Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 11

Л1, $5, п'8) '). ') В существующей литературе такая алгебра Лн называется также почти алгебраической нлн расщепляемой, но последннй терман несет слншком большую нагрузку н используется ниже в другом смысле. — Прим. рей, гл. чп. подьлгввгы кьгтьны гвгчлягные элеминты П имеры. 1) ПУсть т" и )т" — подпРостРанства вектоРного пространства 1т, причем у"=з 1". Множество элементов х~й! (т'), „„я оторых х(Г') с: Г, будет разделяющей подалгеброй алгебры Ли й!(Г). Действительно, для любого хек й1()т) полу- простая и нильпотеитная компоненты эндоморфизма х равны Р(х) и !г(х), где Р и Я вЂ” многочлены без свободного члена.

2) Предположим, что пространство т' снабжено структурой алгебры. Тогда множество дифференцирований этой алгебры есть разделяющая подалгебра Ли в 61(У) ($1, и'1, предложение 4 (В)) ° 3) *Имеет место более общее утверждение: алгебра Ли алгебраической подгруппы группы 61. (ч') является разделяющей.ь Пеадложвник 1. Пусть й — разделяющая подалгебра алгебры Ли 61()т), х ~ а, а э и и — полупростая и нильпотентная компоненты элемента, х. (!) Полупростой и нильпотентной компонентами элемента ад, х будут ад, з и ай,п.

(й) Элемент х регулярен в й тогда и только тогда, когда регулярен элемент э, (ш) Если й' — подалгебра Ли в 61(К), содержащая й, то любой эле,чентарный автоморфиэм алгебры й продолжается до элементарного автоморфизма алгебры й, Положим а=6!(Г). Вследствие леммы 2 гл.

1, $5, и'4, полупростая и нильпотентная компоненты эндоморфизма ад„х— это ад,э и ад,п; тем самым утверждение (!) доказано. Вследствие этого характеристические многочлены эндоморфизмов адг х и ад, э совпадают, что доказывает утверждение (В). Если эндоморфизм ад,х иильпотентен, то ад,х =ад,п; таким образом, аб, и продолжает ад,х и и — иильпотентный элемент алгебры й'. Это доказывает утверждение (ш). Пусть а — подалгебра алгебры Ли 61(У). Как было показано (гл. 1, з 6, и' 5, теорема 4), следующие условия эквивалентны: (1) тождественное представление алгебры й полупросто; (В) алгебра й редуктивиа, и каждый элемент центра алгебры а является полупростым эидоморфизмом. Эти условия также эквивалентны следующему: (ш) подалгебра й редуктивна в 61(т'). Действительно, (!) =ь (1В) по следствию 3 из теоремы 4 гл.

1, $6, и'5, и (ш)=ь (1) ввиду следствия 1 предложения 7 гл. 1, $6, п'6, Мы докажем, что если подалгебра й удовлетворяет этим эквивалентным условиям„то она разделяющая. Можно доказать даже несколько большее: 5 б. ЛИНЕИНЫЕ РАЗДЕЛЯЮЩИЕ АЛГЕБРЫ ЛИ ПРедложение 2. Пусть й — подалгебра алгебры Ли 61 (У), редуктизная в 61(У), Š— некоторое конечномерное векторное ггространство и и: й-+г)1(Е) — полупростое лггнебное представление алгебры 1 в пространстве Е.

Тогда (1) алгебры й и п(й) разделяющие; (й) полупростые (соотв. нильпотентные) элементы алгебры и (й) являются образами при отображении и полупростых (соотв. нильпотентных) элементов алгебры й; (й1) если (г — разделяющая подалгебра в 61 (У), содержащаяся в алгебре й, то п(ч) — разделяющая подалгебра в й((Е); (гч) если 1)' — разделяющая подалгебра в г)1(Е), то и '(()')— разделяющая подалгебра в 61(У). Пусть э=1г), й) и à — центр алгебры й. Тогда й=ьХс и п(й) = п(ь) Хп(с) по следствию предложения б гл. 1, $6, и'4. Пусть у ен б, е Бис и у„у„— полупростая и нильпотентная компоненты элемента у.

Тогда у„у„ее е (гл. !, 5 6, и'3, предложение 3), элемент у,+з полупрост (А1д., сйар, 71!, $ 5, и'7, согойа1ге бе 1а ргороз(йоп 16) и у„перестановочен с у, + г. Следовательно, полупростая и нильпотснтная компоненты элемента у+ г — это у, + г и у„. Таким образом, й — разделяющая алгебра. Так как подалгебра п(г)) рсдуктивна в а1(Е), то те же самые рассуждения доказывают, что п(й) — разделяющая алгебра. С другой стороны, нильпотентные элементы алгебры й (соотв. и (й)) являются нильпотентными элементами подалгебры ь (соотв.

И(ь)). Поэтому нильпотентными элементами в п(й) служат образы при отображении и ннльпотентных элементов из й (гл. 1, 5 6, и'3, предложение 4). Полупростыми элементами в алгебре й (соотв. в п(й)) являются суммы полу- простых элементов иодалгебры Ф (соотв. и (ь)) и элементов подалгебры с (соотв. Л(с)). Следовательно, полупростые элементы в п(й) — образы ири отображении и полупростых элементов алгебры й (гл. 1, там же). Утверждение (й) доказано.

Утверждения (Рй) и (1ч) непосредственно следуют из (1) н (й). Замечания. 1) Предположение о полупростоте ирсдставления и эквивалентно утверждению о том, что эндоморфизм п(х) полупрост для любого хы с. Это предположение будет выполнено, если представленве и получается нз тождественного представления й- 61(У) применением некоторой последовательности следующих операций: тензорного произведения, прямой суммы, перехода к дуальному представлению, к подпредставлению, к факторпрсдставлению.

2) Пусть йса((У), й'с 61(У') — разделяющие алгебры Ли Е и гр — изоморфизм алгебры й на й'. Можно показать, что не обязательно переводит полупростые (соотв. Иильпотентные) элементы алгебры й в полупростые (соотв, иильпотентныс) тл. чп, подхлгввты кхеткнк гвгтлягныв элемвиты т элементы алгебры !' (УпРажнение 2). Однако это так, если алгебра и полупроста (гл. 1, Э б, и'3, теорема 3). Т1еедложение 3. Пусть а — разделяющая подалгебра .Ти в 31(у), а с и с — надпространства векторного пространства й! ((т), причем 6с:с.

Обозначим через а' множество таких элементов х ев а, что [х, с[с: с. Тогда а — разделяющая подалгебра .7и. Положим 3= 3((т). Подалгебра ()' в й!(и), образованная теми элементами г еи 31(й), для которых г(г) с !), является разделяющей (пример 1). Пусть ги й- 31(!1) — присоединенное представление алгебры й, Предложение 2 (!ч), примененное к и, показывает, что и-'(()') — разделяющая подалгебра. Следовательно, разделяющей будет и подалгебра а'=аПп '(!)') Следствии 1. Если а — разделяющая подалгебра,/7и в й((У) и и — подалгебра алгебры .7и а, то нормализатор (соотв. иентрализатор) подалгебры и в а — разделяющая подалгебра. Это следует из предложения 3, если положить с =и, 6= и (соотв. с = и, Ь = (0)).

Следствии 2. ТГодалгебры Картана разделяющей подалгебры .7и алгебрьч й!()т) являются разделяющими. Это вытекает из следствия 1. Замечание. Далее будет доказано утверждение (и'5, теорема 2), обратное к следствию 2. 2. Разделяющая обо инка Пересечение некоторого семейства разделяющих подалгебр алгебры Ли 31(т') является, очевидно, разделяющей подалгеброй. Таким образом, если и — подалгебра Ли в 31(т'), то множество разделяющих подалгебр алгебры Ли й! (У), содержащих алгебру й, имеет минимальный элемент, который называется разделяющей оболочкой подалгебры й. В данном параграфе эта оболочка будет обозначаться через е(й). Пгвдложенив 4.

Пусть й — подалгебра .7и в 31((т) и и — идеал алгебры й. Тогда и и е(и) — идеалы алгебры е(й) и [е(й), е(и)[= =[3, «! Пусть й, — множество таких элементов хя 31(т'), что [х, и[с с: [й, и[. Это множество — разделяющая подалгебра алгебры Ли 31(У), содержащая и; следовательно, оно содержит подалгебру е(й) (см. и'1, предложение 3). Таким образом, [е(й), и[ с: [й, и]. Пусть и, — множество таких элементов уев й!(!т), что [е (й), у] с: [й, и[.

з $ ь. линейные Рьздвляюшив ьлгввгы ли 53 Это множество является разделяющей подалгеброй алгебры Ли д((У); оно содержит п, а следовательно, и е(п). Таким образом, [е(д), е(и)] с: [д, и] и, стало быть, [е(д), е(п)] =[д, и]. Одновременно мы получили, что [е(д), и] с: [е(д), е(п)] ~п. Поэтому подалгебры л и е(п) являются идеалами алгебры е(д). Слвдствив 1. (1) Ыд =йУе(д) для 1 «1, и дг~)=%"е(д) для 1) 2.

(И) Если алгебра Ли д коммутативна (соотв. нильпотентна, соотв. разрешима), то алгебра Ли е (д) тоже комм утативна (соотв. нильпотентна, соотв. разрешима). Утверждение (1) доказывается на основании предложения 4 индукцией по 1, а утверждение (В) следует из (1). Следствие 2. Пусть т — радикал алгебры Ли д. Если д — разделяющая алгебра Ли, то и алгебра т разделяющая. Действительно, по предложению 4 и следствию 1 е(т) — разрешимый идеал алгебры Ли д.

Поэтому е(т) =т. 3. Разложения разделяющих алгебр Если д — некоторая подалгебра алгебры Ли д1(У) с радикалом т, то множество нильпотентиых элементов в радикале х есть не что иное, как нильпотентный идеал алгебры д — наибольший идеал ннльпотентности тождественного представления алгебры д (гл. 1, $5, и'3, следствие 6 из теоремы 1). В данном параграфе мы будем обозначать этот идеал через п1, (д). В нем содержится нильпотентный радикал [д, д]Пт алгебры д (гл. 1, $5, и'3, теорема 1).

ПРедлОжение 5. Пусть д — разделяющая нильпотентная подалгебра алгебры Ли д( (т'). Обозначим через 1 множество полу- простых элементов этой подалгебры. Тогда 1 — центральная подалгебра в д и алгебра д является произведением алгебр Ли 1 и п,(д). Если хы 1, то эндоморфизм аб,х будет полупростым н нильпотентиым, а следовательно, нулевым. Таким образом, элемент х централен в алгебре д. Вследствие этого подалгебра 1 будет идеалом в алгебре д и 1() пт (1) = О. Так как алгебра д Разделающаа, то 11 =1+ не(д), что и доказывает пРедложение. Пввдложвнив 6. Пусть д — разделяющая подалгебра алгебры Ли д( (У). Обозначим через У множество коммутативных 54 ПОДЬЛГЕВРЫ КЛРТКНМ РЕГУлЯРНыЕ ЭЛЕМенТЫ г по алге р далгебр алгебры й, состояи4их из полупростых элементов, через у- — множество максимальных элементов в множестве У, а через т ! уу — множество подалгебр Картана алгебоы й.

(!) Пусть ч еп Уу и ф(ч) — множество полупростых элементов подалгебры !). Тогда ф(()) ен У Р (й) Пусть 1ен У, и ф(1) — централнзатор подалгебры 1 в алгебре й, Тогда ф(1) ен Ув. (Гй) Отображения ф и ф являются взаимно обратными биективными отображениями УУ на У1 и У 1 на Уь. (!Ч) Если поле Ф алгебраически замкнуто, то группа Ап1,(й) действует на множестве У 1 транзитивно. При ()епУЭ' положим 1=ф(й).