Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 108

П, р. 546— 564) . Е. Е. (мч1, ЗиИа в(гиИига йе! Сгирр! Ип(И е сопИпй, АГ!! Асс. Вс1. Тапио, 40 (1905), 551 — 565 (=бреге, !. 1, р. 101 — 115). К. Неиве!, СЬег йе аг!ИипебвсЬеп Е(депвсбаИеп йег ЕаЫеп, уабгезЬег, лег В. М. К, 16 (1907), р. 299 †3, 388 — 393, 474— 496.

1. Зсбиг, Ыеие Аичгепйипаеи йег 1п1ебга!гесбпипб аЫ РгоЫете йег 1пчаг(ап1епйеопе, 311гилузЬег. Вегбл, 1924, р, 189 — 208, 2г)7— 321, 346 — 355. Н. %еу1, ТЬеог(е йег Овгз(еИип8 ЬоиИпи(егИсбег Ьа!Ь-е(п(асЬег Сгирреп йигсЬ Ипеаге Тгапв(оппа1юпеп, 1, Май. Хе(гзсбг., 23 (1925), 271 — 309; П, !Ь!й., 24 (1925), 328 — 376; 1П, (ЬЫ., 24 (!926), 377 — 395 (=%ег(ге, 1. 2, р. 543 — 647) О. БсЛге!ег; а) АЬз1гаК1е Ьоибпи(ег!1сбе бгирреп, АЬЬ.

тайп Беля НаглЬшу, 4 (1926), 15 — 32; Ь) Ейе НегтчапйясЬа(1 я1еИнег Сгирреп (и Вгояяеп, (Ый, 5 (!927), 233 — 244. Л. чоп Ыеитапп, Хит ТЬеопе йег Сага!еИииа ЬопИпи(егИсбег бгирреп, БВгилузЬег. Вег!т, !927, р. 76 — 90 (=СоИесгей бхогЬз, 1. 1, р. 134 — 148). Р. НаП, А соп1пЬиИои (о йе йеоиу о1 Вгоирв о1 рг!гпе рояег огйег, Ргос. 1 онйол Ма№. Кос. (3), 4 (1932), 29 — 95. %.

Мабпия; а) Вех!ебиибеп гтч(всбеп Сгирреп ипй 1йеа!еп !и е(пеи зрег!еИеп И1пн, МаУЬ Алл., 111 (1935), 259 — 280; Ь) СЬег Вег(ебипбеп гтч!ясиеп Ьоиегеп Когпгпи(а(огеп, У. Сгебе, 177 (!937), 105 †1. Л. Н. С. %531ебеай: а) Оп !Ье йесогпрояРИоп о( ап шИпйеята! $ гоир, Ргос. СатЬ. РМ1. Зос, 32 (!936), 229 — 237 (-Майета1ка1 ог1гв, 1, р. 281 — 289); Ь) Сег1а!п ебиа!!опя 1и йе а!неЬга о( а зепи(-вбир!е !п(!ийея(та! Вгоир, Яиагг.

Уошл. ог Ма1Л., (2), В (1937), 220 — 237 (=МайегоаИса! %игаса, !., р. 291 — 308). Н. Д. Ано: а) О представлении конечных непрерывных групп с помощью линейных подстановок, Казань, Нзв, физ:мигел, о-ва (3), 7 (1934 †19), ! !3; Ь) Представления алгебр Лн матрицами, Увлеки матем. наук, сер. 2, 2, № 6 1947), !59 †1.

БИБЛИОГРАФИЯ 479 (ХХЧГН) (ХХ! Х) (ХХХ) (ХХХ1) (ХХХП) (ХХХ!11) (ХХХ1Ч) (ХХХЧ) (ХХХЧ1) (ХХХЧ11) (ХХХЧ1П) (ХХХ!Х) (Х1.) (Х(.1) (Х1.П) Н. ЛасоЬвопг а) Еаг(опа! Гпейодв !п йе йеогу о( (Ае а18еЬгав, Апп. о! Ма(Ь., 36 (1935), 875 — 881; Ь) С!аваев о( гев1Нс1еб 63е а18еЬгаз о( спагас1епьБс р, 11, Ри(ге Май. 7оигпо!, 1О (Г943, 107 — 121. Сг.

В(гЬЬоН: а) СопИпиоив 8гоиря апб 1)пеаг ьрвсеь, )(ес. Май. Моьсои, 1 (1936), 635 — 642; Ь) йергезеп!аЬ!!1(у о( (ае а!8еЬгаз апб Ь!е Ягоирв Ьу гпа1г!сев, Апп. ог Ма(Ь., 38 (1937), 526 — 532. Е. )Ч!11, Тгеие ()агя!е!!ип8 1.е(ьсЬеп )1(п8е, У. Сгейе, 177 (1937), 152 — 160. Е, Вгаиег, Е!пе Веб!пбипн 10г чоВв1апйде Еебиь!Ь1!1!а! чоп Г)агв(е11ип8еп 8етчбЬп!(сЬег ипд шВпйейгпа!ег Пгирреп, Май.

У уясдг., 41 (1936), 330 — 339. Н. Сазгипг!г — В. Ь. чап г(ег %аегдеп, А16еЬга(всЬег Веме(ь г(ег чо!!з!йпб!8еп )(едиь!Ь1!1(а! бег Багз!е!!ип8еп Ьа!Ье!п(асЬег 1.(еьспег Сггирреп, Май, Апп., 111 (1935), 1 — 12. А. (Че!1, Бит !еь (опс1юпв ейр69иез р аб!Янез,' С. )7. Асаг(. Зс(., 203 (1936). 22. Е. Еи(ь., $иг Ге4иагюп уз = хз — Ах — В Аапв !ев 4огрв р-айг(иеь, У.

СгеЛе, 177 (!937), 237 — 247. С, СЬаЬайу, 5иг 1еь ро!и!ь гаБоппей дев соигЬег а!ЯеЪПЯиеь де 8епге виреПеиг а ГипВе С. )г, Асай Зсс, 212 (1941), 882 — 884. Л. С. Понтрягин, Непрерывные группы, 3-е нэд., М., Наука, !973. й. Ноо(ге, Ыпеяг р-ад!с 8гоирь апб йе1г Ь1е а18еЬгав, Апл. о! Ма(3., 43 (1942), 641 — 655. С.

СЬеча11еу, Гааогу о!' (.!е 8гоиря, Рппсе1оп ()п(четв!(у Ргевв, 1946 (русскйй перевод: К. Шевалле, Теория групп Лн, 1, М., ГИИЛ, 1948, П, !П, М., ИЛ, 1958.) Е. Б. Дынкнн: а) Вычисление коэффициентов в формуле Кемп- белла — Хаусдорфа, ДАН СССР, 57 (1947), 323 — 326; Ь) Нормированные алгебры Ли и аналитические группы, УМ)г, 8 (1950), 135 — 186. М.

На(1, А Ьавй (ог 1гее ) !е г!п8я апг1 519Ьег сспипи1а1огз (п (гее 8гоирв, Ргос. Ангес. Ма((я Бос., 1 (1950), 575 — 581. О. Моп!8ойгегу — Е. 2(рр1п, Торо!о8(са! Тгапз!оппаВоп Пгоирв, Неги Уог(г, 1955. М. Еаьагй: а) (3ие!г(иез са!сий сопсегпап1 (а (огпги!е г(е НаизАог(1, Ви(1. 3ос. Май, Ггапсе, 91 (1963), 435 — 451; Ь) бгоиреь апа1у(!9иез р-зг)щиез, РиЬЬ Май. !. Н. Е. 3., п'26 (1955), 389- 603. ПРИЛОЖЕНИЕ Ю. А. Бахтурин Коалгебры Оптедвленив 1. Назовем коалгеброй над К множество Е, которое наделено 1' структурой К-модуля; 2' К-линейным отображением с: Е-» Е® «Е, называемым копроизведением е Е. Оптвдвавипв 2.

Лусть Е и Е' — две коаягебры с коароизведениями с и с'. Морфизмом Е в Е' называется К-линейное отображение и". Е-» Е', такое, что (и («1 и)»с с'»и, или, иными словами, такое, нтз коммутативна следующая диаграмма К-линейных отображений: Š— » Е' с~ с'~ Еиу Š— »Е9 Е' Оптеделвпив 3. в) Коалгебра Е с конроизведением с: Е-»Е ® «Е назы вается коассокиативной, если коммутативна следующая диаграмма К-линейных отобратсений 'т Е ® кЕ со~в Е Э«Е =' Е 8«Е В«Е 6) КоалгебРа Е с конРоизведением с: Е»Е(») «Е называетсЯ кокоммутативной, если коммутативна следующая диаграмма К-линейных отображений (о(хзу) у®х) Е с,',с к« Е(РŠ— ~»Е 3«Е (2) в) Линейная форма 2: Е -» К на коалгебре Е над К с конроизведением с: Е -» Е (3 «Е называется коединищей, если коммутативны следующие диа© Ивдвтеаьство «о)ир», 1976.

приложннин. коллгивры граммы (Ь' и й" — канонические изоморфизмы) Š— «Е(9 Е к ~чэ~й ь'~, Кэ Е 'Е®кЕ ~~еыт ь" ~ Е®кК Опгидвлянив 4. Назовем биалгеброй над К множество Е, которое наделено 1) структурой ассоциативно! К-алгебры с единицей; 2) сгрукгурол коассоциатиеной коалггбры над К с коединицей у, причем 3) капроизгеденис с: Е -« Е Э Е является гомоморфизмом алгебры Е е К-алгебру В ~9, Е; 4) коединица у коалгебры Е является гомоморфизмом К-алгсбры Е о К-алгебру К, таким, что если г — единица К-алггбры Е, го Ч (г) = 1.

Градуированный К-модуль Е называется градуированной коалгеброй, если копроизведение с являетси градуированным степени 0 голюморфнзмом К-модулей Е и Е ® Е, гле градунровка на Е (9 «Е иидуцирована градунровкой на Е. Биалгебра Е называется градуироганной типа )Ц илн просто градуированной, если Š— градуированный К-модуль типа )Ц, причем относительно этой градуировки Š— градуированная коалгебра и градуированная К-алгебра, а все упомянутые в определении 4 К-линейные отображения являются гра дуированными степени О, причем градуировна на К тривиальна.

Пример. Симметрическая алгебра 8 (М) модуля М. Пусть бс х «-«(х, х)— диагональное отображение М -«М Х М, й: М Х М -«8(М) !9 8 (М) — отображение, определенное формулой (х, у) ь-«х чу«1+ 1 чу . у, Ь, й — индуцированные гомоморфизмы Ь: 8 (М) — «8 (М Х М) и й: 8 (М Х М) -«8 (М) Э <9 8(М). Определим тогда отображение с: 8(М)-«8(М)88(М) форму. лой с=А«Л. Задание этого отображения превращает 8(М) в коалгебру, причем с(х)=х®1+!црх. Если же рассмотреть на 8(М) структуру симметрической алгебры М вместе с градуировкой, индуцированной градуировкой К-модули Е, то нетрудно убедиться в том, что 8(М) превращается в градуированную биалгебру.

Пусть Š— биалгебра с произведением т: Е ® Е -« Е, копроизведением т Š†« Е ® Е, единицей г и коеднницей Ч: Е -« К. Гомоморфизм й Е -« Е, такой, что !(е) = г и оба отображения т (1 !9 !) с, т (! Э ! ) ° с равны отображению х «-« Ч(х)г, называстси инверсией биалгебры Е. Пусть теперь Š— коалгебра над К с копроизведением с: Е -« ЕЭ«Е,  — другая К-алгебра с произведением т; Еф Е -« Е.

В этом случае множество С Нощк(Е, В) К-линейных отображений Е в В можно превратить в К-алгебРУ, если пРоизведением двУх отобРажений Ць фг назвать отобРа, жеиие Ф1«<р~ такое, что (ю, фг)(х)=т((ф,зфг)(с~х))). В случае когда В = К, алгебре С называется дуальной к Е и обозначается через Е*. Пгедложенив 1. Пусть Š— коалггбра над К. Для того чтобы при любой ассоциативной К-алгебрг В К-алггбра С=Нот« (Е, В) была ассоциагигмой, необходимо и достаточно, чтобы коалгебра Е была коассоциагиеной. Пусть  — ассоциативная К-алгебра и и, о, и — элементы С = Ною« (Е, В).

Обозначим через т К-линейное отображение В ф В !9 В -г В, ставящее з К 482 ПРИЛОЖЕНИЕ. КОАЛГЕБРЫ в соответствие элементу Ь(9 Ь' 9 Ь" элемент ЬЬ'Ь". По определению произ- ведения в злгебре С отображение (ио)ю является композицией отобрзжений ' Е ВЭ зе иЭЕЭЗ ВЕ Е 'ЕЭЕ «ЕюзЕ®Е «ВЯВ9 — «В, в то время как и (ою) — композиция отображений Е зеэе иЭВЭЗ ыз Е ЕЗŠ— ВЗЕЗВ ВЗВЗВ В.

Отсюда следует, что если диаграмма (!) коммутзтивна, то злгебрэ С Нощ (Е, В) зссоциативна при любой зссоцизтнвиой К-алгебре В. Чтобы установить обратное, достаточно показать, что существует ассоциативнзя К-алгебра В н три отображения и, и, Ге из Е в В, такие, что атобрзжениз пез (и Я о Э ю) из Е 9 Е 9 Е в В ниъективно. Возьмем з качестве В К-алгебру Т(Е), а в качестве и, о, ю — каноническое отображение Е в Т(Е) Отображение тзь(и 8 о Я ю) является тогда инъектизным каноиическнзт отобрэжением Е 9 Е 9 Е= Т'(Е) -«Т(Е).

Птпдложзннз 2. Пусть Š— хоалгебра над К. Для того чтобы при любой коммутативноп К-алгебре В К-алгебра С=Ною (Е, В) била номмутатнвной, необходимо и достаточно, чтобы коаегебра Е была хокоммутативной. Пусть  — коммутативная К-алгебра, а и, о — элементы из С к =Ною (Е, В). По определению произведении в С ио н пи — зто соответственно композиции отображений Š— -«Е®Е -«В®В — «В е ЙЭЗ ее н Š— В ЕЗŠ— «В!8»В — «В. Отсюда следует, что если диаграмма (2) коммутатнвнз, то алгебра С = Нощ (Е, В) коммутативна при любой коммутзтивной К-алгебре В, Чтобы установить обратное, достаточно показать, что существуют коммутатиаиая К-алгебре В и два К-линейнык отображения и, о из Е в В, такие, что из(и 9 о): Е9 Е-«В инъективна Возьмем в качестве В алгебру. 5 (Е Х Е) и в качестве и (соотв.