Кугушев А.М., Голубева Н.С. Основы радиоэлектроники. Линейные электромагнитные процессы (1969) (1092090), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Согласно теореме единственности, в любой момент времени 11)0 в любой точке области У, ограниченной поверхностью В (рис. 1-9) или вне ее злекгромзгинтное поле однозначно определяется уравнениями Максвелла, если заданы дополнительные условия, Этиьги условиями яв. 1 д г ! д йа йм йм г"э 1 д 1 д йм, ды На амй.
ды д' тэ — )г, в а а Сравнивая выражения (1-7-!8) и (1-7-19), видим, что выражения для поперечно-электрического поля можно получить из выражений для поперечно-магнитного поля, заменяя Е на Н, в, на †)га и ф, на фм. Таким образом, д Г ! Л (~ээ Чрм)) от йай до д ! ! д д! бай ди Е' =0; 1 д ! 1 д йдг ди гг, йа й ди 1 д ! 1 д ггэ й йайайы ~Ъ Подставляя найденные значения составляющих полей (1-7-20) и (1-7-20а) нли (1-7-21) в уравнения Максвелла, записанные в обобщенной ортогональной криволинейной системе координат, можно показать, что эти уравнения удовлетворяются не в любой системе координат.
Уравнения Максвелла удовлетворяются, если й =1; Эти условия выполняются в декартовой, любой обобщенно-цилиндрической и сферической системах координат Для Н илн ГМ поля Е„=О, Н да фм див Е„=— 1 д' эрэ й„диды ' 1 да э)э Е, == — — '-, ба диды д' ь д!2 Но прц г со Рис. 1-9. К доказательству теоремы единственности для одпосвязиой области. Рис. 1-!О. К доказательству теоремы единственности для многосвязной области. ~(Е Н)д5-О, (1-7-26) сНу ру+ — =-: О. др д1 ~~а,Ет Р,цэ~ — 59— лаются: а) начальные условия — задание векторов Е(х;,0) н Н(хь 0) во всей области в момент 1=0 и б) граничные условия — задание тангенпиальной составляющей вектора Е нли Н на поверхности 5 в течение всего промежутка времени 0 <Гж Гь Предположим, что для области У (рис.
1-9) существуют две системы решений уравнений Максвелла Еь Н~ и Ет, Нт, удовлетворяющие одним и тем же начальным н граничным условиям. На основа- нин линейности уравнений Максвелла разность этих решений Е'= = Е, — Ез и Н'= Н, — Нз также является решением, ио с начальными условиями ' Е' =0 и Н' =0 при 1 =0 н с граня шыми услониями Е =0 или Н =0 на поверхизсти 5 прн 0 «1< Гь При этом Л' = 3, — Зз = и (Е, — Е,> = оЕ', так как Е"т>=0 (оба решения соатветсгв>ют одном> и ток|у же заданном> стороннем> полю Е1"'). Применим теорему Умова — Пайитинга (1-6-2): дВ" — = — ~ин1 — ( .
Тг: но з'(Е'Н'1 д5=0, так как Е, 0 илн )7,=0, и 5 дйг' (",, ' 7" дг — — З' Е' дУ = — ~ — дУ. й Так как подынтегральное выражение может быть только равно нулю или больше нуля, то дйг')д1 юО, т. е. энергия йг' либо >бываег, либо (когда У равно нулю во всем объеме У) остается постоянной. При Г=О энергия йг' поля Е', Н' равняется нулю и отрицательных значений принимать не может. Следовательно, в течение всего рас. сматрпваемого промежутка времени 0 < г «1, энергия должна равняться нулю. Это возможнолишь в том случае, есдн Е' и Н' равны нулю во всех точках объема У, т.
е. Е,=Е,, Н,=Нь н, следовательно, решение единственно. Аналогично тсорсма доказываетси, когда область ограничена несколькимн поверхиостямн (рис. 1-10). Если область У ограничена изнутри поверхностью 5, а извне— поверхностью сферы бесконечно большого радиуса 5, (г со ), то теорема Умова — Пойнтинга для поля с векторамн Е', Н' запишется так: д>У' дг — '= — >~)(Е'Н)д5 — (~(Е Н')д5 — ~УЕ дУ. (1-7-27) ибо если с момента возникновения поля прошел конечный промежуток времени, то при конечной скорости распространения поле иа бесконечно большом расстоянии равно нулю. При этом выражекие (1-7-27) переходит в (1-7-26), н приведенные рассуждения для внутренней области пригодны и для внешней. 1-8.
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД Уравнения Максвелла (1-4-9), а также волновые уравнения электрома1нитного поля при введении системы четырех «мировых координатэ (см. 5 Д-4) х;(1=1, 2, 3, 4), где х« — — )с(, могут быть выражены в четырехмерной векторной форме (релятивистская электродинамика). Такое представление дает простой и симметричный вид уравнений и определяет целый ряд физических зависимостей между отдельными величинами, что важно для более глубокого понимания электромагнитных процессов. Подставляя (1-2-5) в уравнение Ч системы (1-4-9), получим: Последнее уравнение в четырехмерной форме может быть записано в виде >),рп,+ — ()ср) = О (1'= 1, 2, 3) д дхз и /т — / /4 с ! дсЛ нарт.
с' д/4 )г ! — иа/с' 2 2 '/з '/з (1-8-3) ! д'ср ~ср 2 д. Р,вм (1-8-6) Ф =(Ат.А2 Аз / ) ° ~р ! с (1-8-5) д' 47 илн, с учетом выражений (Д-4-19) и (Д-4-20): Р,./, = ()!у Я = 0 (!=1,2,3,4), (1-8-!) Таким образом, вектор рч н скаляр /ср можно рассматривать как три пространственных и одну временную составляющие 4-вектора плотности тока: ./, =- (огь Роз, Роз, /ср) (! -8.2) Если волновые уравнения (1-7-6) и (1-7-7) при ра= = Ос. еа=ес и с учетом (1-2-5) переписать в виде то левые части этих уравнений на основании (Д-4-2!) можно представить как,зА нБ2<р.
Из четырех совершенно одинаково построенных скалярных уравнений (1-8-3) три, определяющие А, уже слиты в одно векторное уравнение. Поэтому естественно предположить, что в четырехмерном обобщении ср играет роль временной составляющей. Вследствие этого выражения (1-8-3) записываются в виде Е)'Ф = — Яа.), (1-8-4) где Ф вЂ” 4-в е к т о р-п о т е н ц и а л, пространственные составляющие которого А/ (4=1, 2, 3), а временная составляющая Ф, =/ —, т.
е. 'Р с Калибровочное уравнение (1-7-4) с учетом (Д-3-12) и (Д-4-20) в четырехмерной форме принимает вид; Ч' ! /'. 'Р 1 б)т + + — 0 (4=1, 2,3), дх| дх/ дхз или с,;Ф4=1)1у Ф=О. Пользуясь четырехмерным представлением потенциала и плотности тока (1-8-5) и (1-8-2), можно видеть, как изменяются характеристики электромагнитного поля при переходе от одной инерциальной системы к дру- гой с помощью преобразований Лоренца (Д-4-7). В частности, если система К, в которой имеется ток с плотностью ! и неподвижный заряд с плотностью р, движется относительно системы К' со скоростью и в направлении оси Ох,' (рис. 1-11а), то на основании (Д-4-!5) находим выражения, определяющие плотность тока У и плотность зарядов р', наблюдаемые в системе К'. и г'4 + / — - /т 4 гг ма р 1 —— Учитывая, что 74'=/р'с, 44=/рс и переходя к общему случаю направления движения, получим: /4+ мр ! г из ! —— са ! р+ — !и!) с рис.
!-11. даижуи4исса инермиальные системы. — 6!в /дФ4 дФ4 ' Е,=)с ! — — — ); дХз дхз 1дФ4 дФз 1 Е, =!с( — — — ~; (дхз дх, ) ' (1-8-7) в,= В,= (1-8-8) р Вз = Е„= (сВ, — 1Е) = с Ко!44 Ф, (1-8-9) то 0 сВз — сВз — 1Е4 свз — СВ, Π— 1Е,~, 1Е4 1Ез 1Ез О. (1-8-9а) — 62— Здесь значками (! и ! обозначены направления, параллельные и перпендикулярные вектору и. Из выражений (1-8-6) следует: 1. Плотность тока, наблюдаемая в системе К' в направлениях, перпендикулярных направлению движения, одинакова с плотностью тока, наблюдаемой в движущейся системе К 2. Плотность тока, наблюдаемая в системе К' в направлении движения, отличается от наблодаемой в движушсйся системе К.
3. Плотность зарядов, наблюдаемая в системе К', отличается от таковой в движущейся системе К; если токи в последних отсутствуют, а имеются лишь неподвижные заряды с плотностью р, то, согласно (1-8-6), наблюдаемая в системе К' плотность зарядов т. е, при переходе от системы К, где заряд неподвижен, к системе К', относительно которой движется система К плотность заряда увеличивается. Однако колкчество заряда в заданном объеме а'т' одинаково для обеих систем. Действительно, так как согласно (Д-4-10) д4)'=р'дГ = а сП: ~/! — —" = д41. )' 1 — из1сз Таким образом, плотность заряда, наблюдаемая в системе, относительно которой он движется, увеличивается, так как тот же самый заряд вследствие Лоренцова сокращения должен помещаться в меньшем объеме.
Заряд же (в частности, заряд электрона) остается постоянным в любой системе, т. е. является инвариантом. Составляющие вектора Е на основании (1-1-3) определяются выражениями; Ез = — — — — (1=1,2, 3), дф дА4 дх, д! которые в четырехмерной форме, согласно (1-8-5), имеют вид: Так как согласно (1-1-4) В=го! А, то в четырехмерной записи составляюп!ие В в соответствии с (1-8-5) и (Д-3-!3) имеют вид, аналогичный (1-8-7), т. е. На основании (1-8-7) и (1-8-8) можно показать, что составляющие векторов Е и В могут определяться одной четырехмерной формулой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
