Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике, страница 14

Здесь использована библиотека 11па18. В последних версиях 34ар1е 6,7,8 существует более совершенный пакет ЫпеагА18еЬга. В этом случае операторы скалярного и векторного произведения необходимо заменить соответственно на роСРгойпсс и СгоявРгойпсе. Полный текст программы размещен на странице сети Интернет алла.асайещ1вхх1.гп/во1вегТ54.авп11. 1 2 3 4 5 6 7 8 10 1.756 2.954 5.268 1.402 2.013 4.078 — 0.372 2.594 1.228 3.297 Н 2.195 1.849 3.364 5.8781 2.121 6.912 3.585~ 2.546 6.862 5.561~ — 3.394 6.664 4.390~ — 1.697 5.119 3.097~ — 2.121 5.543 3.536 3.279 4.836 4.243 -4.946 7.013 2.536~ 3.321 4.355 2.121'-1.927 4.369 2.657 0.000 -7.028 -9.941 -16.971 -9.292 8.787 -12.728 0.000 -10.000 Нм 1.874 12.000 5.622 27.

153 13.576 12. 233 -26.229 7.782 — 9.600 4.800 0.000 -1.259 -12.000 — О. 765 2.494 0.000 0.000 20.000 0.000 0.000 3.252 12.066 15.000 28.926 21.876 15.362 27.662 Глава 5 ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ 5.1. Центр тяжести плоской фигуры Постановка задачи. Найти площадь и координаты центра тяокесгаи плоской фиеурьь ПЛАН РЕШЕНИЯ 1. Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны. 2. Выбираем систему координат. Вычисляем площади и координаты л,, у, центров тяжести отдельных частей.

Площади вырезанных частей берем со знаком минус. 3. Находим общую площадь фигуры но формуле А = 2 А,. 4. Определяем координаты центра тяжести фигуры: 2 А,.и, 2 А,у,. с 1 ' с ПРИМЕР. Найти площадь и координаты центра тяжести плоской фигуры. Криволинейный участок контура является половиной окружности с центром на оси Ох (рис. 74). Размеры на рисунке даны в метрах. Рис. 74 5.1. Центр тлжетии плоской фиеуры 119 Рншрнин 1.

Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны. Центр тяжести прямоугольника находится в его геометрическом центре, положение центра тяжести других фигур, встречающихся в задачах, изображено на рис. 75. .' 3 13 21 Рис. 75 Рис. 76 Рис. 77 Представляем фигуру в виде двух треугольников 1,2, прямоугольника 3 и выреза 4 в виде полукруга (рис. 76). 2. Вычисляем площадь (в м ) и координаты центра тяжести (в м) каждого элемента: 1=0.667, у, = —, 2=1.333, 2 1 3 .4з=3.2=6 хз 3.142. 1з Ал = ---- — — — = —.1.571, 2 4.1 хл —— 3, у4 — — -- — — — 0.424. 4 ' 4 3 1 — 2 1=1 2 1 — 4 1=2, 2 2 хз = 3 2 х 3 1 =1+ 2 4 = 2.667, у = 2+ — 1 = 2.333, 1 3 1 3=25 уз= 2=1 Гл.

5. Центу тяжести. 120 Площадь выреза берем со знаком минус. 3. Площадь фигуры А = ~ Ае = 1 + 2 + 6 — 1.571 = 7.429 м . 4. Находим координаты центра тяжести всей фигуры: Аех, 0.667 1+ 2.667 2+ 2.5 6 — 3. 1.571 хе = ' * — — 2.192 м, А 7.429 А,уе 1.333 1 + 2.333 2 + 1 6 — 0.424 1.571 А 7.429 Вычисления удобно свести в таблицу: Сначала заполняем столбцы А,, х„у,, затем вычисляем статические моменты А,х„А,у,.

Внизу записываем суммы столбцов, необходимые для вычисления координат центра тяжести. Таким образом 16. 288 11.333 х = =2.192м,у = =1.526м. 7.429 ' ' 7.429 Зямвчлиив 1. Большинство задач на определение центра тяжести допускает несколько способов разбиения фигуры. Это можно использовать для проверки решения. Второй вариант разбиения фигуры в данном примере состоит из прямоугольника 3 с размерами 4мх3м и вырезанных из него полукруга 4 и двух треугольников 1 и 2 1рис. 77). Злмвчлнив 2.

Решение задачи в системе Мар1е Ч методом контурного интегрирования приведено в 2 15.2, с. 355. Условия задач. Найти площадь 1в мз) и координаты центра тяжести плоской фигуры (в м). Отмет и на осях даны в метр х. Криволинейньей участок контура яв яется дугой половины или четверти окружности. Гл. 5. Центу тяжести. 122 ЗАМЕЧА1!ИЕ 3. Во всех вариантах фигуру можно разбить на пять частей. Ответы 5.2.

Пространственная стержневая система постлновкА злдлчи. найти координаты центра тяжести пространственной фиеуры, состоляцей из % однородных стержней. ПЛАН РЕШЕНИЯ 1. Разбиваем фигуру на отдельные стержни. 2. Выбираем систему координат. Вычисляем длины и координаты х,, у,, ли ! = 1, ..., Д! центров тяжести отдельных стержней. Координаты центра прямолинейного однородного стержня вычисляем как полусумму координат его концов. Х 3. Находим суммарную длину стержней системы Г = ~ Гч. а=.! 4. Определяем координаты центра тяжести тела по формулам ю 1и ,, = — ~ 'Ь,хо у, = — » Л„.у„ ю=! а=! ПРимгР.

Найти координаты центра тяжести пространственной фигуры, состоящей из шести однородных стержней (рис. 78). Даны размеры: а = 12 м, Ь = 16 м, с = 10 м, д = 5 м. РЕШЕНИЕ 1. Разбиваем фигуру на шесть стержней. 2. Выбираем систему координат !рис. 78). Вычисляем длины и координаты х„у,, ьи ! = 1, ..., Л' центров тяжести отдельных стержней. 5.2. Пространственная стержневая система 123 Рис. 78 3.

Находим суммарную длину стержней системы: Ь = ~ Ь,. = 79.162 м. Промежуточные результаты удобно занести в таблицу; 4. Определяем координаты центра тяжести тела по формулам 1 1 х = — ~~«Ьх =4.774м, у,= — ~ ~Ау =6.921м, «=1 1 — Ь,г, = 5.379 м. «.=1 Условия задач. Найти координаты центра тяжести пространственной фигуры, состояи4ей из шести однородных стержней (в меепрах), Размерь«даны в метрах. Гл. 5.

Центр тяжести а = 5, Ь = 4, с = 3, д = 2. а = 3, Ь = 4, с = 3, Н = 2. а. = 6. Ь = 5, с = 4, е1 =- 3. а =- 4, Ь = 6, с = 5, д = 4. а =- 5, Ь =- 4, с =- 3, Н =- 1, а =-3, Ь=-4, с=-3, Н=-2. а = 4, Ь = 6, с = 5, Ы =- 3. а = б, Ь = 5, с = 4, Ы = 2. 10. а = 3, Ь =- 4, с = 3, е1 =- 1. а = 6, Ь = 5, с = 4, с1 = 2. 5.3. Центр тяжести объемного тела 125 Ответы В таблице ответов 7 — суммарные длины стержней (в м). 5.3. Центр тяжести объемного тела ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

Найти координаты Пенн!ра тяжести однородного объемного тела. ПЛАН !лЕН!81!Ия 1. Разбиваем тело на простые части, положение центров тяжести которых известно. 2. Выбираем систему координат. Вычисляем объемы й! и координаты х„р!, г, центров тяжести отдельных частей. Объемы вырезанных частей берем со знаком минус. 3. Находим обп!ий объем тела по формуле й = 2 Ъг 4. Определяем координаты центра тяжести тела: , = 2„1;т,~1; 9, = ~, 1;9,11; =„= ~ 1;г;11' Примнр. Найти координаты центра тяжести однородного объемного тела (рис. 791; а = 10 м, 5 = 12 м, с = 6 м, д = 8 м, Л = д!!2. с) с~~ 9 Рис.

79 24.764 28.065 40.097 38.231 23.933 й 1.439 0.605 1.924 6 29.164 2.945 1.929 2.216 7 30.986 3,105 1.007 2.883 8 39.460 2.744 2.476 3.233 9 21.648 1.124 0.556 1.939 10 31.021 2.500 1.548 2.000 0.796 2.807 1.563 2.856 2.680 1.635 2.177 2.092 2Л52 2.957 1.985 3.019 Гл.

5. Центу тяже.ети 126 РЕШГНИГ 1. Разбиваем тело на пирамиду 1. параллелепипед 2 и половину цилиндра 3 (рис. 80). 2. Выбираем систему координат. Вычисляем объемы ~~", и координаты х1, у,, х, центров тяжестей отдельных частей. Центр тяжести пирамиды 1 лежит в точке С, СеС = СеО гг4, 1 3 5 1 7;= — аЬс,х,= — а,у = — Ь, - =И+ — с. 3 ' ' 8' ' 8' ' 4 Центр тяжести параллелепипеда 2 совпадает с его геометрическим центром: 1, 1 1 1гз аЫ хз= а уз — Ь, зз= — д. Объем половины цилиндра 3 берем со знаком минус: Ьз=-"На12 хз=-' уз=Ь вЂ” ' хз=-1, где 1 = 4ЛД3я) — расстояние по оси у от оси цилиндра до его центра тяжести Рис.

80 3. Находим общий объем тела: 1е = ~ ~Ъ; = 240+ 960 — 261.327 = 948.673 мз. г=1 0 В общем случае объем тела, лежащего в области й, можно найти, вычисляя тройной интеграл по области Р = Щг1хг1уг1х, а координаты центра тяжести, например, х„однородного тела можно определить по фор- 1 муле х„= — / / / хе1х Иудах; см. Решебнин ВМ, 612.9. 127 Условия злдяч. Найти координаты центра 7аяжсети Однородного объемного тела. Размеры даны в метрах.

У 3. 7 6 4. 0 6 6 В =- 2 см. лх 5.3. Центр тяжести объемного тела 4. Оцредеяяем координаты центра тяжести тела: 1 ~, 240 3.75+ 960. 5 — 251.327 5 , — — — — 4.684 м. с-1,-,, 948.673 с=1 1 с-' 240 7.5 + 960 6 — 251.327 10.302 1с г ' ' 948.673 1=1 1 240 9.5 + 960 4 — 251.327 4 $'г — ' — 5.391 м. с 1, с с 948.673 с=1 з 6 5 4 У 6 5. 6. 61 9 7 5 10 9 7 6 У 5 6 У 6 6 У Гл. 5. Центр тяжести 128 7. 24 14 11 8 8. о 8 2 8 У 8 У В =- 4 см. 4О О 8 О 8 7 8 У 8 4 У ех > х Ответы В таблице ответов дан объем тела — в мл, координаты центра тяжести в м.

114.б67 180.000 237.699 558.000 490.000 1. 744 2.361 2.823 2.903 2.334 б 872 Г1 884 8.463 ~ 1.741 9.491 ~ 1.882 12.129 ~ 3.000 12.995 2.893 6 7 8 9 10 х, 717.500 ~ 3.193 1458.000 ~ 3.000 625.664 ~ ~2.500 816.000 ~ 3.176 266.667 ~ 2А69 12.584 14.897 12.131 13.343 12.600 4.263 5.333 3.616 3.608 1.800 хХаСтЬ П КИНЕМАТИКА Кинематика — наука о движении геометрических тел. В ней рассматривается само движение без изучения причин, вызывающих это движение.

Впервые термин "кинематика" ввел А.Ампер (1775 — 1836), взяв за основу греческое слово кмч1ца, означающее движение. Простейшим объектом в кинематике является точка. В кинематике точки рассматриваются следующие функции времени й радиус- вектор г'11), скорость с'11) и ускорение И'(1): сйЩ - сУ(1) (РАЙ(1) пг ' й и'1з Движение тела в кинематике начинают изучать с поступательного и вращательного движения. Во вращательном движении вводятся понятия угла поворота тела уф, угловой скорости и углового ускорения. Последние две величины векторные, но для вращательного движения их направление всегда постоянно по оси вращения. Поэтому в решении часто используются скалярные величины ю,(1) = р(1), е,11) = ю,(1), имеющие смысл проекций этих векторов на ось вращения ж Точкой будем обозначать производную по времени. В плоском движении тела каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой фиксированной плоскости.

Само тело вовсе не обязательно должно быть плоским. Говорить о скорости тела или его ускорении в общем случае не имеет смысла: тело состоит из множества точек, каждая из которых может иметь свою скорость и ускорение. Исключение составляет поступательное движение тела, при котором равны скорости и ускорения всех точек. Кроме того, в некоторых задачах иногда говорят, например, о скорости катящегося цилиндра или о скорости автомобиля, подразумевая при этом 1ЗО скорость точек центральной оси цилиндра или скорость кузова автомобиля, принимая его за точку. Угловая скорость и ускорение для плоского движения --.векторные величины, но их направления всегда перпендикулярны плоскости движения. Введем декартову систему координат, в которой плоскость тр совпадает с плоскостью движения. Тогда угловая скорость м и ускорение Г направлены вдоль оси ж В решении задач удобно использовать скалярные величины — проекции этих векторов на ось я:м,ие,.