И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы', страница 4

Из соображений симметрии следует, что поле здесь имеет радиальный характер, т. е. вектор Е в каждой точке перпендикулярен оси цилиндра, а модуль вектора Е зависит только от расстояния г до осн цилиндра. Это подсказывает, что замкнутую поверхность здесь надо взять в форме коакснального прямого цилиндра (рис. 1.9). Тогда поток вектора Е сквозь торцы этого цилиндра равен нулю, а через боковую поверхность Е,2игл, где Е, — проекция вектора Е на радиус-вектор г, совпадающий по направлению с нормалью п к боков вой поверхности цилиндра радиусом г и высотой Л.

По теореме Гаусса для случая г ) а имеем Е, 2пгй = Хг!/ев, откуда Е = — (г) а). (1.12) х 2веог Прн Л)0 и Е)0, т. е, вектор Е направлен от заряженного цилиндра, и наоборот. Если г( а, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому в этой области Е = 0 независимо от г. 18 Таням образом, внутри равномерно заряженного по поверхности круглого бесконечного цилиндра поля нет.

Пример б. Поле сферической поверхности, заряженной равномерно зарядом а, Это поле, очевидно, центрально-симметричное: направление вектора Е в любой точке проходит через центр сферы, а модуль вектора Е должен зависеть только от расстояния г до центра сферы. Ясно, что прн такой конфигурации поля в качестве замкнутой поверхности надо взять концентрическую сферу, Пусть ее радиус г ) а, тогда по теореме Гаусса Е, ° 4лг = ф/ее, откуда Е,= —, (г>а), а 4леег' (1.13) где Е, — проекцня вектора Е на радиус-вектор г, совпадаюшнй по направленню с нормалью и к поверхности в каждой ее точке. Знак заряда а н здесь определяет знак проекции Е„а следовательно, н направленне самого вектора Е. от заряженной сферы (прн д)0) нлн к ней (прн а(0).

Если г(а, то замкнутая поверхность не содержит внутри зарядов, поэтому в этой области всюду Е = О, т. е. внутри равномерно заряженной сферической поверхности электрнческое поле отсутствует. Вне этой поверхности поле убывает с расстоянием г по такому же закону, как у точечного заряда. Пример 6. Поле равномерно заряженного шара. Пусть заряд а равномерно распределен по шару радиусом а. Поле такой системы, очевидно, также центрально-симметричное, поэтому н здесь для нахождения поля следует в качестве замкнутой поверхности взять концентрическую сферу. Нетрудно сообразить, что для поля вне шара получится тот же результат, что н в предыдушем примере (см. (!.!3)].

Внутри же шара выражение для поля будет другим. Сфера радиусом г ( а ахваз тывает заряд а' = а(г/а), нбо в нашем случае заряды относятся как объемы, а последнне как кубы радиусов. Поэтому согласно теореме Гаусса ! ггх е Е, ° 4лг' = — д ! — ~1, е, ха/' откуда Е, = — —,г(г ( а), 1 д 4ле ае (1. И) т. е, внутри равномерно заряженного шара напряженность растет линейно с расстоянием г от его центра, График зависимости Е от г показан на рнс. !.!О. Общие выводы. Полученные в этих примерах результаты можно было бы найти и непосредственно интегрированием с помощью формулы (!.5). Однако, как можно было убедиться, использование теоремы Гаусса позволи- Е ло нам решать эти задачи несравненно более простым путем.

Простота, с которой были решены рассмотренные задачи, может создать иллюзорное впечатление о силе метода, основанного на применении теоремы Гаусса, и о возможности находить с помощью этой теоремы решения многих других задач. К сожалению, это не так. Число задач, легко решаемых с помощью теоремы Гаусса, весьма ограничено. Уже при решении задачи о нахождении поля такого симметричного распределения заряда, как у равномерно заряженного диска, теорема Гаусса оказывается бессильной. В этом случае конфигурация поля достаточно сложная, и замкнутой поверхности, обладающей необходимой для простоты вычисления потока вектора Е формой, здесь нет.

Использование теоремы Гаусса для расчета полей эффективно лишь в тех случаях, где поле обладает специальной симметрией (чаще всего плоской, цилиндрической или сферической). Симметрия, а следовательно, и конфигурация поля должны быть такими, чтобы, во-первых, можно было найти достаточно простую замкнутую поверхность 5 и, во-вторых, вычисление потока вектора Е свести к простому умножению Е (или Е„) на площадь поверхности 5 или ее часть. Если этого нет, задачу о нахождении поля приходится решать или непосредственно с помощью формулы (1.5), или с помощью других методов, с которыми мы ознакомимся ниже, $ К4.

ТЕОРЕМА ГАУССА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ Замечательное свойство электрического поля, которое выражает собой теорема Гаусса, побуждает представить эту теорему в иной форме, расширнюигей ее возможности как инструмента исследования и расчета. В отличие от формы (! 7] — ее называют и н т е г р а л ь н о й— мы будем искать д и ф ф е р е н и и а л ь н у ю форму теоремы Гаусса, в которой устанавливается связь между объемной плотностью заряда р и и з м е н е н и я м и напряженности Е в окрестности данной точки пространства.

Для этого представим сначала заряд д в объеме У, охватываемом замкнутой поверхностью 3, иак д,„п, = (р) У, где (р) — среднее по объему У значение объемной плотности заряда. Затем подставим это 20 выражение в уравнение (1.7) и разделим обе части его на В результате получим — ()э Е 55 = (р)/е,. 1 .Г.

(1.15) Теперь устремим объем У к нулю, стягивая сто к интересующей иас точке поля. Очевидно, при этом (р) будет стремиться к значению р в данной точке поля, а значит, отношение в левой части уравнении (1.15) будет стремиться к р/га. Величину, являющуюся пределом отношения г)г Е 55 к У прн У О, называют д и в е р г е и ц и е й поля Е и обозначают д!т Е. Таким образом, по определению ! .г. ейт Е = 1нп — ф Е б 5. и-о 1' ((дб) дЕ, дЕ дЕ д!и Е = — -1- — г.! дк ду да ' (1.17) Итак, мы выяснили, что при У О в выражении (!.15) его правая часть стремится к р/е„а левая — к д!и Е. Следователыш, дивергенция поля Е связана с плотностью заряда в той же точке уравнением Е::=Л сбч Е = р/в,.

((да) Это уравнение и выражает теорему Гаусса в дифференциальной форме. Написание многик формул н действия с ними значительно упрощаются, если ввести векторный дифференциальный оператор хг. Оператор 17 в декартовых координатах имеет вид д д ту =! — +) — +й —, (1.15) дх ду да' где г, ), й — орты осей Х, У, 2.

Сам по себе аентор Ктсмысла не имеет. Он приобретает смысл толька в сочетании со скалярной или векторной функциен, на которую символически умножается. Так, например, если вектор Хг умножить скалярно на вектор Е, та получим д д д 17 ° е = ту,е, + ту „е„+ хг,Е, = — Е„+ — Е„+ — е„ дх " ду " дг а это есть не что иное, как д!ч Е, согласно (1.!7).

Такни образом, дивергенция поля Е может быть записана как д!ч Е или ~ ° Е (в обоих случаях читается как «дивергенция Е»). Мы будем пользоваться вторым, более удобным обозначением. Тогда, например, теорема Гаусса (!.!8) будет иметь вид (1.20) Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля. Из определения (1.!6) следует, что дивергенция является скалярной функцией координат. Чтобы получить выражение для днвергенции поля Е, надо согласно (1.15) взять бесконечно малый объем У, определить поток вектора Е сквозь замкнутую поверхность, охватывающую этот объеи, н найти отношение этого потока к объему.

Полученное выражение для дивергенции будет зависеть от выбора системы координат (в разных системак координат оно оказывается разным). Например, в декартовой системе координат В дифференциальной форме теорема Гаусса является локальной теоремой: дивергенция поля Е в данной точке зависит только от плотности электрического заряда р в той же точке н больше ни от чего. Это одно из замечательных свойств злектрнческого паля.

Например, в разных точках поля точечного заряда поле Е отличается друг от друга. Это же относится, вообще говоря, и к пространственным производным дЕ,/дх, дЕ„/ду, дЕ,1дх. Однако, иак утверждает теорема Гаусса, сумма этих производных, которая определяет дивергенцию Е, оказывается во всех точках поля (вне самого заряда) равной нулю. В тех тачках паля, где дивергенция Е положительна, мы имеем и с т о и н и к и поля (положительные заряды), а в тех точках, где она отрицательна,— с т о к и (отрицательные заряды). Линни вектора Е выходят из источников поля, а в местах стоков они заканчиваются. $1.5. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА Е. ПОТЕНЦИАЛ $ Е г)1.

! (1.21) Этот интеграл берется по некоторой линии (пути), поэтому его называют л и н е й н ы м. Как мы сейчас покажем, из независимости линейного интеграла (!.21) от пути между двумя точками следует, что по произвольному замкнутому пути этот интеграл равен нулю. Интеграл (1.21) по замкнутому пути называют ц и рк ул я ц и е й вектора Е и обозначают $ Итак, мы утверждаем, что циркуляция вектора Е в любом электростатическом поле равна нулю, т. е. 'ьх г и = ьь.

з(!.22) Это утверждение и называют т е о р е м о й о ц и ркул яц ни вектора Е. Теорема о циркуляции вектора Е. Из механики известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т. е. работа сил этого поля не зависит от пути, а зависит только от положения начальной и конечной точки. Именно таким свойством обладает электростатическое поле — поле, образованное системой неподвижных зарядов. Если в качестве пробного заряда, переносимого из точки 1 заданного поля Е в точку 2, взять единичный п о л о ж и т е л ь н ы й заряд, то эле. ментарная работа сил поля на перемегцении с(1 равна Е д1, а вся работа снл поля на пути от точки 1 до точки 2 определяется как Для доказательства этой теоремы разобьем произвольный замкнутый путь на две части 1а2 и 2Ь1 (рис.

1.11). Так как линейный интеграл (1.21) — обозначим (а! его ~ — не зависит от пути между точками 1 и 2, то ~ = 12 12 (ь! (а! (2! (и = ~. С другой стороны, ясно, что 5 = — 5, где ~ — ин- 12 12 21 21 теграл по тому же участку Ь, но в обратном направлении.