,1(=0 и, следовательно, т. е. в этом случае нормальные составляющие вектора электрической индукции непрерывны, а нормальные составляющие вектора напряженности электрического поля претерпевают скачок.
Граничное условие для тангенциальных составляющих вектора напряженности электрического поля Е получается из интегрального уравнения (1-3-9) — 38— где роев — поверхностная плотность тока [а/м), равная величине тока, проходящего в бесконечно тонком слов через единицу длины линии, перпендикулярной направлению тока. Такия( образом, тангенциальные составляющие вектора напряженности магнитного поля на границе двух сред терпят разрыв, величина которого равна поверностной плотности тока в бесконечно тонком слое.
Хотя такой ток является абстракцией (может иметь место лишь на поверхности идеально проводящей среды), однако введение его приобретает физический смысл при -39- (1-5-9) (1-5-10) высокочастотном поле. При этом в хорошо проводящей среде ток течет только в очень тонком поверхностном слое, в пределах которого происходит скачок вектора Н и за которым поле практически отсутствует (см.
$ 2-7 и 3-3) . Если поверхностный ток отсутствует, то ~(2) ~(1), Ф Х Ф ц К Р Х Х (ц ')( и Л )') М 22 Л а и )") М о )ц О х )( х о ю М а о )ц ~:(И ц( 'Г~ (2) (1-5-1 1) х о (! а а о )ц о ц) цр % Ф!о 24+ах 24+)ц с учетом выражения (1-5-3) о о а Х ХЗ К Х Х я а Х а О, .а х Ю ц Х 1 Я Х д ц Π— 40— т. е. при отсутствии тока на поверхности раздела двух сред тангенциальные составля)ощие напряженности магнитного поля непрерывны, а тангенциальные составляющие вектора магнитной индукции претерпевают скачок.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
