Берман Г.Н. - Сборник задач по курсу математического анализа

Г, Н, БЕРМАН СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ИЗДАНИЕ ДВАДЦАТОВ Допущено Министерством вегсгнгга и среднего сне«нолевого опроэопания СССР, в «о естес учебного псео ия дпя студентов высших учебных паведенид МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКИИЯ ФИЗИКОМАТЕА1АТИЧЕОКОИ ЛИТЕРАТУРЫ 1985 22.1б Б 50 УДК 517,, Б ер и а н Г.

Н, Сборник задач по нурсу математа .. ского анализа: Учебное пособие для вузов. — 20-е нзд Мз Наука. Главная редакция физико-математической лг.. ратуры, 1985. — 384 с. аи Издательство иНиткиэ, Гиаииии вилькин» Физика-иитеиитичиаиаа шза Б ' — — БЗ-88 17020Б0000 — 088 033(02) — ББ Сборник содержит систематически подобранные зз;.- чн и упражнения к основным разделам курса математн ; кого анализа. Большинство параграфов для удобства по зевания подразделено на части. Группам задач с одиар: ным содержанием предшествует общее указание.

Пе, задачами фпзвческого содержания даются нужные спраг.. по физике. Для студентов высших учебных заведений, 19-е издание вышло в 1977 г. Ил. 83. ОГЛАВЛЕНИЕ предисловия к семнадцатому изданию ~ а в а 1. Функция 41 42 %3 54 19 22 25 $5 46 о . а в а П. Предел. Непрерывность $1 й 2 53 ф 4 1 .:.а за ннс примеры) а за 105 105 !08 удава $1 42 й 1 42 43 54 45 й 1.

$2 $3 й 4 й 5 4 б 47 Первоначальяые сведения о функции,....,,..., Простейшие свойства функций Простейшие функции Обратная функция. Степенная, показательная и логарифмнче. ская функции Тригонометрические и обратные тригонометрические функции Вычислительные задачи . Основные определения . Бесконечные величины. Признаки сушествования предела ... Непрерывные функции . Нахождение пределов.

Сравнение бесконечно малыя ....., П1. Производная н дифференциал. Дифференциальное нсчисле- Производная. Скорость имненення функции...., Дифференцирование функций Днффереяциал. Дифференцнруемость функцян .... Производная как скорость изменения (дальнейшие Повторное дифференцирование, 1У. Нсследованяе функций и их графиков .. Поведение функции Применение первой производной ..., ..., Применение второй производной, .......

Дополнительные вопросы. Решение уравнений Формула Тейлора и ее применение ...,,, Кривизна . Вычислительные задачи . У. Определенный интеграл,...,....,...,, Определенный интеграл я его яростейшяе свойства . Основные свойства определенного янтеграла ...,, 6 7 7 11 14 27 27 29 32 34 44 47 63 66 73 79 80 89 92 99 101 !03 ОГЛАВЛЕНИЕ 114 114 117 121 128 128 135 138 143 143 158 168 168 172 175 178 182 182 184 Г88 192 195 199 199 204 Плоские линни Векторная функция скалярного аргумента. Линни в простран- стве. Поверхности Скалярное поле.

Градиент, Производная по направлению... ХП. Многомерные интегралы ц кратное интегрирование, ... Двойные и тройные интегралы . Кратное интегрирование Интегралы в полярных, цилиндрических и сферических коорди- натах $2 $3 206 211 213 213 214 217 5 4. Рлавз б 1. й 2. в 3. 220 229 235 235 238 243 Примекение двойных и тройных интегралов........, .. Несобственные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра ХП1.

Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности Криволинейные интегралы па длине ...,,, „ ..., ..., Криволинейные интегралы по коордпнатан ..., „ ..., ... Интегралы по поверхности . $ 4. й 5. Глава 6!. б 2. $3. Раааа 4 1. 6 2. 53. Рлава иые б 1. 6 2. з 3. Раааа $ 1. Р 2. Раааа 4 1. 5 2.

й 3. 5 4. Рлава лени б 1. $2. 9 3. й 4. з 5. Рвана скол б 1. Ч1. Неопределенный интеграл. Интегральное исчисление..., Простейшие приемы интегрирования............... Основные методы интегрирования...,...,.....,... Основные классы интегрируемых функций,........... ЧП. Способы вычисления определенных интегралов. Несобствен. интегралы . Способы точного вычисления интегралов ..., ..., ..... Приближеиныс методы Несобствс>шые интегралы . ЧП1.

Применения интеграла . °,,...... ° °.... ° .. ° Некоторые задачи геометрии и статики,,...,,,,..... Некоторые задачи физики . 1Х. Рады . Числовые ряды Функциональные ряды Степенные ряды . Некоторые применениа рядов Тейлора ..., ...,, ...,, Х. Функции нескольких переменных. Дифференциальное нсчисс. Функции неснольких переменных, „...,...

„....... Простейшие свойства функций Производные и дифференциалы функций нескольких персмевных Дифференцирование функций Повторное дифференцирование . Х1. Применения дифференциального исчисления функций не- ьких переменных . Формула Тейлора. Экстремумы функций нескольких перемен- ных ОГЛАВЛЕНИЕ Глава 8 1, 4 2. 6 З. 6 4. 2 5. 66.

Г па на 6 1. 6 2. 6 З. Глава Ответы . ХЧ. Тригонометрические ряды Тригонометрические многочлены Ряды Фурье . Метод Крылова. Гармонический анализ ХЧ!. Элементы теории поля Х!Ч. Дифференциальные уравнения.... Уравнеиня первого порядка . Уравнения первого порядка (продолмеш1е) Уравнения второго и высших порядков .. Лаиейные уравнения , Системы дифференциальных уравневий .. Вычислительные задачи 217 247 258 261 265 270 273 276 276 277 280 282 280 ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К СЕМНАДЦАТОМУ ИЗДАНИЮ Нас»оящий «Сборник задач» предлагается студентам, изучающим математический анализ в объеме программы для высших технических учебных заведений. ',«Сборник» содержит систематически подобранные задачи и упражнения к основным разделам курса математического анализа.

Теоретические сведения и справки о необходимых формулах в «Сборнике задач» не помещены; имеется в виду, что читатель найдет их в соответствующих разделах учебника. Большинство параграфов «Сборника задач» для удобства пользования подразделено на части. Группам задач с однородным содержанием предшествует общее указание. Перед задачами физического содержания даются нужные справки по физике.

Для более трудных задач указания к решению даны в разделе «Ответы»; такие задачи отмечены звездочкой ('). Первое издание «Сборника задач» появилось в 1947 г. Все последующие издания, дважды сопровождавшиеся значительной переработкой, осуществлялись без непосредственного участия Георгия Николаевича Бермана, скончавшегося 9 февраля 1949 г. после продолжительной и тяжелой болезни, полученной в результате ранения на фронте Великой Отечественной войны. Зта работа выполнялась товарищами Г.

Н. Бермана по совместной работе— И. Г. Арамановичем, А. Ф. Бермантом, Б. А. Кордемским, Р. И. Позойскнм и М. Г, Шестопзл. В 1959 г. наш коллектив потерял соавтора и первого редактора «Сборника» профессора Анисима Федоровича Берманта, скоропостижно скончавшегося 26 мая. Георгий Николаевич и Анисим Федорович были замечательными товарищами, людьми высокой культуры, одаренными прогрессивными педагогами. Память о ннх неизгладима. И. Г. Ароманооич, Б.

А. Кордемский, Р. И. )7озойский, М. Г. Шееп1опал Настоящее (двадпатое) издание печатается без существенных изменений н практически не отличается"от предыдущего (1977 г.). ГЛЛВЛ 1 ФУНКЦИЯ 2 1. Первоначальные сведения о функции Функции и способы их задания 1. Сумма внутренних углов плоского выпуклого многоугольника является функцией числа его сторон.

Задать аналитически ату функцию. Какие значения может принимать аргумент? 2. Функция о от х задана следующей таблицей: Построить ее график, соединив точки «плавнойз линией, и по графику <уплотнить» таблицу, определив значения функции прн х = 2,5; 3,5; 4,5; 5,5; 6,5; 7,5; 8,5; 9,5. 3. Функция задана графиком, изображенным на рис. 1. Перевести чертеж иа миллиметровую бумагу, выбрать масштаб и несколько значений независимой перемеинон. Из чертежа определить значения функции, соответствующие выбранным значениям иеза.

внсимой переменной, и составить таблицу этих значений. 4. Функция задана графиком, изображенным на рис, 2. По графику ответить иа следующие вопросы: а) При каких значениях независимой переменной функция обращается в нуль? б) При каких значениях независимой переменной функция положительна? в) При каких значениях независимой переменной функция отрицательна? 5. Зависимость силы Р взаимодействия двух электрических зарядов е, и ез от расстояния г между ними выражается по закону Кулона формулой е,е, Р= —. гл.

ь чонкция Положив е1=с,=1 п е=!, составить таблицу значений данной функции для г=1, 2, 3, ..., !О и построить ее график, соединив найденные точки «плавной» линией. 6. Записать функцию, выражающую зависимость радиуса г цпгншдра от его высоты Ь цри данном объеме У=1. Вычислить значения г при следующих значениях Ь: 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5. Построить график функции. Рас. 1 Рис. 2 7. Выразить площадь равнобочной трзпеции с основаниями а и Ь как функцию угла и при основании а. Построить график функции при а=2, Ь=1. 8.

Выразить зависимость длины Ь одного катета примоугольного треугольника от длины а другого при постоянной гипотенузе с=5. Построить график этой функции. 9. Даны функции а) ) (х) = „+,, б) ф (х) =, +, Найти: г'(0); ~(1); )'(2)' 1( — 2); ~( — — ); ~о/2); )1(г)1; ф(0); ф(1); ф(2); ф( — 2); ф(4). Существует ли 7( — 1); ф( — 1)? 19, Дана функция 1(и)=из — 1. Найти: 1(1); ~(а); У(а+1); р(а — 1); 2г(2а). 11. Даны функции г (г) =2'-' и ф(г) =2ии — '. Найти: г" (О); Р(2); Р(3); Р( — 1); Р(2„5); Е( — 1,5) и ф(0); ф(2); гр( — 1); ф(х); ф ( — 1) + Р'(1). 12.

Дана функция )р (1) =(а'. Найти: ф (0); ф (1); ф ( — 1); ф(--); ф(а); ф( — а). 1 3. ф (1) = 1' + 1 . Найти: ф ((а) и [ф ((Н'. 14. г" (х) =х' — 2х'+5. Доказать, что г (и) =г" ( — а). 15. Ф(г) =г' — 5г. Доказать, что Ф( — г) = — Ф(г). 16. 1(() =2(г+;ь + — +55 Доказать, что р(1) =(Я 1 ь пггвонлчлльныв сведения о фгнкции 17. Г(х) =з!пх — созх. Доказать, что Г(1))0. 18. ф(х)=16х.

Доказать, что ф(х)+ф(х+1)=ф!х(х+1)1. 19. Р(г) =а'. 1) Доказать, что при любом г справедливо соотношение Р( — г)Р(г) — 1 =О. 2) Доказать, что Р(х)Р(у)=Р(х+у). 20. Даны график функции у=((х) и значения а и Ь независимой переменной х (риа. 3). Построить иа чертеже ~(а) н )(Ь).