landafshic_tom5_statfiz_Ch1 (Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц - Статистическая физика), страница 5

Отношение <(ЛГ)-">'нг( называют относительной флуктуацией величины (. Чем это отношение меньше, тем более ничтожную часть времени тело проводит в таких состояниях, в которых отклонение величины Г от ее среднего значения составляет заметную часть этого последнего. Покажем, что относительная флуктуация физических величин быстро уменьшается при увеличении размеров (числа частиц) тел, к которым они относятся. Для этого заметим предварительно, что большинство величин, представляющих физический интерес, являются аддитивными; это обстоятельство — следствие квази- замкнутости отдельных частей тела и состоит в том, что значение такой величины для всего тела равно сумме значений этой величины для отдельных его (макроскопических) частей. Действительно, поскольку, например, внутренние энергии этих частей, согласно сказанному выше, велики по сравнению с энергиями их взаимодействия, то энергию всего тела можно с достаточной точностью считать равной сумме энергий его частей.

Пусть ( †так аддитивная величина. Разобьем мысленно рассматриваемое тело на большое число Ф примерно одинаковых малых частей. Тогда ~=Хь 1=1 где величины Г; относятся к отдельным частям тела. Ясно, что с увеличением размеров тела ( растет примерно пропорционально Ф. Далее, определим среднюю квадратичную флуктуацию величины Г. Имеем <м) >=((хм)'). Но в силу статистической независимости различных частей тела 22 осиовные пРинципы статистики средние значения произведений Ц;Ц„=Ц; Ц„=О ((Фй) (поскольку каждое Ц, = 0). Следовательно, <(Ц)*>= Х <(Ц;) >. с=~ (2,4) Отсюда следует, что при увеличении М средний квадрат <(Ц)'> тоже будет расти пропорционально М. Относительная же флуктуация будет, таким образом, обратно пропорциональна у'М; <(Ау> ьи р'У (2,5) й 3.

Теорема Лиувилля Вернемся к дальнейшему изучению свойств функции статистического распределения. Предположим, что мы наблюдаем в течение весьма длительного промежутка времени некоторую подсистему. Разделим этот промежуток времени на очень большое (в пределе — бесконечное) количество одинаковых малых интервалов, разделенных моментами времени г„г„... В каждый иэ этих моментов рассматриваемая подсистема изобразнтся в ее фазовом пространстве точкой (назовем эти точки А„А„А„...). Совокупность полученных точек распределится в фазовом пространстве с плотностью, в пределе пропорциональной в каждом данном месте значению функции распределения р(р, д), по самому смыслу последней, как определяющей вероятности различных состояний подсистемы.

Вместо того чтобы рассматривать точки, изображающие состояния одной подсистемы в различные моменты времени г„Г„..., можно формальным образом ввести в рассмотрение одновременно очень большое (в пределе — бесконечное) число совершенно оди- С другой стороны, если условиться разделять однородное тело на участки определенной малой величины, то ясно, что число таких частей будет пропорционально полному числу частиц (молекул) в теле.

Поэтому полученный результат можно сформулировать также, сказав, что относительная флуктуация всякой адднтивной величины ~ убывает обратно пропорционально квадратному корню из числа частиц макроскопического тела, а потому при достаточно большом их числе самая величина ~ может считаться практически постоянной во времени и равной своему среднему значению. Этот вывод был уже использован в предыдущем параграфе. теОРемА лиуиилли »»иковым образом устроенных подсистем '), находящихся в некото)! й момент времени (скажем, г = 0) в состояниях, изображающихся точками А„А, Вудем теперь следить за дальыейшим передвижением фазовых точек, изображающих состояния этих подсистем, в течение не слишком большого промежутка времени — такого, чтобы квази- замкнутую подсистему можно было с достаточной точностью рассматривать как замкнутую.

Передвижение фазовых точек будет происходить тогда согласно уравнениям механики, содержащим координаты и импульсы только частиц подсистемы. Ясно, что в каждый момент времени ! с тем же правом, что и в момент ! =- О, все этп точки будут распределены в фазовом В острапстве согласно той же функции распределения р(р, д). ругыми словами, передвигаясь с течением времени, фазовые точки остаются распределенными с неизменной в каждом данном месте плотностью, пропорциоыальной соответствующему значению р. Чисто формальным образом это передвижение фазовых точек можно рассматривать как стациоыарыое течение «газа> в 2з-мерном фазовом пространстве и применить к нему известное уравнение непрерывности, выражающее собой неизменность общего числа «частиц» (в данном случае — фазовых точек) газа.

Обычное уравнение непрерывности имеет вид д! — + й»у (ри) = 0 др (р — плотность, и — скорость газа), а для стационарного течения о!Р«(ру) = О. Обобщение последнего соотношения на случай 2Л-мерного пространства »5 ~;,— '. (р )=о. 5=! В данном случае «координатамн» х; являются координаты 5) и импульсы р, а «скоростями» и! =х! — производные по времени 5) и р, определяемые уравнениями механики. Таким образом, имеем; 5 ~ ~ —,(р))+ —,.

(рр,)~ — О. Раскрывая производные, пишем: с.'и ( 5)! б . + Р! !в э ~ + Р л'- ~ д ' -т — '1 = О. с=! 5= ! (3,1) !) Такую воображаемую совокупность одииакоаык систем обычно называют саюаима«и«аким ансамблем. 24 ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СТАТИСТИКИ Написав уравнения механики в форме Гамильтона дИ дН др~' ' др;' где Н=Н(р, д) — функция Гамильтона рассматриваемой подсистемы, мы видим, что дд; д'Н др~ дсп дгпдр; др; ' Поэтому второй член в (3,1) тождественно обращается в нуль.

Первый же член есть не что иное, как полная производная от функции распределения по времени. Таким образом, имеем: (3,2) Мы приходим, следовательно, к существенному выводу, что функция распределения постоянна вдоль фазовых траекторий подсистемы (так называемая теорема Лиувилля); напомним, что поскольку мы говорим о квазизамкнутых подсистемах, то полученный результат справедлив лишь для не слишком больших промежутков времени, в течение которых подсистема с достаточной точностью ведет себя как замкнутая. й 4.

Роль энергии Из теоремы Лиувилля непосредственно следует, что функция распределения должна выражаться лишь через такие комбинации переменных р, 1, которые при движении подсистемы, как замкнутой, остаются постоянными. Это — так называемые механические инварианты нли интегралы движгния, являющиеся, как известно, первыми интегралами уравнений движения, Можно, следовательно, сказать, что функция распределения, являясь функцией механических инвариантов, сама есть интеграл движения. Оказывается возможным чрезвычайно сузить число интегралов движения, от которых может зависеть функция распределения. Для этого надо учесть, что распределение р„ для совокупности двух подсистем равно произведению функций распределения р, и р, этих подсистем в отдельности: р„=-р,р,.

Поэтому !п р„=! и р, + 1п р,, (4, 1) т.е. логарифм функции распределения есть величина аддитивная. Мы приходим, следовательно, к заключению, что логарифм функции распределения должен быть не просто интегралом движения, но и аддитивным интегралом движения. Как известно из механики, существует всего семь независимых аддитивных интегралов движения: энергия, три компоненты РОЛЬ ЭНЕРГИИ ;ректора импульса и три компоненты вектора момента импульса. 'Обозначим эти величины для а-й подсистемы (как функции координат и импульсов ее частиц) соответственно посредством Е, (р, д), Р,(р, Г)), М,(р, д). Единственная аддитивная же комбинация этих 'величин есть линейная комбинация вида 1п р, = а, -1- ре (р, д]+ тР, (и, 7) + ьм (р,'Г)) (4,2) с постоянными коэффициентами ГГ„(), у, Ь, причем (), у, Ь должны быть одинаковыми для всех подсистем данной замкнутой системы.

К подробному изучению распределения (4,2) мы вернемся в дальнейшем (глава 1П). Здесь же для нас существенно лишь следующее обстоятельство. Коэффициент а, есть просто нормировочная постоянная, определяющаяся условием ~ р, др"'дд"' = 1. Постоянные же Ь, у, Ь вЂ” всего семь независимых величин — могут, очевидно, быть определены по семи же постоянным значениям аддитивных интегралов движения всей замкнутой системы. Таким образом, мы приходим к важнейшему для статистики выводу.

Значения аддитивных интегралов движения — энергии, импульса и момента — полностью определяют статистические свойства замкнутой системы, т. е. статистические распределения любых ее подсистем, а с ними и средние значения любых их физических величин. Эти семь аддитивных интегралов движения заменяют собой то невообразимое множество данных (начальных условий), которое требовалось бы при механическом подходе. Изложенные соображения непосредственно позволяют составить для замкнутой системы простую функцию распределения, пригодную для описания ее статистических, свойств. Поскольку, как мы теперь знаем, значения неаддитивных интегралов движения не оказывают влияния на эти свойства, то для описания последних можно воспользоваться 'любой функцией р, зависящей только от значений аддитивных интегралов движения системы и удовлетворяющей теореме Лиувилля. Простейшей такой функцией является функция, равная р =сопз( для всех точек фазового пространства, соответствующих заданным постоянным значениям энергии (Е,), импульса (Р„) и момента (М,) системы (вне зависимости от значений неаддитивных интегралов), и р=О для всех прочих точек.

Ясно, что определенная таким образом функция во всяком случае остается постоянной вдоль фазовой траектории системы, т.е. удовлетворяет теореме Лиувилля. Данная формулировка, впрочем, не вполне точна. Дело в том, что точки, определяемые уравнениями Е (р, 4) = Е„Р (р, д) = Р„М(р, Г)) = М„ образуют некоторое многообразие всего 2з — 7 измерений (а не 2з измерений, как фазовый объем).