Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа, страница 65

— л/! 26 Я 1'з/2 1'Я: - О' 355!. ~сйср ~ рс/р ) /(рсоьср, рйпср, г)йг я — у'я» — р' 2ч л/З Я нли ~ с/ср ~ я(пб~(б ~/(рсояср бпб, р я!пср йпя, рсояб) осйо+ й О 2л л/2 28 со, б + 1 с/ср ) ми Ьс/Ь '! /(рсояср я!п Ь, р ыпср я|п р, рсоа б) ряир. Ь л/з Ь 3552. ла/2. 3553. Вая/и. 3554. 4пйя/!5. 355О. ч/8. 3556. 4л (ЯЯ-/Я)/15. 8557. Ол/3.

3558. л З~'10+!п ~ — Р'2 — 8! 3559. !Зб 3560. ~ — + — ). 3561. ОЬс/б. 3562. !2. 3563. 1,'б. 3561. 78 .;.,-. ОЬ/ая Ьс! 15 3565. -)'б. 3566. !б. 3567. 45. 3565. !3 . 3569. 1б —, 3570. Оса~ — !. 48 ! 1 , 'л 11 3571. 22л. 3572. Я". 3573. !2 .

3574. = . 3575. 27. 3576. 3/8. 16 4 4ЯЯ 3 21' ' 15ис ' 3577. 88/!05. 3578. ОЬ//3. 3579. лсР/4. ЗОВВ. 2 < ." — !. 3581. Зс — 8. 2ОЯ+ ! ! 9 /'' 3582*. 4е † — 1, Тело сиичстрично относительно плоскости Н =х. 3583. 2 (ля — 35/9). 3584. !,с45. 3585. 16.9. 3586. л/4. 3587. 40л. 3588. 2л. 3589. ЗлЯО/2.

3590. "лая/2 4 /и 2 15 (Зл 3591. - аз /;. — - ~. 3592. ая/24, 3593. — — ! '- -(-1) . 3594. — ' — ! ) . 3595. л $~2/24. 3596. лсЯя/с/!б. 8597. 1/2. 3598, 2. 2 12 3599. лаЬ. 3600. аЬ/б. 3601. !б/3. 3602*. 5лая/8. Перейти к полярным координатам. 3603.

Зл/4. 3604. 2а'. 3605. 2/3. 3806. 1/бб. 3607. 1/!260, аяЬЯ Зйл 3608О. 1) — ; 2) †. Воспользоваться результатом задачи 3541, 3609. 8. 2аг' 25 ' 36!О. 7/!2. 3611. 3/35. 3612. 4 (4-31п З)„3613О. л/2. Проекция тела на плоскость Оху есть круг. 3614. л/8. Перенести начало координат н точку (1/2, 1/2, О). 3615». 19л/б и 15л/2. Перейти к цилиндрическим координатам. 3616. ЗлЯЯ/12. 3617.

л/96. 36!8. 92лЯЯ/75. 3619О. лаз/3. Перейти к сферическим координатам, 3620. Оя/360, 3621. 4лая/12. 3622. 4лая/3. 3823. 64ясга/105. От исты 26! 3624. игах/б. 2625 21 (2 — 'гг2) я/4. 2626. 14. 2627. Зб. 3628. Вп. 2629. 2 г~2лрх. 3630». 2п/гх. Проектировать поверхность на плоскость Оуг. 3631. 8 Р 2аЬ. 2632 — - ()(8 — 1). 16 3 3633. ='- ((1+ /?т)з(т — 1). 3624.

— () 8 — 1). 3635. 4па (а — )(а-'' — /(х ). 3636. 2/ст (н — 2). 3637 2/?г (и+4 — 4)' 2). 3638.: ЗУ2 — )(3 — —,1п2+) 2 !п()хз+р 2)). 2639. 2аа/Ып2а. 3640». — '()(3 — г~2) 3,42 1Ое км'. Перейти к сферическим коорди- !2 натам. 3641. 1бяаегз. 3642. 6/7» 3643. аЬ'(2. 3644. 2/?т/Э. 2645. и/7», 2646. Ва;4. 3647. Статический момент равен ал'/б. 2648.

((ентр масс лежит 4Ь на малой оси на расстоянии —.— от большой осн (Ь вЂ” малая полуось). 3. г и~ 3649 $=(1 — 1(г'2+1), т1=- ~ — !) (2+у'2). 26.0. 1~епчр лгасс 4 2 лежит па биссектрисе угла и на расстоянии . /7 — от центра круга. 3 а 4 3651. 1(ентр масс лежит аа биссектрисе угля а на расстоянии — /7 а — мп а от центра круга. 3652.

х»=Зя(!б, т(=О. 365Э. Зп/с94. 3654. 2а4(З, 3655. паЬ (ае+Ьх!(4. 2656. аЬ(аа+Ьх)/12. 2657. ал(ах-1-1Элт(/48. 3658. Зя/?т(2. 3659. ай(2Ь»(7+ах(ЗО] 3662». Выбрать систему координат тан, чтобы начало координат совпало с центром масс фигуры и одна иа координатных осей была параллельной оси, относительно Ьотороа ищется момент инерции. 3663.

атзс/2, аЬас/2 и аЬсх/2. 3664. пй»Нт(4. 3665. яа/ие(4. 3666. 2 = ! 4г!5, 9 = 26(15, 2 = 8(З, 3667. 2 = За(8, т(=- ЗВ/В, Ь= Зг/8. 3668. 2=6(5, т(=!2(5, ~=8(5. 3669. ~=18(7, ч)=15 Р б,'1б, ~=12/7. 5670. 5=0, т(=О, (,=5а(б Ггз+5)/ВЗ. 3671. $=0, !1=0, Ь=З/7(1+сова)(8. 3672. К = О, т(=О, ~ = 9аЯО, 3673.

$= /?/2„ т)= /7/2, ~= Ю2. 36?4. $=0, т(=0, Ц=(55+9)' З)(130. 367». М (М+ст)/3, М (ст+аВ(З, М (ах+ Ьх)(3 и М (ах+ Ьх+гх)(12. 3676. ?М/(тгб. 3677. М(Ь»+сх)(5, М (с'+ах!/5, М (ах+ах)/5. 3678. М(/гх/4+Не/Э) н М (Не+3/гх)/12. 3679. — М вЂ”.. 2 й" — га 5 цх-га ' З689. -'- . /7»Н (3/7»+ Нх). Збз!. 1 М (А + ! Н т!. 3682. 55+ 1 3 Мс .

3683. Л( (/?а+ ге)/2. 3684. 4а'/3. 3665. 2пг (/7 — г). 3686. 4?азх/3. 3687. 2пу ()?х — гт). 3688. ' (ЗНЯ+ 2Нг), 6 и,/г»»а 18»,.г 3689*. У . Если за ось Ог принять ось конуса, а за начало кобр. * и+3 донат — его вершину, то уравнение покуса будет хг+ рт — га(В»и = О. 3690, о-цу/?н. 3691. — ~18УЗ вЂ” — ). 3692*. 4=0, т1=0, 2= — Н. Перейти 3' ' ' 5 б~' 59 к цвлиндричесним координатам. 3893.

— и/?а. См. указание к предыдущей ' 480 задаче. 3694». Выбрать систему координат так, чтобы начало координат отпиты совпало с центром масс тела и одна из иоординатных асей была параллельна оси, относительно которой ищется момент инерции. 3696. ЬМщ/аз, где М вЂ мас шара, а д — гравитационная постоянная.

3696*. Воспользоваться 17 ЬМ результатом предыдущей задачи. 3697. — — , а- гравитационная постоянная. ' 56 Рз 3699. Центр давления лежит на оси симметрии прямоугольника, перпенлику лярвой к стороне а, иа расстоянии 2Ь/3 от стороны, лежащей на поверхности. Во втором случае (сторона а расположена на глубине й) расстояние центра 2Ь Ь+31/2 давления от верхней стороны будет равно . Ь 2, где 1=8/цпа. (Прн 3 Ь+21 ' 1~ Ь центр ' давления почти совпадает с центром прямоугольника.) й . 3 3700. а) — мп а; б) — й мп а.

3701. Центр давления лежит на большой осн 2 ' 4 зллипсз на расстоянии а+4 и от ее верхнего канна. 3702*. Выбрать сн- 4 (а+и) стему координат так, чтобы одна из координатных плоскостей совпала с пло скостью пластинки и одна из осей-с линией пересечения поверхности жидкости с плоскостью пластинки. 3703. Расходи~ся. 3704.

2л. 37ОЗ, —, 3706. 4. ' 4аз. 3707. 2. 3708. 1/4. 3709*. —.. Перейти к полярным координатам. 3710ь. 1/2. 2 япа' Переменить порядок внтегрирования. 3711*. 1/10. См. указание к предыдущей задаче. 3712, Сходится. 3713. Расходится. 3714. Сходится. 3715, Расходитсж 3716. Нет. 3717. 8/15. 3718. л/16. 3719*. л )( л; воспользоваться интегралом ОЪ Пуассона ~ е " г(»=г'л/2.

3720. Расходится. 3721. Сходится. 3722, Расха- 8 ( 1т дится, 3723. — лРз ! !и Р— — ). 3724*. л. (См. указание к задаче 3719,) з ( з) 3725. л/4. 37%. )(л/2. 3727. 2лйщу (Р+Н вЂ” )( Рг+.Нз). Сила направлена по Зльщ! Н оси цилиндра, д — грзввтациоиная постоянная, 3728. — (1- Н), где 1 1 — ОбРаЗУЮЩаЯ КОНУСа. СИЛа НаПРаВЛЕНа ПО ОСИ КОНУСа. 3729. а) а =47,— Зтч, 4 4 1(Мт Ь=. (7,-7); б) - лЬР7,= —,. 3730.

Определена всюду, кроме х=О. Р 4 8 ....(ул 2)раза г ) а" 4!а Проднффереицировать по а и по Ь и резульгаты сложить. 3737. !и !1+а). 3738. — !и(! + а). 3739. !п(а+)(!+аз). 3740. л()(1 — ах-1). 2 2 л л ! +)~1 — аз 3741. — !и (! +а), еслв а хе О; — — !п(1 — а), есле асо.

3742. л1п 2 ' ' 2 2 3743. лагсмпа. 3744. лагсцпа, 3745. )ла. 3746ь. 9' л [)' Ь вЂ” )' а). Дифферен. цирозать по а илн ио Ь. 3747". агс12 — — агс(й — агс(2 —. Дифференцировать по Ь или по с. Ь с а (Ь вЂ” с) а а а'+Ьс ' 3748. — (и —, 3749*. и)и —, Дифференцировать по а или ио О, ! аз+ Ьз „а+Ь 2 ах+аз' ' 2 л(2 л л х л 3750.

— ' !л(!+а), если а )О! — — !п(1-а), если а со; — а»= — !ц2. 2 2 18х 2 ОТВЕТЫ 3751». (п —. Интегрировать по параметру а в пределах от а до ф, 1+6 !+а' 3752. Ггн (Ь вЂ” а) З75З. — = ~ — =1/ —, 3755. -! —. 3756. — )и —. спахал Г михах I а л а 1 Ь )/х ~~ ргх у 2 2 Ь' а а' )+ш 8757». /=И ~~ ах = Г / (ах) — / (Ьх) е О х е )'+»» + с» Ье — ах — 1 — ах=!нп ~ — ул, /(ах) Г /(Ьх) .

и /(х) е»а х х е за! х е е ае Оцениваем последний интеграл, заменяя /(х) ее наибольшим и наименьпшм значениями в интервале (ае, Ье), и переходим к пределу. 3758. 1п —. 3759. !п -. 3760. --1п~ — ~. 3761. аЬ!и —, 3762*. — 1пз. Ь Ь 1 1а+Ы Ь „3 а' ' а' 2 (а — Ь~ а' *' 4 Представляя апах в виде разности синусов кратных дуг, сводим задачу к пре. дыдушей (при соотве1ствуюохем выборе а и Ь).

3763*. Для доказательства можно использовать два метода: !) интегрирование по частям; 2) изменение порядка интегрирования а двойном интеграле, получающемся после подстановки интеграла вместо бз (аа). 3764*, См. указание к задаче 3703. 3765». Воспользоваться вторым методом решения задачи 3763. При доказательстве вто+ СО Г мп ах соз (х а!и 6) рого соотношения необходимо исследовать интеграл 3 ал х при (а() ! и !а', <!.

Для этого преобразовать выражение, стоищее в чис- -1- » мих п лителе, и учесть, что ~ — ух= (интеграл дирихле). 3767 ° . Подставить х 2 о в левую часть проверяемого равенства выражения для у' и у', получаемые дийареренцироваинем интеграла у по параметру. Одно из полученных слагаемых проинтегрировать по частям. 3768». См. указание к задаче 3767. 3769*. См, указание к задаче 376?. К главе ХШ 3770.)/б!П2. 3771. 24. 3772. — (5у'5 — !). 3773. 2цаааеа, 3 3( +ь) 'Рз 3776. ) Р(рсоа~р, Рми р) )ггр»+р' аа. 3777 . паз/2.

Перейти к полярным координатам, 3778. 2аа)/2/3, 3779. -- 1(/7» +4)~~з — 8! 3760. 8ана )Г2/3. 3781 /7' угЗ/32 3762. — [(1+ 2нз)' — 11. 3733 )ра У2. 2ф2, 3/7 1 ~(ха+ 1)з/з („,+1)з/з) 3765 6 3766 Ьа + ай а и — зксцеитриснтит зллипса. отняты 3787. ~2лаэ+ — ~ $(аа+Ь'. 3768. (1 — е г) угЗ, 3789. (О, 2агл, Ьл/2), ВлэЬ»1 3 ~ 3790, [(Зле П (2лэ ! 1) ( +1~. ВЬ )(2 э э !Б 3791. /х=/ =(ат/2+Ь'/3) гг4лэаа-(-йе, /,=ат)(4лта»+Ь4. 3792.

Злйэ. 3793. лрт/4. 3794. 1!/3. 3795. й4. Ьт а+с! 3796. Ьа(а+ — !п — ~, где с=у'а'-' — Ь'-; 8=2йах при а=Ь. 2с а — с~' 3797. 98рэ(8!. 3798. Вй'. 3799. 4й'-'. 3600. 2(т/а. 3601. Вт/)(2/а, 3803. 2лт(а(Ь', где а и Ь вЂ” полуоси эллипса. 3604. 2лт//р. 3805. 2лнг/й-'г((44+йэ)Э(~. При й=й)/2. 3806. 3, 3607. аЬ(2. 3608. — 5Б/15, 3609. 37- . 3610. 4л. 3811. 1) 1/3; 2) 1/!2: 3) 17/ЗО; 4) — 1/20. 38$2.