Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике, страница 43

Получаем однородную систему тхаВх — х = О, имеющую ненулевое решение в том случае, если ее определитель равен нулю. Следовательно, задача свелась к поиску собственных значений Л = Ц(шита) матрицы В. О Энрико Бетти (1823 — 1892) итальянский математик. 1. К шарниру, наделенному массой, прикладываем единичную (безразмерную) горизонтальную силу. Определяем усилия в стержнях Я „, р = 1, ...,п, где п — — число стержней фермы. 2.

Прикладываем к этому же шарниру единичную вертикальную силу. Определяем усилия в стержнях Я „. 345 14.25 Колебания узла фермы 3. Используя формулу Максвелла — Мора (2), вычисляем коэффициенты податливости Ь . Записываем их в симметричную матрицу ь«'  — и ш 4. Вычисляем собственные значения (Решебник ВМ, 52.10, с. 68) Л з матрицы В. 5. Находим частоты собственных колебаний щ = 1/,„/тЛ«, «оз = 1/ЛУтЛю Примкр. В шарнире С плоской фермы находится точка с массой т = 9 кг (рис. 180). Жесткость всех стержней фермы одинакова БГ = 0.1 кН, 1 = 1 м. Ферма расположена в горизонтальной плоскости.

Пренебрегая массой стержней, определить частоты собственных малых колебаний шарнира. Ркшкник 1. К шарниру С, наделенному массой, прикладываем единичную (безразмерную) горизонтальную силу (рис. 18Ц. Методом Риттера или методом вырезания узлов (5 2.2, с. 37) определяем усилия в стержнях: Я «=5«з=Я «=Я о=О,В з= — 1.ВусилииЯ первыйин- «,и декс указывает направление приложенной единичной силы. Рис. 182 Рис.

181 Рис. 180 Индекс 1 соответствует горизонтальной единичной силе, 2 — вертикальной силе. Второй индекс — номер стержня. Номера стержней указаны на рис. 181. 2. К шарниру С прикладываем единичную вертикальную силу (рис. 182). Определяем усилия в стержнях: Яз « = О, В, = 1.155, Вез = — 0.577, Вз „= Яз е = 1.155' '1 Определение усилий в стержнях с помощью Мар1е У см.

5 15.1, с. 350. Гл. 14. Малые колебания системы 346 3. По формуле Максвелла — Мора (2) находим коэффициенты податливости Ь, . Промежуточные результаты заносим в таблицу: Суммируя три последних столбца, получаем коэффициенты податливости, отнесенные к жесткости КГ: Ь,, = 1.000~(ВР), Ь„= 0.577/(ВР), Ь„= 4.333/(ВР), и записываем их в виде симметричной матрицы 0.01 0.00577 ) 0.00577 0.04333 ( 4. Вычисляем собственные значения Л матрицы В. Приравниваем нулю определитель Ьы Л Ь12 Решаем квадратное уравнение и находим собственные значения: Л = 0.044305, Л = 0.009028.

6. Находим частоты собственных колебаний (круговые частоты): ы, = 1/л/тЛ1 = 1.584 рад/с, ыз —— 1/уХтЛ = 3.508 рад/с. Условия задач. В одном из шарниров плоской фермы (на рисунке выделен) н ходится точка с массой т. Стержни фермы упругие. Жесткость стержней ЕГ; 1 = 1 м. Ферма расположена в горизонтальной плоскости. Пренебрегая, массой стержней, определить частоты собственных малых колебаний шарнира фермы. Гл. 14. Малые колебания системы 10. 02 ЕГ = 2.5 кН, еа = 81 кг. ЕГ = 3.6 кН, т = 1 кг.

Козффициенты податливости, умноженные на жесткость ЕГ, даны в м, частоты — в рад/с. Индекс 1 соответствует горизонтальной единичной силе, 2 — вертикальной. Ответы Ь ЕГ ЬееЕГ ЬмЕГ 1 2 3 4 5 6 7 8 10 1.000 1.000 5.828 5.000 2.621 1.889 9.000 1,000 2.775 3.828 -1.000 3.828 0.000 1.732 1.000 1.000 2.887 3.000 -1.207 1.207 — 0.321 1.074 0.000 1.732 0.000 1.000 — 0.736 0.592 0.000 1.000 14.733 15.197 5.431 4.706 6.593 8.250 1.429 5.000 3.208 30.665 36.323 20.000 14.897 12.859 16.718 11.889 3.

256 5.000 9. 175 60.000 Часть ТУ РЕШЕНИЯ В СИСТЕМЕ МАРЬЕ У' Все задачи, приведенные в решебнике, могут быть решены в системе аналитических вычислений, например, Мар1е 'х', Ма1Ье|па11са 4, Попге. В некоторых случаях такие решения представляют собой вычисления по формулам, подготовленным вручную, например, решения систем линейных уравнений, что, конечно., упрощает работу учащегося, концентрируя его внимание на сути предмета.

Однако преимущества системы аналитических вычислений проявляются наибольшим образом в совместном применении аналитических возможностей системы и эффективных алгоритмов расчетов. Здесь мы приведем несколько программ решения задач статики, кинематики и динамики, в которых использованы такие алгоритмы. В качестве условий задач взяты примеры, приведенные в решебнике (за исключением задачи Программы 4). К текстам программ даны краткие пояснения свойств основных операторов Мар1е Ъ' и некоторые формулы. Более подробные описания системы Мар1е Ъ можно найти в книгах (8), (9), (12), (13).

Первой командой каждой программы является команда гевсагс— очистка памяти и отмена всех ранее назначенных команд и условий. Все команды в Мар1е Ъ' вводятся после знака ) и заканчиваются точкой с запятой, если результат требуется вывести сразу же на экран, или двоеточием, если выводить результат не надо. Комментарии записаны на строках без знака ) или после знака я. Качество графики системы Мар1е Ч можно повысить, увеличив масштаб изображения (СТВЬ З...СТВЬ 6), пропорционально уменьшив при этом шрифт в интерфейсе системы (гойшас о1у1ев — С Мар1е 1прп1 — МосИу).

Тексгы программ 1-.9 (с анимацией, которая в решебнике приводится не для всех программ) и программы для решения других задач механики с примерами и подробными пояснениями можно найти на авторской странице Интернет: ~чччч.асас1еппаххйгп/во1гегТМ.'п1ш1. Глава 15 ПРОГРАММЫ ПО СТАТИКЕ 15.1. Расчет фермы Условие зядАЧи. Определить усилия в стержнях плоской фермы (рис. 28, с. 46). РЕШЕНИЕ В основу расчета положим метод вырезания узлов ) . В статически определимой неизменяемой ферме с Х узлами, стержней всего 2Х вЂ” 3.

Для Х узлов составляем 2Х уравнений проекций на оси и,у, Включаем в число стержней три опорные стержня (два для неподвижной опоры А и один для опоры В, рис. 29). Таким образом, число уравнений совпадет с числом неизвестных. ОписАние пРОГРАммы Программа (с. 353, 354) состоит из трех блоков. 1. Ввод данных. Задаем число узлов и число стержней фермы, величины нагрузок (в кН), углы. Оператор ена11 переводит символ Р1, в формат вещественного числа я. Для алгоритмизации процесса составления уравнений пронумеруем стержни и узлы (рис. 183).

Шарниры 8, 9, 10 необходимы для ориентации опорных стержней 12, 13, 14. Для этих шарниров уравнения равновесия не составляются. Координаты узлов х, у задаем в виде векторов (массивов) с Х + 3 компонентами. Начало координат помещаем в опоре А (узел Ц. Вектор заключен в скобки ( >, элементы отделены вертикальными черточками ~.

Указываем номера точек приложения (ИЬе8) векторов усилий в стержнях и номера их концов (Иена). Точка приложения выбирается условно, так как стержень подходит к двум узлам, и в качестве начала вектора усилия можно взять любой из них. М Алгоритм Горячева В.Н., Резунова Л.В. 15.1. Расчет фермы 351 2. Рисунок фермы. Для контроля ввода геометрических величин изображаем ферму средствами графики Мар[е Ч. Для этого задействуем оператор вывода графических объектов на экран 01вр1ау. 5 10 б 7 Рис. 183 Изображение стержня с номером 1 присваиваем переменной К [1] в цикле по числу стержней, включая опорные. Одна из форм оператора цикла в Мар1е имеет вид Хог 1 Хгош 11 Ьу 12 со 13 бо ...од.

[Паг Ьу 12 и начальное значение 1гош 11 по умолчанию приняты равными 1 и могут опускаться. Оператор РьОТ(С1ЖеЕЯ[[[х1,у1], [х2,у2]])) создает графический объект — отрезок с концами в точках с координатами [х,у )и [хз,у ). Для вывода номеров стержней и узлов выбираем шрифт и размер.

Эти значения заносим в переменную Шрифт. В Мар1е для переменных можно использовать русские буквы, программы при этом читаются легче. В отдельных циклах создаются графические объекты Шарнир[1] — номера узлов, Стерхень[1] — номера стержней. Цвет номеров задает оператор СОЬОК[НОЕ,п). Выбор цвета определяет дробная часть числа п. Можно также использовать оператор СОВОК®ОВ,п1, п1,п3) и выбирать цвет оттенками красного, зеленого и голубого, 0 < п1 < 1. Оператор для изображения нагрузок —.

аггея. Параметры стрелок (толщина стрелки, толщина острия, отношение длины острия к длине стрелки и цвет) присвоены переменной агн с[тобы не писать длинный список объектов, для вывода изображения используется запись аеп®[1],1=1 .Н) — — краткая форма прос- 0 В пакетах р1ося и р1огсоо1а системы Мар1е 7 оператор аггоя определяется различным образом, поэтому порядок подключения этих пакетов для решения является существенным.

Гл. ПВ Программы по статике 352 того перечисления В[1], В[2],..., В[М]. В операторе бйвр1ау можно использовать различные режимы (опции); еса11пб=соввтга1вес( -- опция, задающая одинаковый по осям координат масштаб рисунка. Если после оператора е)1вр1ау поставить не двоеточие, а точку с запятой, то на экране появится изображение фермы (рис. 183). 3. Вычисления. Косинус угла усилия Б [1], ( = 1, ..., ЛХ с осью т, приложенного к узлу ], поместим в переменную типа двумерного массива 6 [2]-1,1]. Косинус угла этого же усилия с осью у — в 6 [2],1].

Элементы 6 предварительно обнуляются командой гевеагт. В теле цикла вычисляются 6[1,]]. Каждое нз неизвестных усилий Я, входит в систему уравнений дважды: в уравнения равновесия узлов МЬеБ ПП и Мепб ПП с разными знаками. Только усилия опорных стержней с номерами М-2, М-1, М появляются в уравнениях равновесия по одному разу, отсюда необходимость условного оператора 11 ( М-2... 11*) . Проекции нагрузки Е и Е „, приложенной к узлу ], заносятся соответственно в элементы 2]-1 и 2] вектора В правой части системы уравнений. Ь1пеагБо1че (А, В) -- оператор решения системы уравнений с матрицей А и вектором правой части В.