Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа, страница 66

Во всем 1 3'' ' четырех случаях интеграл равен !. 3613. О. 3814, — 2лаЬ, 36!5. — 4а/3, 36!6. лаэ, 3817. Злй 1",й/!Б. 3816. 13. 3819. О. 3820. З)(3. 3821. — лйэ/4, 3622 ) ~ (хэ+„э),(„!у 3823 ) ) (у-х) еху4(хг/у. 3824. лй'/2. 3825. 1) 0; 2) — лаэ/6. 3827. 1/3, 3836*. Применить формулу Грина к двусвязной области, ограниченной контуром Е н какой-либо окружностью с центром в начале коордггна4 и не ггересекаюшейся с контуром С„3837. и, ЗВЗЗ. 8. 3839. 4.

3840. 1п - — . 384!. й,— й,, 3842. 10/3. 3843. О. 3844. — —. 3845. и 13 9 х"'+ «4 = —,— +С. 3846. и=(хэ — ут)4+С. у Ьгх»+ «4+! Ж47. и=!п, 'х+у,'— — +С. 3648. и=- +С, х+у ' у у хэ у' 3849. и=1п ) х — у '+ — '+ — — — +С. х-у 2 3 еу — 1 !+хт 2650, и=хесоэу+у»соэх+С. 385!. и= — „+у+С. 3852. и= —,+С, 3853. л=1, и=;- (п (хт+ут)+ агс18 — +С, (х-1-у)4 ' ' ' 2 х 3854. а = Ь = — 1, и»» — «, +С. 3855.

и = 1п )к+у+а '+ С, х»+у' 3650. и=)(44+«4+Ха+С. 3857. агс1йхуг+С. 3858, и= — +С. 3859. и= — + — +С. х — ух а 2 3660. и =ех(' (с+ 1) +е" — е~. 3681. лаЬ. 3662. Злат/В. 3663. Блаэ. 3864». За'(2. Переити к паоаметрическому ааданию, положив у=(х. 3865. 1/50. 3366. !(2!О. 3867». 2аэ. Г1оложить у х!3/, 3668». 1/ЗО. Положить у=х/4. 3869. Ей. 3670.

!) 4/3; 2) 17/12; 3) З(2 и 1, 3871. а) (а' — Ь»72; б) О. 3872. О, 3873. ) + 1п 2, где Ь вЂ коэффицие пропорциональности, с г-- 3874. 0,52 !п 2, где й — коэффициент пропорциональности, 3876. 4 Ь б ° 3877. )Г(З/120, 3678. лйэ/4. 3879. О. 3880.

лй». 3881. 2лйа/15. Н 3682. 2л агс(й —. т прн лф2", — 1п — при 2лй с+й 3883' . ( — ) [( — й) — (с+й) -'1 с 'с-й л= 2. 3884. л[й'фГйа $ $+!п (й+)' й4+1)). 3685». лэйэ, Воепольэоватьси с нческими координатами. 3886. Влйа/3. 3687. 3, 3668. 2лйт/! 05, 3169. 4лаЬс(З, 3890, О, 3391 ° 1/8, 3892. йэН (2й/3+ЛН/3). 3893. Л/В. ОтВеты ~)( — ) ° +( — )д +( — ) «' 3' —.~'(~.

5896. 2~))(а+у+а)бхбдбх. 3897. 1'1 ') ' "':Зхиубх. В , Л уха+у»и аа 3898. О. 3899. 12п)7»(5. К главе Х!Ч 390!. 1+у»=С(! — х). 3902. к»+у»=!пСх"-. 3905. у=)г'С-(-Зх — З.с~. 3904. у=С ми х — а. 390». Сх=(у — 1)гу. 3906. хрг! — уа+уу ! —.Т»= — С. 3907. рг! — уа=агсмпх+С. 3908. ег=С(1 — е '). 3809. !О"+10Ф=С. 3910. !и ~!3. ~ =С вЂ” 2ап у! . х 1 г ЬР-"! и' )гй, (! — к)+х)гл, ЗВП. 1=- (1+ — ~. 3912. 1=, рп 2 )~угле )Гlгг (! — х) — х )УА» гав с 1+х 3913. у=.-е .

3914. у=! . 3915. соах=)'2 соту. 3916. 'у= —. 3917. Гипербола ху=:6. Ь+х 1+Ьх 2 †гг4 †3918. Грактрнса у=рг4 — х» -(-2 1п ~ ~. 3919. Параболы х у»=Сх. 3920. у"=Сх. 3921. у=е" »)Г». 3922. (х-С)т+уа=-а-'. 3923. у = !и (С(А»хе — !) (. 3924. х=уг, 3925. 2,7 тус. 3927. 0.467 ктг(ч; 85,2 м, ! й 3928. Н=[1'Ь вЂ” — 4Т ') .

3929. !и ~ — ~ = -(2(+'сг(е). — )а 15„-5 ! Ье 43 ~' ' ~0 — аг! 2 3930». Если (-время, отсчитанное ог полуночи и выраженное в часах, ЙЯ л (( — 12) ео дифференииальное уравнение задачи имеет вид †. Ь соа г(1; 828 !2 отсгода (3=- . Фуиниггн 5 (Г) определена при б» (~!8, 160 ООО , и(! — !2) ~а 9 — ип 12 3931. х+с13 — '=С. 3932.

4У вЂ” бх — 7=Се г.г. 2 2 8 3933. х+С=2и+ - !п и — 1; — (п(и-(-2), где и=)»1-г-х-(-у, 3 3 3934. у — 2х=С»т(у+х). 3935. агс!В =1пС)'х»ч-у-', у= 3936. !п; у '+агу=С. 3937. ха+у'=Сд. 3958. и= г 'х)' 2!п Сх !. 3939. х»=С»-(-2Су. 3940. еег" =Су. 3941, !п . 'Сх, = — е (у~ 3942. у=хе'ч ~х 3943. (х+у)»=Схге "'"ч'у!. 3944. Ск=гр~ » ~, гх1 г/ ."" »гсгх 3945. )ух'-'+ус = е' '. 3946. ут=-уа — хт.

3947. у= — х. у,, (' г(и ! 3948. уа=5 те 2)гбх. 3949. Если . =и, та 1п(к(= б! —; гр(и)= —— .т ' ' 3 гр (1/и)' ' и' или ф(» )= — у-,-. 3950. х=Сеа я~'. 3961. л=у!п,'Су(. 3952, хем» 2Сд-1-Сз. 3953а. Форму параболоида ярагцення. Пусть плоскость Оку-ме. ридианная плоскость поверхяостн зеркала; в этой пчоскости лежит искомая пиния, дифференциальное уравнение получится, если прнравняем тангенсы углов падения н отражения, выраженные через х, у, у'. 3954. у Се 2»+2х — 1. 3955. у=с "'(С-1-х'/2).

3956. у = Схзе|/" + хэ. 3957. у = (х+ С) (! + хз). 1 3968. у=Се-»+ — (созх+ап»). 3959. Если лгф — и, то у=Се-ах+ 2 ет» ; если лэ= — а. то д=(С+х)ем». Лэ+ О 3960. Ьз — 2»=Сда. 3961. »=СЯу+уДР+уй+1/4. 3962. х=у!ну+С/д. 3963, у=с»(1п|к |+ха/2)+Се». 3964. д=Се Ф(»! -1-Ф(х) — 1. 3965. у=х/сгмх. 3966. у= г»+аЬ -гэ х 3967. у = — (х — ! + ! п ) х !), х х+! 3966. х=.— 1агс(6!.

3969. 6) а+5=1. 3971. у= — Сх — х1п)х)-2. о2 Я972*. у=С» .<- —. Дифференциальное уравнение задачи ! ху — кзу' ~=аз. 2» ' „И»1 Я973*. »=Су чс аэ/у. Дифференциальное уравнение задачи ! ху — уз — -~ уу! ю 2о'-. 3974. О = — '- | ! — — - + — - Е аГ/22) . 72 ( Ь /2 3975. о=(па+Ь) е ' '+Ь(а/2 — 1), где а=- —, Ь = —, — ап Ьг 2Ьгн 2гл ' 82 3976. 6 — Ь,= -аг~ р(/)еэгд!.

3977. 9,03 Д. и 3978 / = Са à — Лг С асс |з— /72+ ыз(.2 ( „~все / + /7 ми оп — овсовы!з!. 3979. я=се 3980. у = С»2+ 1/ . 398!. у=- — )'ха+1+ —. 3982. д=Сх — !. С „(|+ха]2 х Зх 3983. (!+»2)(1+уз)= — Ск-". 3984. (х+у)2(2х+у)2=С. 3985. »=.СЕ "/ЗЗ !. 3986. 2|П -У =СХ, 3987. МП +)П) Л(=С. х ' х 3988. у=Се-"»+ — !. 3989. у(у — 2х)2=С(у — х)"-. 3990.

у Сс"' " — 2 (|+ мну|. 399!. к=да(! +Се'/") 3992. у=Се и" »+з|п х — 1. 3993. у=-(С+е») (1+х)". 3994. у'=4ху+С. 3095. у=Се» и д=С+х'/2. 2 . С 3996*. дз = — 21п.т+ —., Привести к уравнен!но линейному относи 3 мпэх' чельно г == у'-'. 3997. агс16 (х+у) »+С. 3999. агс16 - +1п(х'+д) = — +|и 2. и х 4 4000. У=.— 17/ — [2+х)/1 — хз +агсз(пк~. ! /1+х 2)/ ! —.

|+е» 5 ° 1 4001. (1+у) е-У = |п — +1 — х, 4002. у= — е* — (2+аз). 3 3 40(и у ~ еа»+ С+ а- (ЗХ+ С)~ 4005 »2+ уз Сх 23 4006. (о — х)т(х+26)=1. 4007. Параболы р=.х+Схз. 4008. (2уз — хо)э Сх-'. 4000. Цепная линия. 4010. у=Сх». 4011о.

Пучок нрнмых у-у, = С (х — хо). Дифференциальное уравнение у — у» =у' (х — хо). 4012. Окруж-. ность с центром н точке (хо, уо); хо+во=2(ххо+Куо). 4013. Любая окруж- иосгь с центром на оси Оу, касающаяся оси Ох. 4014. Если путь 5, а время !, то 5=5»+Се * — „.

!+ — !о, где 5» — начальный пУть, а «, и «о — козф. «1 ' «, //-"„2«з фнциснты пропорциональности. 4016. 1) 8/9 оборота в секунду; 2) через б мин 16 с. 4011. 0,00082 с. з!е! ( 5/ т ш»-т — — ! — г !-- — / 4016*.

и=о /1 — -.--!) е о»о» ~ м» I действующая сила Р = 'о( 4)- ) равна —. Для решения этой задачи и следующих двух надо учесть, что »( (те) »!! масса т является переменной величиной. зависящей от врет!ени !; скорость и†искомая функция 4 Г/ ПГ т«/о» вЂ” т 4019*.

о= — (М,— т!)1(1 — — -!) — 1~, Сль указание к решь 2/и — «((, Мо ) нию задача 4018. 4020*. т = е"'" ' 1»е 'и й, где 1»=Мо — и//, « = -1/ — --. См. указание к решению задачи 40!8, 4021*. р = по/-(- ~ («,е «" — й,е «'/), где !- время„у — количество «, второго продукта. Если х — количество первого продукта, образовавшееся че»/х рез ! единиц вреыеми, то — — » й»(пь»-х). Отсюда находим х=х(!), Ско /у рость — — образования нторого продух~а пропорциональна величине х у. бр й 1 4022.

2,97 кг соли. Максимум достигается при !=ЗЗ вЂ” мин н равен 3,66 кг, 3 р ~е«и'»" 4023. /=1+()о — 1)е /. 4024*. р=, где «= . Практи» 2рь!5 ' рь чески важен случай, когдз ы очень велнно (центрифуги). Вместо того, чтобы вычвслять интеграл в знаменателе прн данноы ю (он не нырзжается в влемен- тарных функпинх), вычисляюг Нш р (см. задачу 2439). Дифференциальное уравнение задачи имеет вид 5йр мох»/ш, где йп — масса элемента С)З. Да- лее, 2=2«р (одна из форм закона Бойла — Мариотта; коэффициент пропор- циональности обозначен через 2«для упрощения записи в дальнейшем); йп 25»(х=2«р5бх. В результате получится уравнение с раздаляюшнмяея пе- ременными //р/р=2«шох»(х. Интегрирование его дает р= Се»омх'.

Далее» ж Мхом " М= ~йп=С.245 ~~»"»и»/х, откуда находится С. Имеем р= ! 245 ') емо»" »(а о М М ! «и*х' но»)о=2«ро= — —, й= — и оиаичательно р= =45 = 2р,/5 еам 4 4026. (х+у-1)т=С(х-у+3). 40Ж ха — ау+у'+х-у=С. ответы 4027 4029 4031 4034 4036 4038 4040 4042 4044 4050 4052 4055 4057 житель р в аиде фу 4060.

4062 4065 4070 4071. 4073. 4075 4077 ые в а+в к-2У+)п ( к+у)=С. 4028. е «в =С(у+2). ув=х+(х+1))п —. 4030. Уве "в/«=С. к+1' ! к У= — 131п)Схй 4032. каув+!=СУ. 4033. Ск=! — —, х ' ' . ' хв-1-ув' (!+Сх)е«=!. 4035. Ув+2хвув+2ув=С. хв+ув=С(у — 1)в, 4037. У=х)5(к+С). в«* 1 \/У«=С« +««+1/2.