И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы', страница 5

Поэтому (а! (Н (а! (М ~+$ =5-5 =О, 12 2! 12 12 что и требовалось доказать. Поле, обладающее свойством !1.22), называют п от е н ц и а л ь н ы м. Значит, любое электростатическое поле является потенциальным. Теорема о циркуляции вектора В позволяет сделать ряд важных выводов, практически не прибегая к расчетам. Вот два примера.

Пример 1. Линии электростатического поля Е не могут быть замкнутыми. В самом деле, если это не так и какая-то линия вектора Е замкнута, то взяв циркуляцию вектора Е вдоль этой линии, мы сразу же придем к противоречию с теоремой !1.22). Значит, действительно, в электростатическом поле замкнутых линий вектора Е не существует: линии начинаются на положительных зарядах и - - -а- --". (- удят в бесконечность). -+ — -4— аа ау а * фаа. рис.

1.12? -.а- а а ! ! ь а ааааа. а а" ! Стрелки на контуре показывают направление обхода. При таком специальном выборе контура вклад в циркуляцию на вертикальных участках его равен нулю: здесь Е.) (11 и Е(11 = О; остаются два одинаковых по длине горизонтальных участка. Из рисунка сразу видно, что вклады в циркуляцию на этих участках противоположны по знаку, но не одинаковы по модулю !на верхнем участке больше, ибо линни гуще, а значит, 2Э Е больше). Поэтому циркуляция оказывается отличной от нуля, что противоречит (1.22). Потенциал.

До сих пор мы рассматривали описание электрического поля с помощью вектора Е. Существует, однако, и другой адекватный способ описания — с помощью потенциала гр (заметим сразу, что оба этн способа однозначно соответствуют друг другу). Как мы увидим, в~арой способ обладает рядом существенных преимуществ. Тот факт, что линейный интеграл (1.2!), представляющий собой работу сил поля прн перемещении единичного положительного заряда из точки ! в точку 2, не зависит от пути между этими точками, позволяет утверждать, что в электрическом поле существует некоторая скалярная функция координат г, у б ы л ь которой г 'Р~ Фь (1.23) где ~р, и ~ь, — значения функции ~р в точках ! и 2.

Так определенная величина ~р(г) называется п о т е н ц и ал о м и о л я. Из сопоставления выражения (1.23) с выражением для работы сил потенциального поля (которая равна убыли потенциальной энергии частицы в поле) можно сказать, что потенциал — это величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке поля. Потенциалу какой-либо произвольной точки О поля можно условно приписать любое значение грь. Тогда потенциалы всех других точек поля определяются согласно (1.23) однозначно. Если изменить ~рь на некоторую величину Л~, то на такую же величину изменятся н потенциалы во всех других точках поля.

Таким образом, потенциал гр определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Значение этой постоянной не играет роли, так как все электрические явления зависят только от напряженности электрического поля. Последняя же определяется, как мы увидим, не самим потенциалом в данной точке поля, а разностью потенциалов в соседних точках поля. Единицей потенциала является в ол ь т (В). Потенциал поля точечного заряда. Формула (1.23) содержит не только определение потенциала ~, но н способ нахождения этой функции. Для этого достаточно вычислить интеграл ~ Е д( по любому пути между двумя где г, — расстояние от точечного заряда д, до интересующей нас точки поля. Здесь также произвольная постоянная опущена.

Это полностью соответствует тому факту, что всякая реальная система зарядов ограничена в пространстве, поэтому ее потенциал на бесконечности можно принять равным нулю. Если заряды, образующие систему, распределены непрерывно, то, как обычно, мы считаем, что каждый элементарный объем д)г содержит «точечный» заряд р д)г, где р — объемная плотность заряда в месте нахождения объема дУ. С учетом этого формуле (1.26) можно придать иной вид: где интегрирование проводится нли по всему пространству, или по той его части, которая содержит заряды. Если заряды расположены только на поверхности 5, то ! голл (квв) 4в~о где а — поверхностная плотность заряда; Й5 — элемент поверхности 5. Аналогичное выражение будет и в том случае, когда заряды распределены линейно. Итак, зная распределение зарядов (дискретное, непрерывное),мы можем в принципе найти потенциал поля любой системы.

$ ьв. связь мвждх потвицидлом и виктором и Электрическое поле, как известно, полностью описывается векторной функцией Е (г). Зная ее, мы можем найти силу, действующую на интересуюший нас заряд в любой точке поля, вычислить работу сил поля при каком угодно перемещении заряда н др. А что дает введение потенциала? Прежде всего, оказывается, зная потенциал гг(г) данного электрического поля, можно достаточно просто восстановить и само поле Е (г).

Рассмотрим этот вопрос более подробно. Связь между ч~ и Е можно установить с помощью уравнения (!.24). Пусть перемещение д! параллельно оси Х, тогда д! = ! дх, где ! — орт оси Х; дх — приращение координаты х. В этом случае Ед! =Е(дх=Е,дх, где Е, — проекция вектора Е на орт 1 (а не на перемеще- ние д(!). Сопоставив последнее выражение с формулой (1.24), получим Е„= — д~р/дх, (1.29) где символ частной производной подчеркивает, что функцию ~р(х, у, х) надо дифференцировать только по х, считая у и х при этом постоянными.

Рассуждая аналогично, можно получить соответствующие выражения для проекций Е„и Е,. А определив Е„, Е„, Е,, легко найти и сам вектор Е: Е = — ( — 1+ — ! + — к). l де дт де (, дх ду дх )' (1.30) Величина, стоящая в скобках, есть не что иное, как градиент потенциала ~р(дгадср или ктср). Мы будем пользоваться вторым, более удобным обозначением и рассматривать формально ~тр как произведение символического вектора х7на скаляр ср.

Тогда уравнение (1.30) можно представить в более компактной форме: 1е=: т~~ (1.31) т. е. напряженность Е поля равна со знаком минус гра- диенту потенциала. Это и есть та формула, с помощью которой можно восстановить поле Е, зная функцию ~р (г). Е, = — д~р/д1, (1.32) т. е. проекция вектора Е на направление перемещения д1 равна со знаком минус производной потенциала по дан- ному направлению (это подчеркнуто символом частной производной). Пример.

Найти напряженность Е поля, потенциал которого имеет вид: 1) Ч~(х, у) = — аху, а — пос~оянная, 2) ф(т) = — ат, а — постоянный вектор, т — риднус-вектор интересующей нас точки поля. 1. Воспользовавшись формулой (1.30), получим Е = = а(у1+ х1). 2. Представим сначала функцию Ч~ как Ч~ = — а„х — а„у— — а,г, где а„, а„, а, — постоянные. После этого с помощью формулы (1.30) найдем Е= а„1+ а„)+ а,й = а.

Видно, что пале Е является в данном случае однородным. Получим етце одну полезную формулу. В соотношении (1.24) запишем правую часть как Е д( = Е, д(, где Ж= = !о1~ — элементарный путь; Е, — проекция вектора Е на перемещение д(. Отсюда Эквипотенциальные поверхности. Введем понятие э к в и потенциальной п о верх ноет и — поверхности, во всех точках которой потенциал гр имеет одно и то же значение.

Убедимся в том, что вектор Е направлен в каждой точке по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону уменьшения потенциала гр. В самом деле, из формулы (1.32) следует, что проекция вектора Е на любое направление, касательное к эквипотенциальной поверхности в данной точке, равна нулю. А это значит, что вектор Е нормален к данной поверхности, Далее, возьмем перемещение Л по нормали к поверхности в сторону уменьшения гр, тогда дгр(0 и согласно (!.32) Е, ) О, т. е. вектор Е направлен в сторону уменьшения гр, или в сторону, противоположную вектору зги. Эквипотенциальные поверхности наиболее целесообразно проводить так, чтобы разность потенциалов для двух соседних поверхностей была бы одинаковой, Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей можно наглядно судить о значении напряженности поля в разных точках.

Там, где эти поверхности расположены гуще (ккруче потенциальный рельеф»), там напряженность поля больше. Далее, ввиду того, что вектор Е всюду нормален к эквипотенциальной поверхности, линии вектора Е ортогональны этим поверхностям. На рис. 1.13 показана даухмериая картина электрического поля: пунктиром — экнипотенцналн, сплошными линиями — линии аектора И.

Такое изображение придает болшпую наглядность. Сразу же видно, а какую сторону направлен 1 вектор Е, где напряженность больше, где меньше, где больше крутизна потенциального рельефа. С понашью таких картин можно полую' нить и качественные ответы на ряд - ф вопросов: куда начнет двигаться заряд при помещении его в ту или иную точку, где больше градиент потенциала (по модулю), а какой точке поля на заряд будет действо- вать большая сила и др. О преимуществах потенциала.

Ранее было отмечено, что электростатическое поле исчерпывающим образом характеризуется векторной функцией Е (г). Какая же польза от введения потенциала? Существует несколько весомых причин, убедительно свидетельствующих о том, что потенциал — понятие действительно весьма полезное, 28 и не случайно, что этим понятием широко пользуются не только в физике, но н в технике. !. Зная потенциал ьь(т), можно предельно просто вычислить работу сил поля при перемещении точечного заряда д' из точки ! в точку 2: Ам = д'(~Р, — Рт), (!.33) где ьз, и у, — потенциалы в точках ! и 2.

Значит, искомая работа равна у б ы л и потенциальной энергии заряда д' в поле при перемещении его из точки ! в точку 2. Расчет работы сил поля по формуле (!.33) оказывается не только проще, но в некоторых случаях и единственно возможным. Пример. Заряд д распределен по тонкому кольцу радиусом а. Найти работу сил поля при перемещении точечного заряди ц' из центра кольца ни бесконечность. Так как неизвестно, как распределен заряд д по кольцу, то ничего нельзя сказать о напряженности Е поля этого зарядя. й это значит, что непосредственно вычислить работу как интеграл ~ д' Е д! здесь непросто. С помощью же потенциала эта задача решается элементарно.

В самом деле, так как все элементы кольца находятся на одном и том же расстоянии и от центра кольца, то потенциал в этой точке вь = д/4пеьа. А потенциал на бесконечности ц = О. Следовательно, работа А = = ц'трь — — д'д/4пеои. 2. Во многих случаях оказывается, что для нахождения напряженности Е электрического поля легче сначала подсчитать потенциал тр и затем взять градиент от него, нежели вычислять Е непосредственно. Это весьма существенное преимушество потенциала.

Действительно, для вычисления тр нужно взять од и н интеграл, а для вычисления Š— т р и (ведь это вектор). Кроме того, обычно интегралы для определения ьь проще, чем для Е„, Е„, Е,. Сразу же заметим, что это не касается сравнительно небольшого числа задач с достаточно хорошей симметрией. В этих случаях нахождение поля Е непосредственно или с помощью теоремы Гаусса часто оказывается значительно проще, $ К7. ЗЛЕКТРИЧЕСКИЯ ДИПОЛЬ Поле диполя. Электрический диполь — это система из двух одинаковых по модулю разноименных точечных зарядов + д и — д, находящихся на некотором 29 расстоянии 1 друг от друга. Когда говорят о поле диполя, то предполагают сам диполь точечным, т. е.