Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 110

3, ! — — — в терминах образующих и определяющих соотношений П,2,3. — вполне приводимое 1, 3, ! — дуальное 1, 3, 3 — линейное аналитическое П1, 1, 2 — иеприводимое 1, 3, ! — полупростое 1, 3, ! — получающееся из неноторого представления расширением скаляров 1,. 3,8 — присоединенное алгебры Ли 1, 3, 1 — — группы Лн Ш, 3, !2 — простое 1, 3, ! —,содержащее н раз некоторое простое представление 1, 3, ! — точное 1, 3, ! УКАЗАТЕЛЬ' 488 теРминОВ представление чистое типа о 1, 3, ! представления изоморфные 1, 3, 1 — подобные 1„ 3, ! примитивный элемент биалгебры П, 1,2 присоединенная группа вещественной или комплексной группы Ли !П, 6,4 присоединенное линейное отображение элемента алгебры Ли 1, 1, 2 — представление алгебры Ли 1, 3, 1 — — группы Лн И1, 3, 12 продолжение й-модуля, представленця алгебры Ли й 1, 7, 2 произведение алгебр 1, 1, ! — групп Ли Ш, 1, 4 — тензорное представлений 1, 3, 2; Ш,Д производный идеал 1, 1, 5 — ряд1,1,5 простая алгебра Ли 1, 6, 2 — компонента полупростой алгебры Ли 1, 6, 2 простое представление 1, 3, 1 пространство когомологий со значениями в й-модуле 1, 3, упр.

12 противоположная алгебра 1, 1, 1 прямая сумма представлений 1, 3, 1 Пуанкаре в Биркгофа — Витта теорема 1, 2, 7 радикал алгебры Лн 1, 5, 2 — группы Ли Ш, 9, 7 — нильпотентный алгебры Лн 1, 5, 3 размерность представления 1, 3, 1 разрешимая алгебра Ли 1, 5, ! расширение алгебры Лн при помощи некоторой алгебры Лн 1, 1, 7 несущественное 1, 1, 7 — расщепляемое 1, 1, 7 — тривиальное 1, 1, 7 — центральное 1, 1, 7 расширения эквивалентные 1, 1, 7 расщепляемое расширение 1, 1, 7 редуктивная алгебра Ли 1, 6, 4 — подалгебра Ли в алгебре Ли 1, 6,6 реплика эидоморфизма 1, 5, упр. !4 ряд верхний центральный 1, 1, 6; П, 4, упр.

18 — Ли формальный И, 6, 3 — нижний центральный 1, 1, 5; П,4,6 — производный 1, 1, 5 — Хаусдорфа П, 6, 4 свертка 1П, 3, 1; Ш, 3, !8 . — точечного распределения и функции П1,3,4 свободная алгебра Ли И, 2, 2 — р-алгебра Ли И, 3, упр. 4 — ассоциативная алгебра П, 2, 3 свободный группоид П, 2, ! — член элемента алгебры Магнуса И,5,2 — — — универсальной обертывающей алгебры, алгебры Ли 1, 2, ! семейство Холла И, 2, 1О сечение векторного расслоения П1, 1, 8 симметрическая алгебра модуля 1, 2, 5 система канонических координат второго рода П1, 4, 3 — — — первого рода 1П, 4, 3 — свободных образующих алгебры Ли П,2,3 согласованные структуры группы и многообразия Ш, 1, 1 сопряженная группа Ли комплексной группы Ли Ш, 1, 1 специальный автоморфизм алгебры Ли 1, 6, 8 стандартная группа П!, 7, 3 струитурные константм алгебры в не- .

котором базисе 1, 1, 1 сумма прямая представлений 1, 3, 1 тензорное произведение представлений И!, Лоб. теорема Аде 1, 7, 3 — Вейля 1, 6, 2 — Леви — Мальцева 1, 6, 8 — об исключении П, 2, 9 — Пуанкаре — Биркгофа — Витта 1, 2,7 — Пассенхауза 1, 7, 2 — Энгеля 1, 4, 2 типа (Лг) вещественная группа Ли Ш, 9, упр. 29 тождество Якоби 1, 1, 2 точное представление 1, 3, 1 тривиализация правая (соответственно левая) векторного расслоения Т(В) И!, 2, 1; 1И, 2, 2 тривиальное вейторйое 6-расслоение П1, 1, 8 — расширение 1, 1, 7 тривиальный 8-модуль 1, 3, ! универсальная накрывающая связяой группы Лн П1, 1, 9 обертывающая алгебра алгебры Ли 1, 2, 1 унипотентный эндоморфизм Ш, 9, 5 тклзлтцль' тцрминон факторалгебра 1, 1, 1 акторгруппа Ли 1П, 1, 6 акторпредставление 1, 3, ! фильтрация вещественная на группе П,4, ! — исчерпывающая П, 4, ! — отделимая П, 4, 1 — целочисленная П, 4, 1 центральная П, 4, 4 фильтрованная биалгебра П, 1, 3 форма билинейная, ассоциированная с й-модулем (представлением ал.

гебры Ли й) 1, 3, 6 — — вполне иивариантная 1, 3, 6 — — инвариаитиая 1, 3, 6 — Киллянга 1, 3, 6 формальный групповой закон 1, 1, упр. 24 — рядЛи П,6,3 формула обращения Мебиуса П, Доб. — — Хаусдорфа П, 6, упр. 4 — Холла П, 5, упр. 9 формулы Джекобсона 1, 1, упр. 19 — Маурера — Картава П1, 3, 14; П1, 3, 18 функция Мебиуса П, Доб.

— порядка, ассоциированная с филь. трацией 11, 4, 2 — Хаусдорфа 11, 7, 2; П, 8, 3 характеристически нильпотеитная алгебра Лн 1, 4, упр. !9 характеристический идеал 1, 1, 4 Хаусдорфа группа П, 6, 2 — ряд П,6,4 — формула обращения П, 6, упр. 4 — функция П, 7, 2; П, 8, 3 Холла база П, 2, !1 — семейство П, 2, !Π— формула П, 5, упр. 9 ((ассенхауза теорема 1, 7, 2 целочисленная фильтрация группы П, 4, ! центр алгебры Ли 1, 1, 6 цеитрализатор П1, 9, 3 — подмножества алгебры Ли 1; 1, 6 центральная фильтрация группы П, 4,4 центральное расширение 1, 1, 7 частная производная в алгебре свободной группы П, 5, упр. 2 чистое представление 1, 3, ! чистый 8-модуль типа (й() 1, 3, ! вквивалентные расширения алгебр Лн1, 1,7 экспоненцнальиое отображение П, 6, 1;!П,4,3; П1,6,4 элемент Казимира 1, 3, 7 — степени (л в градуированной алгебре, ассоциированной с универсальной обертываюшей алгеброй алгебры Ли 1, 2, 6 — фильтрации (л в универсальной обертываюшей алгебре алгебры Ли 1,2,6 Энгеля теорема 1, 4, 2 ядро расширения 1, 1, 7 Якоби тождество 1, 1, 2 С'-связное подмножество группы Ли П1, 6, 2 6-расслоение векторное !П, !.

8 й-модуль левый (правый) 1, 3 ! — — тривиальный 1, 3, ! — — чистый типа (5)) 1, 8, ! Р.изолятор подгруппы нильпотентной группы П, 4, упр. !4 Р-кручение П, 4, упр. 14 Р-оболочка иильпотентной группы П, 4, упр. 15 Р-целое П, 4, упр. 14 р-адическая группа Ли 1П, 1, 1; П1, 8. ! Р-алгебра Ли 1, 1, упр. 20 — — — Р-уннпотеитиаи 1, 4, упр. 23 р-гомоморфизм 1, 1, упр. 20 Р-дифференцирование 1, 2, упр. 7 Р-идеал 1, 1, упр, 22 Р-отображение 1, 1, упр.

20 Р-полипом 1, 7, упр, 5 р-сердцевина коммутативной Р-алгебры Ли 1, 1, упр. 23 и-примитивный элемент коалгебры П, 1, ! СВОДКА НЕКОТОРЪ|Х СВОИСТВ КОНЕЧНОМЕРНЪ|Х АЛГЕБР ЛИ НАД ПОЛЕМ ХАРАКТЕРИСТИКИ 0 Пусть й — алгебра Ли, г — ее радикал, и — ее наибольший :иильпотентный идеал, 6 — ее нильпотентный радикал, 1 — ортогональное к й подпространство относительно формы Киллинга.

Тогда г, и, 6, т — характеристические идеалы и т~1~п~е, (1) Любое из следующих свойств характеризует лолупростые алгебры,/?и: 1) т=(0); 2) п=(0); 3) 1=-(0); 4) любой коммутативный идеал в й равен нулю; б) алгебра я изоморфна прямой сумме простых алгебр Ли; б) любое конечномерное представление й полупросто. (11) Любое из следующих свойств характеризует редуктивные ал.ебры Ли: 1) 6=(0); 2) т — центр й; 3) Яй полупроста; 4) й — прямое произведение полупростой и коммутативной алгебр Лн; 5) присоединенное представление й полупросто; 6) й обладает конечно- мерным представлением, таким, что ассоциированная с ним билинейная форма невырожденна; 7) й обладает точным конечномерным полупростым представлением.

(И1) Любое из следующих свойств характеризует разрешимые алгебры Ли: |) Лей = (О) для достаточно большого р; 2) существует убывающая последовательность й=й, ~ О,:»... ~ й„=(0) идеалов й, таких, что алгебры й,/й,~, коммутативны; 3) существует убывающая последовательность 3=йе:» й', ~ ...:» й'„, =(О) подалгебр алгебры й, таких, что й,'.+, — идеал в й, 'и й',./й,'.+, коммутативна; 4) существует убывающая последовательность й = й:» :» й",:» ...

~ й'„'. = (О) подалгебр й, таких, что й,"+, — идеал коразмерности 1 в й",, 5) 1 ~ йбй; б) м)й нильпотентен. СВОДКА НЕКотоРЫХ СВОИСТВ КОНЕЧНОМЕРНЫХ АЛГЕВР ЛИ 49Г ([Ч) Любое из следующих свойств характеризует иильаотентные алгебры Ли; 1) ЮР9=(0) для достаточно большого р; 2) 9гР9 = 9 для достаточно большого р; 3) существует убывающая последовательность 9= 9,:з 9,:з ... ~ йл=(0) идеалов 9, таких, что [9, 9,] ~ 9„.,; 4) существует убывающая последовательность 9 =9,',~ 9,'=з ... ...

~ 9',=(О) идеалов 9, таких, что [9, 9,') ~ 9',, и 9,'./9,', одномерны; 5) существует целое число!, такое, что (ад х,) о(ад х )Р... ... о(адх;) =0 для любых х„..., х; из 9; 6) для любого хен9 эндоморфизм ад х ннльпотентен. (Ч) 9 коммутатнвна ~ 9 нильпотентна ~ форма Киллинга иа 9 равна нулю =ф9 разрешима. 9 коммутативна = р 9 редуктивна.

9 полупроста =~9 редуктивна. (Ч1) Характеризации гс 1) е — наибольший разрешимый идеал в 9; 2) е — наименьший идеал, такой, что 9/т полупроста; 3) с — единственный разрешимый идеал в 9, такой, что 9/е полупроста; 4) е — наиболыпее подпространство, ортогональное к Ы9 относительно формы Киллинга.

(ЧП) Характеразации и: 1) и — наибольший нильпотентный идеал в 9; 2) и — наибольший нильпотентный идеал в т; 3) и есть множество хает, таких„ что эндоморфизм ад„х нильпотентен; 4) и есть множество х ~ т, таких, что ад,х ннльпотентен; 5) п — наибольший идеал в 9, такой, что для всех х ее я эндоморфизм аб, х нильпотентен; 6) п есть множество хен 9, таких, что аб,х принадлежит радикалу ассоциативной алгебры, порожденной 1 и ад,у(уен 9). (Ч1П) Харантеризации В: 1) В есть пересечение ядер точных конечномерных неприводимых представлений 9; 2) в — наименьшее нз ядер точных конечно- мерных вполне приводимых представлений 9; 3) В есть пересечение наибольших идеалов нильпотентности конечномерных представлений 9; 4)  — наименьший идеал в 9, такой, что 9/Ь редуктивна; 5) Ь =ЕДЯ9; 6) В = [В, 9[; 7) Ь есть пересечение наибольших подпространств, ортогональных к 9 относительно билинейных форм, ассоциированных с конечномерными представлениями 9.

ОГЛАВЛЕНИЕ .От редакторов перевода Г л а в а 1. Алгебры Ли 9 1. Определение алгебр Л'и 1. Алгебры . 2. Алгебры Ли 3. Коммутативные алгебры Ли 4. Идеалы 5. Произвольный ряд, нижний центральный ряд 6. Верхний центральный ряд 7. Расширения 8. Полупрямые произведения 9. Замена кольца скаляров $2. Универсальная обгртывающая алгебра алгебры Ли !. Определение универсальной обертывающей алгебры .. 2. Универсальная обертывающая алгебра произведения алгебр Ли 3. Универсальная обертывающая алгебра подалгебры алгебры Ли 4. Универсальная обертывающвя алгебра алгебры Ли, противо.