Кирсанов М.Н. - Решебник по теоретической механике, страница 10

Конструкция состоит из двух частей, шарнирно соединенных в кочке С (рис. 52). Опора В представляет собой одностороннюю связь и допускает проскальзывание с коэффициентом трения )' = 0.2, опора А неподвижный шарнир. К конструкции приложена пара сил с моментом ЛХ = 10 кНм, сила б1 = 10 кН под углом и = 60'. 75 ЗУЕ Трение скольжения Размеры даны в метрах. Найти пределы изменения нагрузки Р, действующей под углом Д = 30 на конструкцию, в условии равновесия. Рис. 52 РЕШЕНИЕ 1. Задаем направление возможного движения подвижной опоры, скользящей с трением Предполагая возможное движение ползуна В влево, силу трения Х' направим направо (рис.

53). Предельное значение силы трения связываем с нормальной реакцией опоры Х по формуле Кулона: где 7" = 0.2 — коэффициент трения. Ртр Рис. 53 Гл. 3. Равновесие нри наличии прение 2. Решаем задачу о равновесии системы тел. Для этого систему разбиваем по шарниру С на две отдельные части АС и СВ. Реакции шарнира С Х , у для левой и правой части направлены в противоположные стороны (рис. 54). К точке А герикладываем две составляющие реакции неподвижного шарнира Хл, 1'л. 1л 7 Рис. 54 Действие ползуна заменяем нормальной реакцией 11', направленной вниз,так как ползун по условию задачи является односторонней связью, и силой трения Е . Из множества комбинаций уравнений равнотр' весна (3 2.4, с. 60) выберем уравнение моментов относительно точки А для всей системы в целом (рис.

53) и сумму моментов относительно С для правой части: М,1"' — — — Л' 13 — Е;р 8+ М вЂ” Я 7.сйпо+ + Я 8 сов о+ Р(4соеД+ 13япД) = О, ~ Мс' — — — Х.6 — Г .4+Р.бвшД= О. (2) Уравнения (2) вместе с законом Кулона (1) образуют замкнутую сис- тему трех линейных уравнений с тремя неизвестными йс, Е р, Р. Ре- шение системы имеет вид дс = ЗР 3+ 21 6+ 4(' 0.978+ 0.746)' (3) При 7" = 0.2 получаем Р, = 3.015 кН.

Эта нагрузка для движения влево является предельной. 77 3.1. Трение скольжения 3. Меняем направление возможного движения системы и направление предельной силы трения. Пусть ползун В движется вправо. Силу гч направим в противоположную сторону. Очевидно, знак моменга силы Ет в уравнениях (2) изменится на противоположный, следовательно, решение для нового направления движения будет отличаться от (3) только знаком при 1".

Формально подставляя в (3) )' = — 0.2, получим Рг = 3.136 кН. Значения Р, и Рэ являются границами области равновесия. Нтобы убедиться, что равновесие соответствует значениям нагрузки между этими числами, определим Р при 7' = О. Действительно, из (3) имеем Р1 < Р = 3.066 кН < Р . Из выражения (3) для Х также следует, что при 7" = х0.2 нормальная реакция Х > О, поэтому отрыв ползуна В от поверхности невозможен.

Таким образом, рама находится в равновесии при Р. <Р<Р ьаь — — ыах' где Р = 3.015 кН Р = 3.136 кН. Этим нагрузкам соответствуют следующио значения нормальной реакции: Х . = 1.330 кН, Х = 1.806 кН. Зямкчяник. Неравенство Л'~ыьц < Х~„,„,.~ не является обязательным. Условия элдлч. Конструкция состоит из двух шарнирно соединенных между собой тел. Опора В представля.ет собой одностороннюю связь и допускает проскальзывание с коэффициентом трения Т. Найти пределы изменения нагрузки Р, действующей на конструкцию в условии равновесия (в кВ).

Размеры даны в метрах. Я =. 30 кН, ЛХ =- 10 кНм, о=60', 0=30', 7" = 0.3. Гл. 3. Равновесие при наличии трения 80 10. Я = 60 кН, ЛХ = 120 кНм, о = 45',,3 .= 30', 7 = 0.1. 26 4 14 7 Ответы лт (и ах1 пан и~ах оын 3.2. Трение качения Постлновкл злдлчи, Система состоит из двух цилиндров, соединенных стержнем. Цилиндры могут ката7пься без проскальзывания, один цилиндр без сопропщвяения, другой — с тпрением качения.

В каких пределах меняется внешний момент, приложенный к одному из цилиндров, в условии равновесия системы? Трение качения происходит за счет деформации цилиндра и опорной поверхности в месте контакта. В результате реакция опоры смещается в сторону возможного движения на половину длины площадки контакта и создает момент сопротивления. Плечо этого момента принимают за коэффициент трения качения. Таким образом, М = Хб, где Х -- реакция опоры, б — коэффициент трения качения, имеющий размерность длины.

Так в рамках теоретической механики, где изучается твердое тело, для объяснения явления трения качения вводят гипотезу деформируемости. Считают, что область деформаций 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35.019 47.392 48.951 14.705 38.807 37.163 67.892 103.805 45.587 2.319 28.238 22.726 36.266 66.891 18.191 19.446 61.674 49.694 41.872 18.121 115.080 54.669 163.360 27.849 41.937 40.139 120.648 112.

148 139.065 6.877 105.197 ! 27.028 ~ 154.415 ~ 54.217 ,' 22.466 ~ 19.216 ' 99.826 ~ 58.682 ~ 113.924 ~ 16.740 , 3.2. Трение качения в теле мала, а глубиной продавливания цилиндра в поверхность (или величиной смятия цилиндра) пренебрегают. Коэффициент трения качения зависит не только от свойств материала цилиндра и поверхности,но и от радиуса пилиндра. ПЛАН РЕШЕНИЯ 1.

Задаем направление возможного движения при достижении условия предельного равновесия. К катящемуся телу 1цилиндру, колесу) прикладываем момент трения качения, направляя его в сторону, противоположную возможному движению. Не забываем про силу сцепления в точке контакта, направленную вдоль плоскости. 2. Решаем задачу о равновесии системы тел.

Используем метод разбиения системы на отдельные тела. Внешние и внутренние связи заменяем их реакциями. Составляем и решаем уравнения равновесия. (Эси координат для уравнения проекций для цилиндрических тел выбираем вдоль нормальной реакции, а уравнение моментов составляем относительно точки касания. Из решения системы уравнений равновесия определяем условие предельного равновесия.

3. Меняем направление возможного движения системы и направление момента трения качения. Решаем задачу. заново, определяем второе условие предельного равновесия. Пример. Система состоит из двух цилиндров весом С, = 20 Н, и С = 30 Н с одинаковыми радиусами В = 50 см, соединенных однородным стержнем веса С = 40 Н.

Цилиндры могут кататься без проскальзывания, цилиндр 1 без сопротивления, а цилиндр 2 с трением качения. Рис. 55 Коэффициент трения качения д = 2 мм. К цилиндру 1 приложена пара с моментом ЛХ. К оси цилиндра 2 приложена наклонная сила Р = 10 Н (рис. 55). В каких пределах меняется момент ЛХ в условии равновесия системы? 6 М.Н.

Кирсанов Гл. 3. Равновесие при наличии парения Ркшкниг, 1. Задаем направление возможного движения при достижении условия предельного равновесия. Пусть за счет достаточно большой,по сравнению с моментом М, силы Г произойдет движение системы влево. Тогда момент трения качения, приложенный к цилиндру 2, будет направлен по часовой стрелке (рис. 57). Его величину находим по формуле М, = Х 5. 2. Решаем задачу о равновесии системы двух цилиндров и стержня.

Разбиваем систему на три тела (рис. 56, 57, 58). Внешние связи заменяем реакциями Р„ц„Л'м Генг, Лг, . ~у Хг А цг цг Кг Рис. 56 Рис. 57 Рис. 58 Реакции Е,цг и Р',ц приложены к цилиндрам в точках их касания поверхностей, вызваны силами сцепления (трения) и обеспечивают вращение цилиндров. Реакции внутренних связей — Хм 1м Хг, Уг. При составлении системы семи уравнений с неизвестными Хм 1;, Л", Хг, 1г, Л", М избегаем уравнения, в которые входят неизвестные Составляем уравнения равновесия для цилиндра 1 (рис. 56): Уравнения равновесия цилиндра 2 (рис.

57) имеют вид (2) 2 М~™"' ~ = — Х Ге — М, + Есов45'й = О. 3.2. Трение качения 83 Уравнения равновесия стержня АВ (рис. 58) имеют вид 2 Х~"'Р~ = — Х, — Х = О, 2,'ЛХя' '"~ = — Х АВзгп30' — У АВсовЗО'— — Сз(АВ/2) сов 30' = О. (3) Из решения системы уравнений (1 — 3) определяем чУЗЛ ЕЛчГ2 — б(Сз + 2С + Еъ'2) 2 Л,З+б (4) Радиус и коэффициент трения качения переводим в метры Л = 0.5 м, б = 0.002 м.

Получаем ЛХ = 3.414 Нм. Вычисляем нормальные реакции опор: 1У, = 36.058 Н, Х = 61.013 Н. является только в знаке М „во втором уравнении равновесия (2). Так как Л1 = Л . б, то новое решение для Лг будет формально отличаться от (4) только знаком у коэффициента трения Р Кг нг б. Поэтому, не решая (и даже нс составляя) системы уравнений равновеРис. 59 сия типа (1 — 3) для нового направления возможного движения, записываем ответ, изменяя знаки у б в (4): чгЗЛ Е'Л~Г2+ б(С +.

2Сг+ Е~Г2) 2 ЛчГЗ вЂ” б Точно так же находим нормальныс реакции опор: г"ч' = 35.776 Н, 1У = 61.295 Н. При равновесии системы момент, приложенный к Убеждаемся, что г"я' > 0 и г я' > О, что соответствует наличию опоры. Коли реакция опоры равна нулю, то это означает отрыв тела от поверхности, отрицательной реакции опоры гУ < 0 в задаче с односторонней связью не существует (физически не реализуется). 3.

Меняем направление возможного движения системы. Пусть за счет действия момента М произойдет движение системы вправо. Момент трения качения направим против часовой стрелки (рис. 59). Составляя уравнения равновесия для новой системы сил, заметим, что отличие от прежней системы про- Гл.З.

Равновесие при наличии трения цилиндру 1,изменяется в пределах (в Нм) *) 3.414 < М < 3.658. Условия задач. Система состоит из двух ц линдров весом С и Сз с одинаковыми радиусами В, соединенных однородным стержнем весом Сз. Цилиндры могугп кататься без проскальзывания, цилиндр 1 без сопротивленилц а цилиндр 2 с трением качения (б). В каких пределах меняется внешний момент ЛХ при условии равновесия системыу Сз = 22 Н, Сз = 23 Н, Сз=50 Н, Е = 10 Н, В = 50 см, б = 4 мм. Сз =10Н,Сз =23Н,Сз=ЗОН, Р = 5 Н, В = 35 см, б = 3 мм. 3. Сз = 5 Н, Сз = 25 Н, Се=10 Н, Е" = 30 Н, В = 65 см, б = 5 мм.