Бурбаки - Группы и алгеблы Ли. Гл. 1-3. Алгебры Ли. Свободные алгебры Ли. Группы Ли (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 106

(О), тогда как не полу- простой элемент может вообще не быть экспонентой. Если никакое нз ненулевых собственных значений линейного преобразования аб(Х) не является кратным числа 2ИГ, то ехр этально в Х. Он доказывает также, что если переменные элементы У и Ч описывают петли в 7. (6) и если определять В' по непрерывности из условия еп ° еР= е!Р, то мы не обязаны возвратиться к исходному значению элемента )Р. Пуанкаре пользуется формулой вычетов, которая в основном сводится к тому, что истоРическия очеРк к ГлАВАм ! — з!! йт! где аб Х вЂ” полупростой элемент, ненулевые собственные значения которого имеют кратность 1, Ф вЂ” степенной ряд с достаточно большим радиусом сходимости и интегрирование ведется вдоль контура, охватывающего собственные значения элемента .Вб Х.

Он исследует также, что происходит, когда Х стремится к некоторому преобразованию с кратными собственными значениями. Отыскание выражения элемента йт в виде функции от 0 и (т :при условии, что еа е" = е"', составляет предмет двух мемуаров Кэмпбелла ]Х1Щ, которые появилнсь чуть раньше работы Пуанкаре, Как пишет немного позднее Бейкер, «... теория Ли ,наводит на мысль, что произведение еде' представляется в виде е!Р, где йт есть некоторый ряд коммутаторов от 0 и 1Г...».

Последующие работы на эту тему ставили своей целью уточнить это утверждение и найти явную формулу (или метод построения) для йт („ формула Хаусдорфа"). После Кэмпбелла и Пуанкаре Паскаль, Бейкер ]Хзт] и Хаусдорф ]Хьт1] возвращаются к этому вопросу; каждый из них полагает, что доказательства его предшественников неубедительны; основная трудность состоит в том, что понимать под „альтернантами": идет ли речь об элементах той частной алгебры Ли, которую мы рассматриваем, или же об универсальных „символических" выраженияхг Ни Кэмпбелл, нн Пуанкаре, ни Бейкер по этому вопросу ясно не высказываются.

Напротив, мемуар Хаусдорфа является совершенно строгим; Хаусдорф работает сначала с алгеброй ассоциативных формальных рядов от конечного числа йнекоммутирующих) неизвестных и рассматривает (!', 1', йу как элементы этой алгебры, Он доказывает существование элемента Ят с помощью некоторого днффеоенциального уравнения; аналогичный прием применялся его предшественниками. Такого же рода аргументы служат Хаусдорфу прн доказательстве сходнмости ряда, когда он заменяет в нем неизвестные элементами некоторой конечномерной алгебры Ли..Как заметили Бейкер и, независимо от него, Пуанкаре, этот результат дает доказательство третьей теоремы Ли; он проливает свет на связь между группами н алгебрами Ли, например, в том, что касается группы коммутаторов. В 19бУ г. Е. Б. Дынкин [ХХХ1Х] возобновляет изучение этого вопроса и получает явный внд коэффициентов в формуле Хаусдорфа, рассматривая сразу нормированную алгебру Ли (конечжой либо бесконечной размерности над йс, С или некоторым ультраметрическим полем) ').

') Распространение иа ультраметрическнй случай классического метода ыажорант невозможно без принятия некоторых предосторожностей ввиду зснмптотнческого поведения р.аднческого абсолютного значения числа ! †, когда и стремится к бесконечности. и ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ ! — Иг Ч!. Линейные представления и глобальные группы Лн Ни одна из работ, обсуждавшихся до сих пор, не поднимала открыто проблему определения н изучения глобальных групп Ли. Первые шаги в этом напра влепив были сделаны Г. Вейлем. Он отправляется от двух теорий, до сих пор развивавшихся независимо: теории линейных представлений полу- простых комплексных алгебр Ли, принадлежащей Э.

Картану, и теории Фробениуса линейных представлений конечных групп, незадолго до того перенесенной на ортогональные группы И. Шуром, который использовал одну идею Гурвица. Последний показал [ХЧП], как можно образовывать инварианты для ортогональной или унитарной группы, заменяя усреднение по конечной группе интегрированием по инвариантной мере. Гурвиц заметил также, что прн применении этого метода к унитарной группе получаются инварианты полной линейной группы, что явилось первым примером „унитарного трюка". В !924 г.

Шур [ХХ] использует этот подход в доказательстве полной приводимости представлений ортогональной группы 0(л) или унитарной группы 0 (и) посредством построения инвариантной положительно определенной невырожденной эрмитовой формы. Он выводит отсюда с помощью „унитарного трюка" полную приводимость голоморфных представлений групп 0 (п, С) и 3Б(п, С), устанавливает соотношения ортогональности для характеров групп 0(п) и 0 (п) и находит характеры группы 0(п). Г.

Вейль сразу же распространяет этот метод на полупростые комплексные алгебры Ли [ХХ!]. Он показывает, что такая произвольная алгебра 9 обладает „компактной вещественной формой" (это означает, что она получается из некоторой алгебры йс над )с, обладающей компактной присоединенной группой бо, посредством расширения скаляров с )х до С). Более того, Г. Вейль показывает, что фундаментальная группа группы 6с конечна, стало быть, универсальная накрывающая ') группы 6о компактна. Он выводит отсюда, видоизменяя соответствующим образом прием Шура, полную прнводимость представлений алгебры Ли 9 и находит также глобальным методом их характеры.

В письме к Шуру (3!!гппязЬег., Вег!!и, !924, 338 — 343) Г. Вейль резюмирует результаты Картана, которых Шур не знал (см. [ХХ], стр. 299, подстрочное примечание) и сравнивает оба подхода. Метод Картана приводит к нахождению ') Г. Вейль не определяет явно ато понятне, которым он владел со времени озработкн своего курса по рнмановым поверхностям (1913). Определенна топологнческой группы н „непрерывной" (т.

е. локально нзоморфной евклвдову пространству) группы, а также конструкцию уннверсальной накрывающей такой группы впервые дал О. Шрейер [ХХЩ в 1926 — 1927 гг. ИСТОРИЧЕСКИИ ОЧЕРК К ГЛАВАМ 1 — П! 473 всех голоморфных представлений односвязной группы с алгеброй Ли 9; в случае ортогональной группы на таком пути получаются также представления двулистной накрывающей (названной впоследствии спинорной группой), которые ускользнули от Шура. С другой стороны, метод Шура имеет то преимущество, что с его помощью доказывается полная приводимость и получаются явные формулы характеров.

После работ Г. Вейля Э. Картан определенно становится на глобальную точку зрения в своих исследованиях по симметрическим пространствам и группам Ли. Именно этот подход положен в основу его изложения в 1930 г. 1ХП, т. 1,, стр. 1165— 1225) теории „конечных непрерывных групп". Мы находим здесь, в частности, первое доказательство глобального варианта третьей основной теоремы (существование группы Ли с данной алгеброй Ли). Картан показывает также,'что всякая замкнутая подгруппа вещественной группы Ли сама есть группа Ли (гл. 111, $8, и'2, теорема 2), что обобщает один результат Дж. фон Неймана о замкнутых подгруппах линейной группы 1ХХ11Ц. В мемуаре фон Неймана доказано также, что всякое непрерывное представление полупростой комплексной группы вещественно-аналитично.

После этих работ теория групп Ли в „классическом" смысле (т. е. конечномерных групп над !! или С) в своих общих чертах приобрела более или менее окончательный вид. Первое детальное изложение ее было дано Л. С. Понтрягиным в его книге по топологическим группам 1ХХХ'!7Ц. В ней сохранен еще подход, достаточно близкий к подходу Ли, но проведено тщательное разграниченйе локальной и глобальной ситуаций. Вслед за книгой Понтрягина последовала книга Шевалле 1ХХХ'!711Ц, которая содержит также первое систематическое обсуждение теории аналитических многообразий и внешнего дифференциального исчисления. „Инфинитезимальные преобразования" Лн принимают здесь вид векторных полей, и алгебра Ли группы Ли 0 отождествляется с пространством левоинвариантных векторных полей на 6.

Аспект „групускул" и аспект „групп преобразований" оставлен здесь в стороне. 17!!. Расширения понятия группы Ли В наши дни жизненность теории Ли проявляется в разнообразии ее приложений (к топологии, дифференциальной геометрии, арифметике и т. д.), а также в возникновении параллельных теорий, в которых нижележащая структура днфференцируемого многообразия заменена родственной структурой (р-адического многообразия, алгебраического многообразия, схемы, формальной схемы, ...). Мы не собираемся излагать ИСТОРИЧПСКНП ОЧЕРК К ГЛАВАМ 1 — ГП 474 здесь историю всех этих обобщений и ограничимся теми иэ них, которые изложены в гл.