Бурбаки - Группы и алгебры Ли. Гл. 7-8. Подалгебры Картана, регулярные элементы. Расщепляемые полупростые алгебры Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 12

Вследствие предложения 5 и следствия 2 предложения 3 1енУ и 5=1Хит(й). Обозначим через ф(и) централизатор произвольной подалгебры и в алгебре й. Тогда й с: ф(1) и ф(1) с: йь((!), поскольку элементы подалгебры пт (5) нильпотентны. Следовательно, ()=ф(1). Если 1'яУ и 1с1', то 1'с$(1)=(), откуда 1'=1 и 1еиУ Р Пусть 1ен У, и с =ф(1). Обозначим через !) подалгебру Картана алгебры с. По предложению !О из $2, п'3, а~Уй и 1 ~ (). Пусть 1, = ф (ч) ~ У .

Тогда 1 с: 1ь следовательно, 1=1Н и по предыдущему )) =ф(1,)=ф(1) =с. Таким образом, ф(1) ~ Ж и ф(ф (1)) =1 Утверждения (!), (!й) и (й) доказаны. Предположим, что поле Ф алгебраически замкнуто. Так как группа Ап(,(й) транзитивно действует на множестве Уэ 5 3, п'2, теорема !), то группа Ап(,(й) транзитивно действует на множестве У Р Следствие !. Подалгебры Картина алгебры й — это централизаторы полупростых регулярных элементов алеебры й. Если элемент х ы й регулярен, то йь(х) — подалгебра Картана алгебры й (й 2, и'3, теорема 1 (!)); если при этом элемент х полупрост, то подалгебра йь(х) совпадает с централизатором элемента х в алгебре й, Обратно, пусть й — подалгебра Картана алгебры й. Тогда существует такая подалгебра 1ен У „что ч=ф(1).

По предложению 7 из $ 1, и'2, существует элемент х а 1, для которого () = й (х). Так как х е 1, то йь(х) = йь(х) и, следовательно, элемент х регулярен (5 3, и'3, теорема 2 (й)). Следствие 2. Предположим дополнительно, что алгебра Ли й разрешима. Тогда (!) подгруппа группы Агй (й), образованная элементами вида е'г", где хека й (см. 5 З„п'4), транзитивно действует на множестве, У й (й) если 1 еи У „ то алгебра й является полупрямым произведением подалгебр 1 и пт(6), ь ь. линейные'РАзделяюп1ие ллгеьгы ли Утверждение (1) есть следствие утверждения о том, что группа, состоящая нз элементов вида е"*, хек Ж 15 транзитивно действует на множестве Уе ($3, п'4, теорема 3).

Докажем утверждение (В). Пусть 1ен У ь и пусть « =~«(1)— соответствующая подалгебра Картава алгебры й. Вследствие предложения 5 « =1+ пт(«) с:1+ пт (й). С другой стороны, й=«+]й й] (з 2 и'1, следствие 3 предложения 4). Так как ]й, Я] с= пт (й), то 9=1+ пи (й). ПРи этом Ясно, что 1() пт(й) =(О) и, следовательно, алгебра и является полупрямым произведением подалгебры 1 и идеала п„(й). Пгвдложвнив 7. Пусть й — разделяющая подалгебра алгебры Ли 61(У). (1) Существует такая подалгебра п1~8, редугктивная в алгебре й((Г), что алгебра й является полупрямым произведением подалгебры Ли пс и идеала пт(й). (й) Любые две подалгебры алгебры Ли й, обладающие свойством, указанным в (1), сопряжены относительно группьс Ап(,(й).

Радикал с алгебры й — разделяющая подалгебра (п'2, следствие 2 предложения 4). По следствию 2 предложения 6 существует коммутативная подалгебра 1 алгебры т, состоящая из полупростых элементов, для которой с=1Япт(т). Так как все элементы множества ад,1 полупросты, то алгебра й будет прямой суммой подалгебры ]1, 11] и централизатора 1 подалгебры 1 (гл. 1, в 3, и'5, предложение 6). Так как [1, й] с:с, то 6=1+ 1. Таким образом, если ь" — подалгебра Леви алгебры 1 (гл. 1, 3 6, и'8), то 6=4+1 и, следовательно, ь будет одновременно подалгеброй Леви алгебры й. Положим гя=ь" Я1. Так как ]ь, 1]=(0), то ввиду теоремы 4 из и'5 $ 6 гл, 1 пс — подалгебра алгебры Ли й, редуктивная в алгебре 61(У), Таким образом, 6=491=6~1~3п (т) =4~1®п (й) =п19пт(й), поскольку и (й) = пт (г).

Утверждение (!) доказано. Пусть теперь пс' — некоторая подалгебра алгебры Ли дополнительная к идеалу пт(й) и редуктивная в 51(т'). Покажем, что подалгебра пс' сопряжена с ж относительно группы Ап(,(й). По предположению п1' —.- ь'(]) 1', где ь'= ]пс', вс ] — полупростая подалгебра, а центр 1' алгебры пс' состоит из полупростых элементов. Тогда т =19~ пг (й) = 1'Япт (11). Ввиду следствия 2 предложения 6 можно предположить, что 1=1'. Тогда ь'с:1, и так как д(гп 6'=61гпв, то Ь' — подалгебра Леви алгебры 1.

По теореме 5 из п'6 в 6 гл. 1 сугцествует такой элемент хек пт (1), что е'е~(ь) =ь'. Прн этом, так как х перестановочен с 1, то е'е ' (1) = 1, 56 Гл ЧН. ПОДАЛГЕЬРЫ КАРТАНА, РЕГУЛЯРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ 4 4. Линейные алгебры Ли нильпотентных эндоморфизмов Лемма 1, Пусть п — подалгебра алгебры Ли й! (У), состоящая из нильпотентных эндоморфизмов, и Л! — подгруппа ехр и в группе 61. (У) $3, п'1, лемма !). (!) Пусть р — конечномерное линейное представление алгебры и в пространстве Чу, такое, что элементы множества р(п) нильпотентньи (Р" — устойчивое относительно представления р надпространство векторного пространства В', р~ и рг — подпредставление и факторпредставление представления р, определяемые подпространством В".

Пусть и, п1 и и,— представления группГЕ Ж, согласованные с р, р~ и р, (5 3, и'1). Тогда п1 и пт — подпредставление и факторпредставление представления п, определяемГяе подпространством ((т', (й) Пусть р, и р, — такие линейные конечномерные представления алгебры и, что элементы множеств р, (и) и р,(п) нильпотентны, и пусть и, и пг — представления группы Ж, согласованные с представлениями р, и р,. Тогда представление п1 Зпг группы )У согласовано с представлением р1 Зр . (ш) Пусть р~ и рг — такие линейные конечномерные предста- влениЯ алгебРГЯ и в пРостРанствах У, и Уы что элементы множеств р, (п) и р,. (п) нильпотентны, и р — представление алгебры и в пространстве Нотп(УН Уэ), полученное из представлений р~ и рз.

Пусть и, и и, — представления группы л1, согласованные с представлениями р, и ры и и — представление группы )ч' в пространстве Нотп(УН Уэ), полученное из представлений п~ и пз. Тогда п — представление группы )ч', согласованное с представлением р. Утверждение (!) очевидно. Пусть рн рь пь яч — представления из пункта (й). Если х ~ и, то, поскольку эндоморфизмы р1(х) З1 и 1Зр,(х) перестановочны, имеют место равенства ехр(р, (х) З 1+ 1 Зр,(х)) = ехр(р, (х) З 1).ехр(1 З р, (х)) = =(ехрр,(х)) З!.1З(ехрр.

(х)) = =(ехрр,(х)) З(ехррэ(х)) = = и, (ехр х) З и, (ехр х) = = (п ~ З пг) (ехр х), из которых следует утверждение (й). Пусть теперь рь р„р, и„ к„п, Уь У, такие же, как в формулировке утверждения (ш). А(ля элементов о, ~ Епа' У, и о, ен Епй У, мы будем обозначать через 11,„Т.„, отображения и ь иоь и ~-ь о,и пространства Нопт(УН Ут) в себя. Эти два отображения перестановочны, и е е з, лннвйнын Рлзделяющив Алгквры ли р (х) и = (Ьге(,) — 1т(ь(,)) и, так что ехрр(х).и=ехрЕр„,),ехр)г р,(,).и= = 1 ехрре(х) ° Йехр(-р,(х)) и = — х л,(ехрх) т(х, (ехр (-х)) ° и— = и (ехр х) .

и, Таким образом, утверждение (ш) доказано. Лемма 2 '). (1) Пусть Чт — надпространство размерности д векторного пространства У, ь) — прямая ~ Чт с гч У, 0 — каноническое представление алгебры 01 (У) в пространстве ~ У (гл. Ш, дополнение). Пусть х ен 01 (У). Тогда х(Ч7) с Ч)' в том и только том случае, когда 0(х) 1) с: (л.

(й) Пусть (е(, ..., е„) — канонический базис пространства й", 0 — каноническое представление алгебры 01(п, й) в пространстве Д(к") и хен 01(п, й), Тогда х~п(п, й) в том и только том случае, когда 0 (х) (е,-г+( Л ° Л е„) = О для 1 » <(1 » <и. Если х(Г)с(р', то ясно, что 0(х)0с1). Обратно, предположим, что 0 (х) 0 с 1). Если и — ненулевой элемент прямой 11 и уев Чт", то у Л и =О. Так как отображение 0(х) является дифференцированием алгебры Д У, то 0 (х) у Л и + у Л 0 (х) и = О. Но 0(х) и еп йи, поэтому у Л 0(х) и =О и, следовательно, 0(х) у Л и=О.

Ввиду предложения !3 из А1д., с))ар. 111, э Т, и' 9, 0 (х) у ен ЧУ, т. е. х (у) а Чт, Таким образом, мы доказали, что х(Ч7) с%'. (й) Условие, указанное в утверждении (й), очевидно, является необходимым для того, чтобы х ~п(п, й). Предположим, что оно выполняется. Тогда по утверждению ()) элемент х переводит в себя подпространства /ге -гь( + .. + йе„ для всех д = 1, ..., и, и, следовательно, его матрица будет нижней треугольной. Положим х = (х(1)(<(,<„. '1 В этой лемме поле й может быть произвольным. гл уц, подАлгеБРы кАРТАнА. РИГуляРные элементы Тогда О=х(е„) =х„„е„и, следовательно, х„„=О. Пусть У < и, и предположим, что уже доказаны равенства хи — — 0 для ! > У. Тогда 0 = О (х) (е; Л е;~~ Л ° ° ° Л е„) =хи (е; Л е~+, Л ...

Ле„). Следовательно, хп — — О. Таким образом, х еи п(п, и), Пэедложение 8. Пусть и — подалгебра алгебры 7и 81(р), состолщая из нильпотентных элементов, а я — нор,иализатор подалгебры и в алгебре й!()т). Тогда существуют векторное пространство Е конечной размерности, представление р алгебры 81(У) в пространстве Е и подпространство Р векторного пространства Е, удовлетворяющие следующим условиям: (!) образ при отображении р гомотетии пространства )т— диагонализуемый эндоморфизм, (!!) надпространство Р устойчиво относительно р(я), (ш) подалгебра п совпадает с множеством тех элементов к~ 81()т), для которых р(х)Р=О.

Пусть и =д)т )т. По теореме Энгеля можно таким образом отождествить пространство (т с пространством Й", что и с: п (и, й). Обозначим через Р алгебру полиномиальных функций на 81(п, л). Пусть Рь где 1=0, 1, ...,— множество однородных элементов в Р степени Ь Пусть У=ехрп — подгруппа нижней строго треугольной группы Т, Обозначим через У множество тех элементов алгебры Р, которые обращаются в нуль на Ж; они составляют идеал в алгебре Р. Обозначим через й(т множество элементов х еи й! (и, н), для которых р (х) = 0 при любом р~ У. Тогда л! ~ Ум Обратно, пусть х ~ У . Обозначим через рм полиномиальные функции на пространстве 81(п, й), определяемые матричными элементами.