Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа, страница 67

4039. У= +к,+ п + пд"=Се ""/"-1-пх — а. 4041. «в=да(С вЂ” дв). у(!+!и к+Сх)=1. 4043. У(х+С)=васк. у= ~ /С+1п)сов«~ )в к' х +12«~ . 4045. у=- -1пв)сх!. ув=Се ' — —, 4047. у=— а' к+С !) — + --=-1; 2) —;+ —,— =1. 4049 а Ь а Ь р — й (рв — Й) ф х у ' хв у' ' р рвфв х" — хаут+у)=С. 4051. х+агс12 — =С, у х хек †де. 4053. «у=с. 40о4. !'ха+ув + — =С.

1 — 1 13(хд) — со⫠— сову=С. 4056..— )'(хв+ув)в+к — — ув=С. 2 мп -- — сов — +х- — =С. 4058. х-у/к=С. Интегрирующий мноу х д д (х)=!/х-". 4059ь. х'+2к/У=С. Искать интегрирующий множитель нкции р(у). (хв+ув) е"=С. 4061. --+ — =С. да )их 2 — !в — )) 1 Р(к) ев (ха)п у+усов у — вп у) от=с. 4064. р=у-"е д' — Х'„ Выражение « " долигно быть функцией от (к+у). Выражение " " доли<но быть функцией от ху, «Х — уг' аЬ«+ Ь'у+ а+ Ьс = Свах.

406В. д =1Се(м )) Ь«/е — — 1 е 'и/(1-вв! Ь~ кв 1 2ху ув 4х+8У=С. -(-1п ) к-1-у)-(-З(п ) У вЂ” к! =С. х — у к.( у а12(с+у/а). 4072 ув — З«У=С.' «в дв = Сув. 4074. Зеву+ хвув = С. „~„и+ д)=СС-. 4076. 1 )1+д! — =6. 1 ) 1+У 3 ) ув 1+С«У=О. 4078, +,!и! — ~=С ху 1х к — у ' 1д З)ггд =Стгхв — 1+ха — 1 4080 У=мах+Сепах д— 2е«ИО У , 4082. 16 — —.=С.

С -1-е«(соа х+ мп х) ' мп х в! П."- У «е " =С. 4064. «усов-=С. 4065. 3(цд=х-!+Се х, отняты яя.р-4 — -.4ю.~ ~с'= — н~"' .яя. ~-"с. С+них 4089. «=х1п(Сх!. 4090, уз — Ьу — азу=С. Зй 4091. Окружность х'+уз- — (ах+Ьу)=С (й~-!) илн окружность А+! хт-(-у' — (ах+Ьу) =С (Ф ф 1); если А= -! нлн 1=1, то прямзя 2Ф ах+ Ьу = С. Щ щс гав з 4092.

Логарифмические спирали )/хз+ «з = Се я 3 .Я4+ Са 4093». «з= —, /(ифференцнальное уравнение задачи уз=х(х — а«'). Зх' 4094. 1 =Г/2. 4095. Вектор поля в каждой точке перпендикулярен к поларному радиусу точки. Интегральные кривые †семейст концентрических окружностей с центром в начале коордннет. Уравнение семейства х'+у' С. Изоклены †семейст п)аяммх, проходящих через начало ноордяяят. 4096.

Ц у' /(х«); 2) у /(у/х); 3) у'=/(аз+уз). 4097. Прямые «=Сх. Результат может быть высказан в форме следующей геометряческой теоремы: если семейство парабол, имеющих общую ось и общую вершину, пересечь прямой, проходящей через вершину, то касательные к различным параболам в точках пересечения иа е прямой будут между собой параллельны. 4099. у' — +С; у'=ау+Ьх+С. 4103.

«~0,31 пря ох=0,05. а«+ Ь 4104. д:я1,58 прн ох=005. 4105. Точное решение: д=а1/4 =/(х); /(О 9) 1,2244. Приближенное решение: /(0,9)= 1,1942. Относительнан погрешность Равна 2,5 аа. 4108. ПРи точном Решении х ~/3(е — 1) ща1,727; численное интегрирование при делении интервала на 4 части дает х чя1,72. 4107. «з=!+х+ — хз+ — хз+ — ач+ — х1+ — хз+-; — хт. 3 4 13 1 1 1 2 3 24 4 18 03 4108. — 1,28.

4109 у=1+а+хе+2хз+ — хч+... 13 х ха х1 4 4!!О. у=! — х+ — — — + — +- 3 2 5 И11. у=--хз — хт — — хп-- ! ! 2 3 7 9 7 1! 27 4112. у=!+2х — хз+ — хз — ~- ха+". 4 3 3 хз Зхт 11хч 41!3, «=0. 4114. у=х+ —,+ — + — 4+"« 3 2 ° 3 ° 4 хз хз ха 4115. у 2! 31 61 (х — 1)з 2 (х - 1)з 4 (х — 1)4 60 (х — 1)4 4!!6' « = ! + (» !) 2! + 31 + 41 5! 4117.

у=Сх+О; особый интеграл ха+4«=0. 4116. у=Сх — ЗС4; особый интеграл 9у -4- 2х 3Гх=О. 4119. у= Сх+ 1/С; особый интеграл уз=4х. 4120. «=Сх+ф'!+Ст; особый интеграл х'+у'=1. 4121. у=Сх+зшС; особое решение у х(к — агссозх)+у'! — хз. 4122. х=Сх-!пС; особое решение а=!п х+1.

4123. «=()/к+1+ С)з; особое решеняе у=О. 4124. у = Схз-) 1/С; особый интеграл уз-4ха О. 4126. 2Сх=Сз-дз! особого интеграла нет. 4126. х=Са-у+2(1 р), у=х(1+р)+рь, особого интеграла нет, 4127. «=Сх-а~; особое решение д х(1пх-1). 4!26. «=Сх+С+Сз; осо. бее решенке у=-(х+!)з/6, 4129. «=Сх+аз/1-Сь, особый ннтегрзл )/угт -$~ хз =)/аз. 4136. (С-х) у=бе! особое равенне у = 4л. 376 ОТВЕТЫ 4131. уа — 4е" =.-О. 4132. хУ=1. 4133. 2у — ха=0. 413з. Равнобочнзэ гипеРбола 2ху=.<- а'-, где оэ — площадь треугольника; тривиальное решение — любая прн. мая семейства у= г: Сах/2+аС.

4136. (у — х — 2а)*=8ох. 4!37. Эллипсы и ги. перболы. 1 ! 4138. х= Се ц (1+рэ) Се у= " илн рэ (рэ+1) С вЂ” С У'р )/р у (/Р+22 ' " у'(рт+гу ' Ь эха / а 4139. уэ=Сх / +, 4149*. у=со!с!! С+ мпво), х=ипа ЭС 24+1' ' ( 2 х ~а — С вЂ” — выРа). В полученном дифференциальном уравнении положить 2 бд — — = 16 а, а затем выразить х через у н параметр и, найти г/х, заменить г(х дх через бд/(6 о и решить получившееся дифференцнзльное уравнение, считая у функцией а.

4141. 5 =Шэ, гдр а — некоторая опреиеленная константа. 4142. ха+уз=2аэ!п)Сх!. 4143. у ..Се "/э. 4144. у=С(ха+уз), 4143. (ха+у!)а=-С (уэ+2хэ). 4149. Если параметр парабс!х равен 2р н прямая взята в качестве осн ординат. то уравнения траекторий будут у=С+ 2 /2хч — 4147. Трактрнсы. 4148. Отсчитывая )тол а в одном нэ двух 3 У' возможных направлений, получим уравнение семейства ху — — (ха+уз)=С.

УГЗ 2 4149. Отсчитывая угол ст в одком нз двух возможньа напраалени6, получим уравнение семейства 1п(2хэ+хд+дэ)+ — агс15 — =С. 4150а. Можно 6 х+2у У7 хуг7 принять, например, что ветер дует вдоль осн Ох. Линна распространения звука по плоскости Оху б>дуг ортогональнымг. траекториями семейства эжруж- ностей (х — а1)э+уз=(ос/)э, где 1 — нремя, прошедшее после выхода звуковой волны из источника звука, а и! — скорость звука в веподвюкном воздухе. Для любого фиксированного 1 дифференциальное уравнение искомых ортого- нальнык траекторий у' = — совместно с уравнением семебства окружноу х — аг стай.

Исключая 1, получим неко!орое уравнение Лагранжа. Его общее реше- ние х=С(сок!у+Ь) (!6 — !, у=С а1п !у !(6 — ! ! где Ь=-т-, гр — па св раметр. 4151. х=С а(п1+/7 (соа1+1 ми 1), у= — Сом/+/2 (ни 1 — 1соз1). 4152. х=С/с)!/+а (1 — 1)! 1), у=С й1-1-а/с5 С 4153. х=а!сок/+ганг) — соэг(ага/2+С), у = — и (Б!и 1+ 1 соа 1) — э!и 1 (пр/2+ С).

4154. =Санг+2161, у=18 1 — Ссоэ/-2. 4155. у=ха/6 — а(п х+С,х+Сэ. агс(а х х 4156. у= — (хэ — 1) — — )п(1+к~+С!а+Сэ. 2 хаг 31 4157. у= — ~(п х — — 1+Сэх+Сэ. 4158. у=С,хэ+Са. 2( 2у 4159. д-с, +С,— — /г. 4166, у- /3+С! +С,. 4161. д=(1+С() )п( +С,)-с,х+См 4162. у=(Сх — Сэ)еэ/ог+1+Сэ. 4163. д= — (х+С!)э+С~ 12 ОТВЕТЫ 87! н, - — »я= »-;.ь.

2 ЗС, 4165. У= — --з!и х+Сг! — — — )-)-Сз. 4166. (х+Сз)э=4Сг(У С!) ! . гк а!В2хт 4167 у=С,(х+Сз)т,з 4168 у=Стехуа+Сза- »и 4!69. к= т. -- (91»З — 2С ) ]» у!тэ+Сг+Сз. 4!70. у= —,', 4171. (х+Ст)з — де=Со 4П2. у=С1е~' 4178. У соаз !х+ СО = Са. 4174. (х осСэ) )п У = х+ С,. 4175. Если произвольная постоянная, вводимая первым интегрированием, полоноиальна (+ С'), то у = С, !6 (С,х-)-Сэ); если же она отрицательна ( — С;*), ! ! аэгпгх РСН 1 то у=С~ „., = — С,суп(С,х-)-Са); если Ст — — О, то у= — —, ..~с»в и сн к+ Са 4176. х С +созС )п ~ !8 1. 4177.

Стх+Са=!и ~ — ~. у+С! ! у э 2 1' ' ~ д+Ст 4178., '=С,агс!8(С,!пу), С,)О. 4179. !п)Сту)=2!6(2х+Се). 2 4180. У !п , 'ха+С! )+ — !и ~-)-Са, если Ст(0, и У )х — р — С, )» — С, (к+)» — Сз 2о х 1п, кт+С, 1+ — агс!8 =+См если С„) О. )»С, ФС, 4181*. После подстановки у' =р уравнение распадается па два, из кото- рых охио — типа Клеро.

Его обшее решение у=С,+Сап'», а особые решения 4 у= — Другое уравнение у'=О. 4182. у=-С,х(х — С,)-1-С, н особые реше- С вЂ” х пня у = кэ,»З+ С. С,,с 4183. уз=С к'+Са 4181. к=!и ~ )Сз — х с, 4185. У = ]» ха+С,х+Сз, 4166. У=Стх-(-- —. 4187. у=С,хе у". 4!88. !п 'у+С,.'-1- '. =х-)-Сз. У+ Ст 4189. у=аз+За-ь!. 4199.

у=2+ !и 4 2 !б 4 4191. у= хт!» 2х —, 4192. у= —. 5 5 ' ' (х-!-1!" 4 !95. у — х = 2 ! и ' у '. 4194. у = Р»2х — к'-'. 4!РЕ у .)' ! -!-сь". 4196. у= — !п ! ! — х 5 4197. у=(х+1Ух. 4!98*, д = х. Сделать подстановку у=их. 4199. у=2е" гз — 1, ду ~ ». иаг»э»- (С,д)м" — ! коэффициент пропорциональности. Если 9=1, то у= — йес' + '+ 2С, +е !Ем ! ~'1] =,; это — цепная линия. Если й= — 1, то с ' с си (С1х+Сз) С (к+Се)а+уз=С,"; это-окружность. Если й=2, то (х+Сз)э=4С(у — Ст)! это †парабо. Если й= — 2, то ба=~» — ду; это †дифференциаль- / С,у ! — С~у ное уравнение цнклоиды.

372 отвнты 4201, еэт = Сзгес(х/о+С,). (202. Сх=у'з-'. 4203. Цепная линия. 4254. и= " „ . 4205. Парабола. 4206. 5= — ~1уг ! — (+С! — У'С»1. 4207». Пусть ось абсцисс на=ад 1~' Ь прааленз вертикально иниз, начало координат † поверхности жидкости, яп а т+от уравнение луча у=/(х).