Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 13

Идеал У содержит функции рн (прн ! < !) и рп — 1, поэтому х ~ Т. Кроме того, если и — линейная форма на й1(п, й), обращающаяся в нуль на и, то существует функция р„~ Р, такая, что р„(г) =и(1опг) для всех геиТ 5 3, п' 1, лемма 1 (!)). Тогда р„енУ н и(1оих)=0. Из этого мы получаем, что 1опх принадлежит подалгебре п и х вне. Но это и доказывает, что а!=Ум Обозначим для произвольных элементов р ен Р, уев ОЬ„(й) через Л(д)р функцию х ~р(д-'х) на пространстве 81(п, й). Тогда Л(д) реп Р, Л(у) — автоморфизм алгебры Р, а Л вЂ” представление группы ОЬ„(й) в Р, сохраняющее каждое подпространство РР Покажем, что Ф = (х е= б!.„(й) ! Л (х) У = У), (1) Если хай!, р~У, уяФ, то (Л(х) р)(у) =р(х 'у)=0, поскольку х 'у я М. Поэтому Л (х) р я У и, следовательно, Л(х)У=У.

Пусть элемент х~ ОЬ„(к) таков, что Л(х)У=У, и 4 5 5. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗДЕЛЯЮШИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ 59 Ры У. Тогда Р(х-') =(Л(х) р)(е) =О, поэтому х-' Бил,=ЛГ и таким образом, хаем. Это доказывает формулу (1), Идеал У вЂ” идеал конечного типа (Комм. алг., гл. 111, $2, и' 10, следствие 2 из теоремы 2). Поэтому существует такое целое число д, что если ))Г =Р, + Р, +... + Р,, то множество УПФ' порождает идеал У. Обозначим через ЛГ (соотв. через Л') подпредставление представления Л в подпространстве РГ(соотв.

в (Р'). Из формулы (!) следует, что Л> = (х ~ б 1 „ (й) ~ Л'(х) (У Д )(>') = У Д Ч7», (2) Покажем, что для любого У существует такое представление Й> алгебры Ли 31(п, й) в пространстве Р,, для которого ск,.!п(п, й) согласовано 5 3, и' 1) с Л>3Т, (3) о; (х) — гомотетия при всех х ее й. 1„.

(4) Так как представление Л; является У-й симметрической степенью представления Л„то достаточно доказать существование представления о, (см. лемму 1). Но представление Л, контрагреднентно представлению у группы 61.„(й) в пространстве й! (п, й), заданному формулой у(х) у=ху, хя 0$.„(й), уя 31(п, й). Пусть представление с алгебры Ли й!(и, й) в пространстве 31(п, й) определяется равенством с(х)у=ху, х, уев 3!(п, й). Непосредственно из определения следует, что представления с!п(п, й) и у!Т согласованы и эндоморфизм с(х) — гомотетия при всех х ев й. 1„.

В качестве и> достаточно рассмотреть представление, дуальное к с (гл. 1, 3 3, и'3). Пусть теперь представление оу алгебры й!(п, й) в пространстве яг — прямая сумма представлений о> для 0(~)(д. Из равенства (2) н соотношений Л'(ехр (х)) = ехр(о' (х)) и о'(!од (у)) = !од(Л'(у)), х еи и (и, й), у ~ Т, мы получаем, что п= (х еи п(п, й) ! а'(х)(У Д В') с: У() Ж'». (5) Положим д = Г(1т (У П Ю'), и пусть т = Л~ о', УУ = Д» (У П УР'). Ввиду формулы (5) и леммы 2 (1) п=(хан п(п, й) !т(х)(0) с=Р», (б) 60 ГЛ ЧН. ПОДАЛГЕБРЫ КАРТАНА, РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ Так как подалгебра т(п(п, Ь)) состоит из нильпотентных эндоморфнзмов, то равенство (6) можно записать следующим образом: и = (х ен и (и, Ь) ! т (х) (0) = О). (7) Рассмотрим теперь пространство Е = Лл )(Г" Щ Л1'уЩ Лт )ГЩ... ...

ЩД" )Г и представление р, равное прямой сумме представления т и канонических представлений алгебры 8! (и, Ь) в про странствах Д1)Г, „Д")Г. Обозначим через ЕР(:Е подпространство, равное сумме подпространства 0 = Л"(7 Д 1(т) и прямых, порожденных векторами е„ге1 Л . Л е, при =1,..., и. Ввиду формулы (7) и леммы 2 (В) будет выполняться равенство п=(хай!(Ъ') !р(х)(ЕР) =О). (8) Очевидно, что если х~й.!„, то эндоморфизм р(х) призодйм к диагональному виду. Наконец, множество Г" элементов пространства Е, аннулируемых отображениями р(п), устойчиво относительно р(з) (гл. 1, $3, и'5, предложение 5), и ввиду формулы (8) мы получаем п=(х~ й!()Г)!р(х)(Р) =О).

(9) б. Характеризации разделяющих алгебр Ли Каждая разделяющая алгебра Ли порождается как векторное пространство (а следовательно, и как алгебра Лн) подмножеством тех своих элементов, которые являются илн полу- простыми, или нильпотентными. Обратно: ТеонемА 1. Пусть й — подалгебра алгебры Ли 8!()Г), порожденная как И-алгебра Ди подмножеством Х. Если каждый элемент л(ножества Х является полупростым или нильпотентным, то 8 — разделяющая подалгебра. а) Алгебра 8 коммутативна. Полупростые (соотв.

ннльпотентные) элементы алгебры .8 образуют векторное подпространство рн (соотв. йв). По предположению 8=8,Щй„, и, таким образом, й — разделяющая алгебра. б) Алгебра 8 редуктивна. Тогда 8=8';н', с, где подалгебра й' полупроста, а с коммутативна.

По предложению 2 алгебра 8' разделяющая. Пусть х=а+Ь ы 8, где ая 8' и Ьыс. Пусть а„а„„Ь„Ь„вЂ” полу- простые и нильпотентные компоненты элементов а и Ь. Элементы а„а„, Ь„Ь„попарно перестановочны, поэтому полу- простой и нильпотентной компонентами элемента а+ Ь будут 5 $5. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗДЕЛЯЮЩИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ Е1 а, + Ь„а„+ Ь„. Однако а„а„еи8', Если элемент х полупрост, то х=а,+Ь,. Так как а, яй', то Ь,~й, откуда Ь,енц поскольку Ь, перестаиовочен с любым элементом из й.

Таким образом, а= а„Ь = Ь,. Аналогичные рассуждения показывают, что если элемент х иильпотентен, то а = а„ и Ь = Ь„. Вследствие этого проекции на с элементов множества Х являются или полупростыми, или нильпотентными, Согласно а), это означает, что подалгебра ~ разделяющая. Используя ранее введенные обозначения, по не делая никаких предположений об элементе х, мы получаем теперь, что Ь„ Ь„еи с. Поэтому а, + Ь„ а„ + Ь„ ен й, что и доказывает утверждение теоремы в этом случае. в) Общий' случай. Предположим, что теорема доказана для алгебр Ли размерности < д)т й, и докажем ее для й. Пусть и — наибольший идеал нильпотентности тождественного представления алгебры Ли й. Если и = О, то существует инъективное полупростое представление алгебры й, которая по этой причине является редуктивной, Предположим, что и Ф О.

Обозначим через р нормализатор идеала и в алгебре 81(Р). Применим к нашей ситуации предложение 8; тогда существуют Е, р, г" с указанными там свойствами. Поскольку йс:р, то подпространство г устойчиво относительно р (й). Обозначим через р, представление и р(и)~ г алгебры й в пространстве Г; тогда и =Кегр,.

Образ каждого полупростого (соотв. нильпотентного) элемента алгебры й( (1А) при отображении р будет полупростым (соотв. Иильпотентным) (предложение 2). Вследствие этого алгебра р,(й) порождается своими полупростыми и нильпотентными элементами. По предположению индукции рс (й) — разделяющая подалгебра. Пусть х — элемент из й и х„х„— его полупростая и нильпотентная компоненты. По предложению 2 р(х,), р(х„) — полу- простая и нильпотентная компоненты элемента р(х), Поскольку рг(й) — разделяющая алгебра, существуют такие элементы у, геий, что Ро (у) = р (х,) 1 г, рА (г) = р (х„) ~ г'. Тогда х,яу+и, х„енг+ и, поэтому х„х,яй. Ч.

Т. Д. Следствие 1, Каждая подалгебра алгебры й((Р'), порожденная разделяющими подалгебрами, является разделяющей, Это очевидно. Следствие 2. Пусть й — подалгебра алгебры Ли 81(У). Тогда (й, й] — разделяющая алгебра. ГЛ. УН. ПОДАЛГЕЕРЫ КАРТАНА. РГГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕН«Ы Обозначим через «радикал алгебры й, а через ь — некоторую подалгебру Леви алгебры 6 (гл. 1, $6, п'8).

Тогда Ы 61=(ь Ь!+(ь «!+!««)=в+В, «) ° Алгебра [11, «] разделяющая, поскольку все ее элементы являются нильпотентными (гл. 1, 5 5, п'3). С другой стороны, в — разделяющая алгебра (предложение 2). Таким образом, подалгебра (6, ф! разделяющая (следствие 1). Слгдствие 3. Пусть 8 — подалгебра алгебр«ч 7и !11 (У) и Х вЂ” подмножество в алгебре 6, порождающее а (как й-алгебру Ли).

(!) Разделяющая оболочка е(!1) алгебры,) порождается полу- простыми и нильпотентными компонентами элементов множества Х. (1!) Если («' — РасшиРение полЯ 1«, то е(8®ьй') =е(1) ®ь !«'. Длч того чтобы алгебра и была разделяющей, необходимо и достаточно, чтобГн РаэделаюЩей была алгебРа 68ь 1«'. Пусть 6 — подалгебра алгебры Ли 61(У), порожденная полу- простыми и нильпотентными компонентами элементов множества Х. Тогда 6~6с:е(«1). По теореме 1 6 — разделяющая алгебра, поэтому 6 = е (6), что доказывает утверждение (!).